金融衍生品定價模型及二階段運算

王 娟

（1.南京大學(xué)商學(xué)院，江蘇 南京210003；2.南京郵電大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，江蘇 南京 210046）

0 引言

隨著利率市場化改革和金融創(chuàng)新進(jìn)程的加劇，金融衍生品種類也日益增多，第一是尋找一種對所有衍生品定價工作都適用的定價方法至關(guān)重要，其次是定價行為在金融交易中頻繁發(fā)生，如德爾塔套利保值技術(shù)在華爾街每天被使用幾百次，那么具有強(qiáng)數(shù)學(xué)理論的定價方法具有操作難度，特別是對一般投資者非常不利，會造成有效需求不足，無形中阻礙了金融創(chuàng)新發(fā)展的步伐?；诖?，筆者意圖將常見的三種衍生定價模型進(jìn)行細(xì)致的公式分析，并對每一個變量和轉(zhuǎn)化過程進(jìn)行淺顯易懂的闡述。同時針對目前定價公式的二階段運算進(jìn)行推導(dǎo)，意圖提高中小投資者在進(jìn)行衍生品交易過程中的定價能力和識別能力，以作出正確的決策。

1 衍生品定價的博弈論模型及二階段推導(dǎo)

在介紹模型之前，提出幾個假設(shè)：首先投資者不存在資本約束即初始投資是一個非約束量，這個量只取決于投資者意愿。其次是幾乎所有衍生定價法都強(qiáng)調(diào)過的無風(fēng)險利率借貸。第一個假設(shè)其實在已有的各種模型推導(dǎo)中都已被包含，比如允許賣空（負(fù)債籌資以獲取股票，并且償還期限未定）。第二個假設(shè)非常必要，因為利率風(fēng)險已經(jīng)成為作為借貸主體的商業(yè)銀行等金融組織面臨的一個主要風(fēng)險，如歐洲債券市場采用辛迪加循環(huán)技術(shù)——金融機(jī)構(gòu)在貸款期限內(nèi)有權(quán)調(diào)整利率水平，從而導(dǎo)致投資者面臨一定得利率風(fēng)險，從而影響其決策。故假設(shè)衍生品協(xié)議日到到期日之間的利率穩(wěn)定，這在目前是比較符合實際情況的。

1.1 二叉樹博弈

所謂博弈是指利益主體在既定利益前提下獲取最小風(fēng)險的行為，在衍生品交易中交易商和投資者為了獲取利潤和降低風(fēng)險會采取不同的定價策略、購買策略和執(zhí)行策略。那么這種博弈的最終結(jié)果是無論作為標(biāo)的物的股票價值如何變動，都會使其衍生品的價值即投資組合價值穩(wěn)定——這是博弈定價法的本質(zhì)。為了方便論述，下文均以股票歐式看漲期權(quán)為一種特殊的衍生品，歐式期權(quán)具有較強(qiáng)的約束性，投資者必須在到期日才能執(zhí)行權(quán)力。

V-期權(quán)價值S——股票價值，X——購買期權(quán)數(shù)Y——購買股票數(shù)

那么在簽約日t0時刻，投資者作出決策，愿意花費單位的資本購買這兩種組合。C既是成本也是投資的即時價值，有表達(dá)式：

在到期日t1時刻，股票有漲有跌，正是這種不確定性導(dǎo)致了不同的投資價值未來值。用二叉樹分別表示這種股價和期權(quán)價值。（圖1）當(dāng)股價從S0上升到Su，表示購買期權(quán)是很有價值的，很明顯U＞V0，相反股價下跌了，期權(quán)價值下跌到D。那么如何表示上漲和下跌時的投資價值呢？當(dāng)股價上升時，投資者在到期日必然愿意執(zhí)行期權(quán)，從期權(quán)市場以較低的約定價格購買期權(quán)，然后在股票市場上轉(zhuǎn)賣出去，以賺取差價。這時候投資引起的價值為：

相反，如果股價下跌，投資者必然不執(zhí)行期權(quán)，因為繼續(xù)執(zhí)行期權(quán)將會導(dǎo)致更多的損失。

這時：

圖1 股票價值和期權(quán)價值的二叉樹模型

前面已經(jīng)提到，定價的目的在于消除股價波動引起的風(fēng)險引起的投資組合價值變動，即（2）式等于（3）式，可以求解得到股數(shù)Y和期權(quán)數(shù)X的關(guān)系。將（4）式子代入(1)式，并使 X=1，則，得到Ct1=V+D-U，初始資產(chǎn)Ct0=XV+YS0經(jīng)過無風(fēng)險利率r運行后，到1期后的價值為Ct1=(XV+YS0)er，經(jīng)過換算得到，其中（4）式為仔細(xì)觀察期權(quán)價值的表達(dá)式，如果忽略分母因子，整個公式可以表述為期權(quán)價值等于賣空股票數(shù)量與股票價值現(xiàn)值的乘積，加上期權(quán)價格極差，經(jīng)濟(jì)意義為：無風(fēng)險利率水平與期權(quán)價值成反方向關(guān)系（因為D-U＜0），并且投資者群體對期權(quán)價格波動預(yù)期差異越大，期權(quán)價值越高，這也充分體現(xiàn)了利潤來自風(fēng)險的基本定義。

對文、理科學(xué)生在9項技能的自我評價上進(jìn)行獨立樣本T檢驗（見表2），結(jié)果顯示，除“翻譯”的P值=0.0 22＜0.05外，其他8項的P值均大于0.0 5，表明不同學(xué)科的學(xué)生對于絕大多數(shù)技能的自我評價沒有顯著性差異。而理科生在“翻譯”評價上的均值顯著地高于文科生，比起口語和寫作這種主動的創(chuàng)造性的輸出，理科生更喜歡用積累的詞匯機(jī)械地翻譯給予的文字段落，很好地說明了英語課堂上理科生更消極被動的一面。

1.2 模型改進(jìn)及二階段運算

期權(quán)購買是一個連續(xù)的過程，不具有排他性，即一個投資者在某一時間購買，其他投資者也能在期權(quán)到期日之前的任何一天購買，哪怕在其他投資者之后。按照期權(quán)的預(yù)期差異性質(zhì)，到期日越近，則預(yù)測結(jié)果更為準(zhǔn)確和明朗，那么期權(quán)的價值下降。根據(jù)這一思路，將上文中t0和t1之間的時間段劃分為若干個更小的階段，可依次為t0,t11,t12,……t1k,…t1n-1,t1，其中,k=1,2…n。為了簡化分析，僅考慮二階段模型（圖2）。根據(jù)上文推導(dǎo)出的期權(quán)定價公式，筆者從圖2的第三期開始倒推，由3-1和3-2得到2-1點的期權(quán)價值為。

2-2點的期權(quán)價格：

在上節(jié)分析中，在這兩點的U和D是已知的，屬于事后觀測，但這里（5）和（6）式分析的是評估值，故可以將U和D替換為V2-1和V2-2。得到最初期權(quán)價值（7式），可知無論將期限分為多少段，每一個節(jié)點代表的期權(quán)價值由其分出的兩個節(jié)點的期權(quán)價值（V2-2-V2-1）非常相關(guān)，可以這樣理解：股票價值振動幅度越大，期權(quán)價值越高；同時利率效應(yīng)ert中的無風(fēng)險利率水平越高，期權(quán)價值越大。

2 概率論法（期望價值法）

圖2 二階段二叉樹模型

2.1 預(yù)期與概率

博弈論法中將消除股價波動的價值影響效應(yīng)降低到0，從某種程度上是實行一種概率，這種概率使得投資組合的預(yù)期組合收益與無風(fēng)險利率引起的穩(wěn)定收益相等，即沒有主體受損，假設(shè)初始時刻t0的股價為S0，人們均預(yù)期會有漲跌兩種狀況，當(dāng)然有一定概率進(jìn)行分布，上漲概率為P，下跌概率則1-P。期權(quán)的價格如同股票價格的靈魂一樣，始終不能與標(biāo)的物價格分開。只要把這種升降概率找到，就可以對未來的期權(quán)價格預(yù)期進(jìn)行運算，這種預(yù)期是否與上面的逆向運算結(jié)果一致，下面進(jìn)行討論。

首先僅僅考慮股票收益預(yù)期，到期t1時刻的股票價值為：E(St1)=p(Su-St0)+(1-p)(SD-St0)，根據(jù)無套利定價愿意，S0投資在t1時刻的價值為St0er，兩者應(yīng)該相等，計算出概率P=(St0er-SD+St0)/(SU-SD),若股價上漲和下降時對應(yīng)的期權(quán)價格分別為U和M，執(zhí)行價格為X，那么對應(yīng)的期權(quán)價格應(yīng)為U-X和D-X很明顯一正一負(fù)。則期權(quán)期望價值為：

將E（q)除以er得到期權(quán)價格購買現(xiàn)值。針對推導(dǎo)出的模型具有以下解釋：

（8）式第二行表示期望期權(quán)價格的差價以一定概率發(fā)生，(U-D)P表示眾多投資者預(yù)期價格存在差異的前提下預(yù)期差異發(fā)生的概率期望值，D-X為股價一定下跌的情況下執(zhí)行期權(quán)的損失值?？梢岳斫鉃檫@樣一場賭博，看漲期權(quán)購買者純粹屬于看漲者，只有購買權(quán)而不能放棄購買權(quán)，到期日無論漲跌都必須按執(zhí)行價購買該股票，結(jié)果只有兩種可能，當(dāng)股價下跌時，必須損失D-X；但上漲時他不僅能夠獲得U-X的利潤，還可以將與他賭博的另一看跌投資者的D-X賭資給收回來，當(dāng)然這一切都發(fā)生在概率為P的條件下。

2.2 二階段運算

同上節(jié)論述類似，筆者將目前到到期日之間期限分為2個時間段，分為四種情況：

第一種是股票在2期內(nèi)持續(xù)上揚，到期后價值為SUU=U2S0，發(fā)生概率P2；

第二種是股票在1期內(nèi)上揚，2期內(nèi)下跌，到期后價值為SUD=UDS0，發(fā)生概率P(1-p)；

第三種是股票在1期內(nèi)下跌，2期內(nèi)上揚，到期后價值為SUD=DUS0，發(fā)生概率(1-p)p；

第四種是股票在2期內(nèi)持續(xù)下跌，到期后價值為SUU=D2S0，發(fā)生概率P2；

以上U＞1,D＜1。則購買期望收益為：

可推廣到N段的情況E(N)=S0[UP+D(P-1)]n，其中UP+D(P-1)為漂移率，計算一只股票的長期漂移率對投資具有重大的指導(dǎo)意義。推導(dǎo)出概率為：

因為概率P小于1，所以U一定大于er，可將er視為向上漂移系數(shù)的最小下界趨近值。上漲時的期權(quán)價值為U2S0-X21,下跌時期權(quán)價值為D2S0-X21。得出期望圖2中2-1點的期權(quán)期望值為(U2S0-X21)P+(D2S0-X21)(1-p)，同理由3-3和3-4點得出2-2點的期權(quán)定價預(yù)期值為(D2S0-X22)P+(M2S0-X2)(1-p)，X21為股價首次為漲的二次期權(quán)定價，U和D為對應(yīng)股價，X22為股價首次為跌的二次期權(quán)定價，D和M為對應(yīng)股價?？梢园l(fā)現(xiàn)第二和第三種的期權(quán)到期后價值相等。那么可以計算出初始期權(quán)價值

上式雖看似復(fù)雜，但也無非是加減乘除運算，針對于盈利為最終目的的期權(quán)投資行為來說，可以看作最為簡單實用的定價方法。這里要闡述一點：為什么將可以一階段處理的二叉樹模型區(qū)分為2階段？有效市場理論認(rèn)為金融市場上任何信息均能從當(dāng)期價格中反映出來，但在實際操作過程中這個理論假設(shè)并不成立，股票價格時間序列反映的信息仍然比當(dāng)期單個數(shù)據(jù)包含的更多。這也是為什么在目前金融市場的實證研究過程中普遍采取高頻數(shù)據(jù)的原因。

3 資產(chǎn)組合復(fù)制技術(shù)

復(fù)制——一種建立不同投資組合，以不同組合到期日價值相等的定價方法，具有博弈等值和概率處理的內(nèi)涵，可以視為上面兩種方法的綜合。假設(shè)不購買期權(quán)，只是進(jìn)行正常的投資，常見的為股票和債券收益組合，為了方便計算，可以假設(shè)債券的價格為1，購買X單位股票和Y單位債券。資產(chǎn)組合價值可表示為：

一般來說，債券的利息是固定的，以無風(fēng)險利率r獲取收益，經(jīng)過1期之后的價值為er，同樣股票面臨漲跌兩種情況SU和SD。那么一期之后的資產(chǎn)組合價值為（13）式，可以復(fù)制一種期權(quán)使得漲跌情況下的期權(quán)價值與組合價值對應(yīng)，故在式右邊加上相關(guān)等號。

如果僅X和Y未知，其他參數(shù)已知（這在現(xiàn)實中是成立的），可以由上面兩公式求出組合情況。

在第一節(jié)中，已經(jīng)得到期權(quán)價值公式

可以在推導(dǎo)過程中假設(shè)只購買一股期權(quán)和Y股股票，則可將此式子改為V=YS0+(u-YSu)e-r，將（14）式代入上式，可以得到：

V=e-r[qU+(1-q)d]其中

可以將q看作一種概率，是一定小于1大于0的一個數(shù)字，如果erS0＜SD，即q＜0，則表示即使股價下跌，購買期權(quán)也是穩(wěn)賺的，這種情況基本不可能出現(xiàn)；erS0＜SU也是一定成立的，否則沒有投資者會冒著風(fēng)險獲取小于等于無風(fēng)險利率報酬。這里還是可以理解為一場賭博，以最差情況為基準(zhǔn)，獲取最高利潤當(dāng)然是最理想的狀況，但目前最有保障的是無風(fēng)險利率收益，兩者比例可視為獲利概率。

4 總結(jié)

本文通過對三種金融衍生期權(quán)定價模型的推導(dǎo)，揭示了二叉樹模型下的定價規(guī)律，發(fā)現(xiàn)都具有概率路徑性質(zhì)，目前代表性資產(chǎn)投資理論有均值——方差、資本資產(chǎn)定價、無風(fēng)險套利定價等方法。這些模型之間互有聯(lián)系，或在假設(shè)上，或在結(jié)果上。同時又存在著不同的優(yōu)缺點，基于二叉樹模型的三種套利定價方法也不例外，首先是假設(shè)股票有兩種情況——漲和跌，但在現(xiàn)實中不可能只有兩種定價，可能有無數(shù)種執(zhí)行價格，那么簡單的二叉樹模型運用顯得很局限；并且很多投資者（尤其是實力雄厚的投資者）具有風(fēng)險中性——預(yù)期收益和現(xiàn)實收益相同的情況下，哪怕前者有風(fēng)險，對其來說也不會改變其投資決策，這就使得以套利為目的的定價方法失效。其次是求解困難，假設(shè)存在三種情況，股價漲、跌或不變，那么求解投資組合系數(shù)從線性代數(shù)角度是不可能的，因為三個方程和兩個變量無法相互迭代，Joseph(2004)為了解決這個難題，特構(gòu)建類似于本文中資產(chǎn)組合復(fù)制技術(shù)的股票——債券組合模型，通過引入兩個初始利率和股票，得到三個未知數(shù)和三個聯(lián)立方程，但作出了非?？量痰募僭O(shè)（這種假設(shè)實際當(dāng)中并非成立）。最后，期權(quán)定價一般是事后操作，即以歷史數(shù)據(jù)的可觀測性為基礎(chǔ)，否則預(yù)測的期權(quán)最優(yōu)價值U是不準(zhǔn)確的，因為股市波動非常劇烈，規(guī)律性對一般投資者來說不明顯。筆者提出一個思路：如果擯棄有效市場假設(shè)理論，極力通過股價的歷史序列進(jìn)行時間序列模型建模，探討出股價運行規(guī)律，在方程擬合優(yōu)度非常良好的情況下，可以采用預(yù)測值為股票到期日最大價格，克服了事后觀測操作的缺陷，也避免了因不同漲跌情況帶來的預(yù)期值計算困難。

[1] （美）Joseph stampfli victor Goodman，蔡明超譯，金融數(shù)學(xué)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社,2004.

[2] 吳恒煜,隨機(jī)挽回率馬爾可夫鏈模型下信用差價衍生品定價[J].系統(tǒng)工程,2006,(1).

[3] 鄭振龍,金融衍生品的定價能力研究:以中國市場權(quán)證為例[J].商業(yè)經(jīng)濟(jì)與管理,2010,(2).