基于殘差修正的GM(1,1)模型的我國人均糧食產(chǎn)量預(yù)測

楊 陽

（西南政法大學(xué)，重慶401120）

0 引言

經(jīng)濟(jì)預(yù)測指通過對歷史數(shù)據(jù)、現(xiàn)象的總結(jié)歸納，發(fā)現(xiàn)內(nèi)在波動規(guī)律并構(gòu)建相關(guān)框架和方法，對未來的經(jīng)濟(jì)走勢進(jìn)行期望假設(shè)的過程。目前預(yù)測的方法很多，定性和定量作為預(yù)測的兩大工具，越來越呈現(xiàn)出互相補(bǔ)充、互為檢驗(yàn)的良性關(guān)系。定性預(yù)測的頭腦風(fēng)暴法、德爾菲法曾經(jīng)和正在被廣泛使用，但定量預(yù)測的運(yùn)用正在被全面推廣，如線性計(jì)量方程、馬爾科夫鏈、空間狀態(tài)方程、灰色理論等，各種預(yù)測工具各有優(yōu)劣，甚至相關(guān)學(xué)者提出使用變權(quán)重組合模型對眾多預(yù)測方法進(jìn)行整合，以縮小預(yù)測誤差而提高精度。筆者認(rèn)為，首先數(shù)量經(jīng)濟(jì)預(yù)測方法（如計(jì)量回歸）需要大量的數(shù)據(jù)，那么由于統(tǒng)計(jì)資料的缺失或誤差導(dǎo)致模型整體效度不高、模型不可能窮盡所有影響因素而引起隨機(jī)擾動項(xiàng)不真實(shí)；馬爾科夫鏈強(qiáng)調(diào)無后效性，即當(dāng)期數(shù)據(jù)包含了以往歷史數(shù)據(jù)所有信息，下一期現(xiàn)象只與本期數(shù)據(jù)和轉(zhuǎn)移概率有關(guān)，需要強(qiáng)有效市場理論的支持，這些在現(xiàn)實(shí)當(dāng)中是不成立的，所以一切計(jì)量預(yù)測方法都具備了一些與現(xiàn)實(shí)不相符合的假設(shè)，必然導(dǎo)致誤差。其次變系數(shù)組合預(yù)測法固然能夠取不同預(yù)測模型之長以提高精度，但預(yù)測模型多種多樣，在紛繁復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象下不可能將所有的預(yù)測方法都使用一次后再進(jìn)行變系數(shù)組合，這樣做不僅復(fù)雜而且所得出的系數(shù)也僅僅是在一小段時(shí)間內(nèi)有效。綜上所述，灰色系統(tǒng)能夠相對于其他預(yù)測模型更能從本質(zhì)上揭示數(shù)據(jù)運(yùn)動規(guī)律，并且所需要的樣本區(qū)間較其他方法少，將由隨機(jī)擾動項(xiàng)引起的沖擊序列進(jìn)行灰——白轉(zhuǎn)變。但任何模型都存在著預(yù)測誤差問題，誤差反映在模型中為隨機(jī)擾動項(xiàng)，故本文對GM(1,1)預(yù)測模型的尾端殘差序列進(jìn)行白熱化方程進(jìn)行時(shí)間相應(yīng)函數(shù)求解，以期消除誤差，并通過實(shí)際案例進(jìn)行分析以體現(xiàn)其在經(jīng)濟(jì)預(yù)測中的價(jià)值。

1 殘差修正的GM(1,1)模型

目前關(guān)于灰色預(yù)測方面的理論研究非常多，本文無意于去討論已經(jīng)成熟的模型形式，而著重探討模型中的經(jīng)濟(jì)含義和變量作用。GM(1,1)模型表示一階條件下單變量的灰色預(yù)測模型，有基本形式和原始形式之分。

原始形式是指 x0(k)+ax1(k)=b，其中 x0(k)為原始序列，x1(k)為一次累加序列，那么由簡單OLS可求出a,b兩個(gè)參數(shù)，具體意義是a為發(fā)展系數(shù)，及累加序列每變動一個(gè)單位給原始序列帶來的影響作用大小，成為發(fā)展系數(shù)。假設(shè)x0(k)是一個(gè)成倍數(shù)增長的簡單序列，如x0(k)=Ck，C為常數(shù)，那么很容易求出a與b之間存在的簡單線性關(guān)系。基本形式是計(jì)算出x1(k)的緊鄰均值序列z1(k)，然后將其替代x1(k)，形成x0(k)+az1(k)=b，替代的目的在于使用累加序列緊鄰均值可比較好的控制趨勢放大效應(yīng)，即緩沖算子作用。求得參數(shù)a,b的回歸矩陣可表示為

則GM(1,1)模型x0(k)+az1(k)=b的最小二乘估計(jì)參數(shù)列滿足x0(k)+az1(k)=b的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)序列為

從K0開始的ε0的預(yù)測序列為

其中，

殘差修正的GM(1,1)基本理念是：既然原始觀測序列存在內(nèi)部規(guī)律可用灰色處理得到提取值那么預(yù)測與觀測序列所形成的誤差必然有一部分屬于系統(tǒng)真實(shí)序列，同樣可以采取時(shí)間相應(yīng)公式處理，克服了以往計(jì)量方法無法再從殘差即隨機(jī)擾動項(xiàng)中提取有價(jià)值信息的不足。值得說明的是上述提高的K0是截取誤差項(xiàng)的起點(diǎn)值，這并不意味著必須要從長度為n的殘差序列中后半段開始提取，可以通過比較不同時(shí)點(diǎn)上預(yù)測誤差的大小，進(jìn)行有針對性的選取，在本文下面的例證中就使K0為2，即全范圍的提取，從整體預(yù)測角度去減少誤差。當(dāng)然在相關(guān)研究中作者們可以根據(jù)實(shí)際情況選取K0。

2 實(shí)證分析

2.1 我國糧食產(chǎn)量的統(tǒng)計(jì)分析

根據(jù)以上的灰色模型及殘差修正分析，選取2000～2009年的我國人均糧食產(chǎn)量為研究對象，數(shù)據(jù)來源于《中國統(tǒng)計(jì)年鑒》（2009）。進(jìn)行GM(1,1)預(yù)測，并通過對尾端殘差的1—AGO序列建立時(shí)間相應(yīng)函數(shù)求解，對預(yù)測模型進(jìn)行更正。我國作為傳統(tǒng)意義上的農(nóng)業(yè)大國，在向工業(yè)化強(qiáng)國邁進(jìn)的道路上一直沒有忽視糧食安全的重要性，但自1998年糧食產(chǎn)量達(dá)到歷史頂峰后，由于耕地面積減少、農(nóng)村勞動力大量外流和技術(shù)基礎(chǔ)過低等綜合因素2003年糧食不增反減，曾經(jīng)一度引起恐慌。但中央采取了一系列的“三農(nóng)”扶持政策，加大了對農(nóng)業(yè)的政策傾斜力度與投資，克服了干旱等自然災(zāi)害，實(shí)現(xiàn)了七連增的大豐收。但也應(yīng)清楚的認(rèn)識到雖然糧食總量連年增加，但增加的幅度很小，以2000年為基數(shù)2009年的增加幅度為14.85%，年平均增長率不到1.5%，不僅小于國家在農(nóng)業(yè)投資上的增速也小于農(nóng)民收入增速，體現(xiàn)了糧食增產(chǎn)工作是系統(tǒng)工程，需要各項(xiàng)支持協(xié)同努力才能夠發(fā)揮顯著效果，目前的糧食政策有待改善。人口眾多是我國的一大基本國情，人口的增長在短期內(nèi)并不意味著勞動力的增多，所以經(jīng)濟(jì)不會以新古典經(jīng)濟(jì)增長模型中的勞動力添加模式發(fā)展，實(shí)際上降低了人均占有資源，有學(xué)者經(jīng)過統(tǒng)計(jì)改革開放24年以來人均糧食產(chǎn)量劃了一個(gè)圈-回到了原點(diǎn)。上述觀點(diǎn)可從表1看出。人均糧食產(chǎn)量由總產(chǎn)量和國民人數(shù)決定，過低一方面體現(xiàn)了糧食產(chǎn)量增速緩慢，另一方面也反映了計(jì)劃生育在我國的執(zhí)行力度不夠，沒有達(dá)到相應(yīng)的目標(biāo)。

2.2 糧食產(chǎn)量GM(1,1)預(yù)測

灰色預(yù)測是使歷史數(shù)據(jù)序列由灰轉(zhuǎn)白的過程。根據(jù)第一節(jié)的理論敘述，經(jīng)過以下流程對人均糧食產(chǎn)量進(jìn)行預(yù)測：

表1 我國糧食總產(chǎn)量及人均產(chǎn)量

（1）累加生成序列1-AGO的生成

根據(jù)系統(tǒng)觀測行為序列

得到1-AGO序列：

運(yùn)用數(shù)據(jù)序列進(jìn)行灰色系統(tǒng)建模的前提是序列X（0）為非負(fù)準(zhǔn)光滑序列，而X（1）具有準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律，下面進(jìn)行驗(yàn)證。首先進(jìn)行X（0）光滑比P（k）值計(jì)算，結(jié)果如表2。表2中2001年的P（k）值為0.972，其他年費(fèi)均小于0.5，而P（k+1）/P（k）在八個(gè)時(shí)點(diǎn)上均通過檢驗(yàn)，故認(rèn)為考察時(shí)間段內(nèi)非負(fù)準(zhǔn)光滑序列驗(yàn)證通過；同理，得到前后年數(shù)據(jù)之比O（k），數(shù)據(jù)同見表1，浮動區(qū)間為[0.9367,1.0836]，極值＜0.5,可知數(shù)據(jù)序列存在準(zhǔn)灰數(shù)指數(shù)規(guī)律。

（2）緊鄰均值Z(1)生成及預(yù)測模型估計(jì)

上文已經(jīng)通過了灰色建模的前提條件檢驗(yàn)，生成緊鄰均值序列

由于白熱化方程的形式為X(t)+aZ(t)=b，通過最小二乘法進(jìn)行估計(jì)的矩陣形式是

表2 非負(fù)準(zhǔn)光滑序列及準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律驗(yàn)證

得到發(fā)展系數(shù)為0.0149，絕對值小于2說明GM模型穩(wěn)定，并且根據(jù)[-2/(n+1),2/(n+1)]原則，有較高精度。則可得到相應(yīng)的時(shí)間函數(shù)式22880.504304，經(jīng)過DPS軟件測算后得到擬合序列，見表3。

表3的第三列為預(yù)測誤差，第四列為相對誤差，發(fā)現(xiàn)擬合效果不好，殘差平方和C為0.7046，平均相對誤差P=0.5556。對未來5期進(jìn)行預(yù)測得到 X(t+k)=399.16069，405.15455，411.23841，417.41363，423.68157。

表3 DPS處理的GM(1,1)預(yù)測結(jié)果

3 殘差序列修正的模型

根據(jù)上述討論目前所得到的結(jié)果并不良好，根據(jù)誤差序列均取絕對值，得到

建立GM（1，1）模型，得 ε0的1-AGO序列 ε1的時(shí)間響應(yīng)式

其中，a=0.101709，b=18.984327。其導(dǎo)數(shù)還原值為

得到殘差修正后的預(yù)測模型為

預(yù)測的模型擬合值、殘差序列、相對平均誤差見表4。殘差平方和提升到0.8889，模型評價(jià)結(jié)果為好。對未來5年的預(yù)測結(jié)果為：394.35298，399.69133，405.18307，410.82343，416.60824公斤/人。從這里反映了兩個(gè)問題：一是由于糧食產(chǎn)量為明顯上揚(yáng)序列，進(jìn)行模擬預(yù)測時(shí)殘差的擴(kuò)大是由于趨勢的放大效應(yīng)一起的，殘差修正后的預(yù)測模型比未修正條件下的更具有收斂性，從預(yù)測結(jié)果對比可看出，修正結(jié)果較以前波動小。

表4 殘差修正后的GM(1,1)預(yù)測結(jié)果

灰色理論認(rèn)為當(dāng)兩個(gè)波動序列形狀和趨勢越接近，則兩者之間存在灰色關(guān)聯(lián)關(guān)系，這里通過實(shí)際序列和兩個(gè)預(yù)測序列之間的關(guān)系圖（圖1）可以看出，修正后的預(yù)測序列更與實(shí)際序列接近，而與傳統(tǒng)預(yù)測方法存在的根本差異在于：灰色理論認(rèn)為行為序列（即實(shí)際值）并不是真實(shí)序列，而灰色處理的任務(wù)就是從行為序列中提取真實(shí)序列并消除擾動項(xiàng)，但其他方法卻與此相反，大多方法以觀測序列為實(shí)際序列。

3 結(jié)論

經(jīng)過基于殘差修正的GM(1,1)預(yù)測模型相關(guān)討論和實(shí)證，得到以下結(jié)論。

(1)灰色模型無論是在理論基礎(chǔ)還是實(shí)踐運(yùn)用中均較其他計(jì)量模型更為實(shí)用和簡便，且不失邏輯基礎(chǔ)。現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)社會活動紛繁復(fù)雜，建立模型時(shí)不能包含全部因素，并且由于統(tǒng)計(jì)手段的局限性數(shù)據(jù)缺漏是常見現(xiàn)象。王明禮認(rèn)為灰色模型是指利用離散隨機(jī)數(shù)經(jīng)過生成變?yōu)殡S機(jī)性被顯著削弱而且較有規(guī)律的生成數(shù)，建立起的微分方程形式的模型，是一個(gè)將信息由灰變白的過程。緩沖算子的提出使得原始數(shù)據(jù)的處理更具規(guī)律性、可控性和系統(tǒng)性，能夠根據(jù)實(shí)際經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象和發(fā)展趨勢對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)整，擯棄了以往觀測數(shù)據(jù)等于真實(shí)數(shù)據(jù)的誤區(qū)。

(2)灰色系統(tǒng)殘差修正克服了其他計(jì)量模型不能對隨機(jī)擾動項(xiàng)進(jìn)行再次提取有效信息的缺陷，更重要的是從殘差序列本身入手，不會帶來如回歸方法中增減自變量帶來的偽回歸和異方差，并且這種殘差修正過程可以多次進(jìn)行，直到殘差信息被很好提取為止。本文實(shí)證中的結(jié)論證明了殘差修正使預(yù)測精度大大提高，通過了相關(guān)檢驗(yàn)。并且緩沖算子的存在也使灰色算法與其他算法結(jié)合得以實(shí)現(xiàn)，如姚作芳等使用markov法對灰色預(yù)測結(jié)果進(jìn)行修正；張大斌(2009)提出了一種基于遺傳算法調(diào)整發(fā)展系數(shù)和內(nèi)生灰作用量的灰色預(yù)測模型,將遺傳算法系數(shù)作為灰色緩沖算子。

（3）我國糧食產(chǎn)量預(yù)測情況說明，未來5年我國人均糧食產(chǎn)量增速要小于以前，年增量為5～6公斤/人，小于2003～2009期間的8～10公斤/人。當(dāng)然，預(yù)測的結(jié)果是基于目前發(fā)展態(tài)勢的前提，如果產(chǎn)業(yè)政策和科技水平有了很好的調(diào)整，情況會發(fā)生相應(yīng)變化，特別是黨的十七大上提出的確保糧食安全、建設(shè)產(chǎn)量基地等大力發(fā)展糧食產(chǎn)業(yè)的措施，這些都會造成系統(tǒng)行為規(guī)律的變動。糧食產(chǎn)業(yè)包含很多子行業(yè)，如水稻、玉米和小麥行業(yè)，需要尋找對糧食產(chǎn)業(yè)貢獻(xiàn)最大的子產(chǎn)業(yè)，進(jìn)行區(qū)別財(cái)政支持。目前有學(xué)者對糧食產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，賴紅兵通過建立糧食產(chǎn)量的誤差修正模型,發(fā)現(xiàn)水稻波動對糧食產(chǎn)量波動的影響顯著,其次是玉米和小麥。對提高糧食產(chǎn)量這項(xiàng)國家任務(wù)需要進(jìn)行定量分析，以確保糧食產(chǎn)業(yè)穩(wěn)步發(fā)展。

圖1 預(yù)測效果對比圖

[1]鄧聚龍.灰色系統(tǒng)基本方法[M].武漢:華中理工大學(xué)出版社,1987.

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[3]姚作芳,劉興土,楊飛.馬爾科夫方法修正的灰色模型在吉林省糧食產(chǎn)量預(yù)測中的應(yīng)用[J].地理科學(xué)，2010,（3）.

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[5]賴紅兵.中國糧食產(chǎn)量波動及其結(jié)構(gòu)分析[J].農(nóng)業(yè)技術(shù)經(jīng)濟(jì)，2009,（5）.