四分之一平面域上Helmholtz方程的混合邊值問題*

黃民海

(1.中山大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510275;2.肇慶學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東 肇慶 526061)

眾所周知，求解偏微分方程有各種各樣的方法：分離變量法、傅立葉變換法、格林函數(shù)法、逆散射方法，等等。20世紀(jì)末，F(xiàn)okas提出一套新穎靈活的變換方法，用于求解二維線性和可積性非線性偏微分方程的初(邊)值問題[1-2]。隨后，F(xiàn)okas和他的學(xué)生及其合作者不斷改進(jìn)和完善此方法，取得了一系列的研究成果[3-5]。

利用Fokas方法得到的解，是一個譜平面上包含已知邊界值的封閉積分表達(dá)式。相比于經(jīng)典方法，這種積分表達(dá)式具有兩個重要特點：一是積分路徑可以變形到包含指數(shù)下降的被積函數(shù)的曲線；二是積分在區(qū)域的邊界上一致收斂。這兩個特點可以方便對解作進(jìn)一步的漸近分析和數(shù)值計算[6-7]。

許多時間調(diào)和聲波或電磁波的散射問題都能表成某個Helmholtz方程[8-9]。本文就是利用Fokas變換方法研究如下1/4平面域上Helmholtz方程的混合邊值問題

(1)

r=|z|→∞

(2)

1 解的積分表達(dá)式

Fokas變換方法源于逆散射方法，利用到Lax pair和Riemann-Hilbert技術(shù)。本節(jié)我們將簡要推導(dǎo)第一象限(1/4平面)Ω內(nèi)Helmholtz方程解的一般積分表達(dá)式。為了方便后面討論，這里與Fokas的推導(dǎo)過程稍有改動。

(3)

其中，譜函數(shù)ρ1(k)和ρ2(k)分別定義為

q(x,0)]dx,lmk≤0

(4)

q(0,y)]dy,Rek≤0

(5)

而

L1={|k|≤1,argk=π}∪{|k|≥1,

argk=0}∪{|k|=1,π≤argk≤2π},

此外，如下全局關(guān)系成立

ρ1(k)+ρ2(k)=0,k∈D

(6)

(7)

(8)

由此得到全局關(guān)系(6)，其中用到符號：

(9)

由(7)和(9)，直接推得Helmholtz方程具有如下的Lax pair：

(10)

相應(yīng)地固定某點zj，由(9)有

(11)

分別取zj為(0,0),(x,∞)和(∞,y)，相應(yīng)地得到

(12)

(13)

(14)

這里，ζ=ξ+iη，

(15)

r0sin(φ0+φ1)

(16)

(17)

其中μ=μ0,μi∞,μ∞定義在其相應(yīng)的有界解析區(qū)域D0,Di∞,D∞。

注意到μ∞=μi∞,k∈D，由此，可以定義如下分區(qū)全純函數(shù)(與文[3]有所不同)

(18)

從而，可以構(gòu)造Riemann-Hilbert問題

(19)

(20)

ρ1(k),ρ2(k)稱為譜函數(shù)，分別由(4)，(5)定義。

根據(jù)解析函數(shù)邊值理論[11]，滿足條件(17)的Riemann-Hilbert問題(19)有唯一解

(21)

將(21)代入(10)的第二個方程，得到積分表達(dá)式(3)，這樣，引理得證。

2 混合問題的解

式(3)和(4)-(5)常稱作Fokas變換。一般地，解的積分表達(dá)式(3)含有Dirichlet和 Neumann邊界值。對于具體問題如本文所討論的混合邊值問題(1)，已知邊界Γ1上的Dirichlet邊值和Γ2上的Neumann邊值，而邊界Γ1上的Neumann邊值和Γ2上的Dirichlet邊值未知。對于一些特定的區(qū)域，利用全局關(guān)系(6)和某些映射關(guān)系，可以消除表達(dá)式中的未知量，從而得到解的封閉積分表達(dá)式。

(22)

證明引入輔助函數(shù)

由全局關(guān)系(6)，得

N1(k)+D1(k)+N2(k)+D2(k)=0,k∈D

(23)

N1(-k)-D1(-k)+N2(k)-D2(k)=0,k∈D*

即

N2(k)=D1(-k)-N1(-k)+D2(k),k∈D*

(24)

其中

有效。由(6)和(24)消去N2(k)，得

N1(k)-N1(-k)+D1(k)+D1(-k)+

2D2(k)=0,k=-t,t∈L1

(25)

N1(-k)-N1(k)+D1(-k)+D1(k)+2D2(-k)=0,k∈L1

即

D1(k)=-D1(-k)+N1(k)-N1(-k)-2D2(-k)=0,k∈L1

(26)

由于ρ1(k)=N1(k)+D1(k),ρ2(k)=N2(k)+D2(k)，將(24)，(26)代入(3)，得

其中

利用柯西定理，H=0,再把L2的積分轉(zhuǎn)化到L1上，得到所要證的結(jié)論

參考文獻(xiàn)：

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