復(fù)式行星齒輪傳動裝置的自由振動特性(二)

4.4 每排多于三個行星齒輪的CPGT：N≥3

固有頻率和相應(yīng)的振動模式列于表4,分類為以下三種：

1.10 個固有頻率：對于不同數(shù)目行星齒輪N有階mf=1,除零固有頻率外,導(dǎo)致它們的值隨附加行星齒輪數(shù)而增加。它們連帶振動模式有行星架,齒圈1,齒圈2和太陽輪的純常見的轉(zhuǎn)動變形。該行星齒輪具有同相位相同運(yùn)動(圖8),這些模式稱為轉(zhuǎn)動模式。

2.10 個固有頻率：對于不同行星齒輪數(shù)目N有階mf=2,隨著N增加有一些固有頻率單調(diào)增加,而另一些則單調(diào)減少。在相應(yīng)的振動模式,行星架,齒圈1,齒圈2和太陽輪有純移動,此外注意到以下有關(guān)之間變形,對于重復(fù)模式：ui1=vi2和vi1=-ui2,i=c,r1,r2,s其中(ui1,vi1)是第一模式中常見的變形,而(ui2,vi2)是第二模式內(nèi)最常見的變形,該行星齒輪變形的總和等于零(圖9),這些模式稱為移動模式。

圖8 轉(zhuǎn)動模式的模式形態(tài)F4：相對行星齒輪同相位(相同變形)反相位(相反變形)Fig.8 Mode Shapes for rotational mode F4：the opposite planets are in-phase(same deflections)are counter-phased(opposite deflections)

圖9 移動模式的模式形態(tài)F2和F3：行星齒輪相對Fig.9 Mode Shapes for translational modes F2and F3：the opposite planets

3.6 個固有頻率：如果只有N＞3,有階mf=N-3,其有關(guān)連的振動模式稱為行星齒輪模式,因?yàn)樾行羌?齒圈1,齒圈2和太陽輪不運(yùn)動,在該模式僅行星齒輪發(fā)生運(yùn)動,相對行星齒輪為同相位(具有相同的變形),所有行星齒輪變形的總和等于零(圖10至12)。

對于N=4,5和6,表4示最多有26個固頻率;增加行星齒輪只有改變行星齒輪模式固有頻率的多重性。

在Lin和parker[4]著作中可以找到本結(jié)果的論證,該作者們檢測了三種固有頻率并指出了它們的多重性。

4.5 行星齒輪布置第二排的影響

在行星齒輪第二排(13°)引起角位置的改變?nèi)鐖D13所示,注意到由于行星齒輪b角位置α1b對固有頻率稍有影響,但其類型仍保持不變?nèi)绫?所示。

圖10 移動行星齒輪a模式的模式形態(tài)F10：在本模式行星齒輪a不轉(zhuǎn)動Fig.10 Mode Shapes for translational planet-a mode F10：the planets-a do not ratate in this mode

圖11 移動行星齒輪b模式的模式形態(tài)F14：在本模式行星齒輪a不動Fig.11 Mode Shapes for translational planet-b mode F14：planets-a do not move in this mode

圖12 轉(zhuǎn)動行星齒輪模式的模式形態(tài)F26：在本模式所有行星齒輪不移動Fig.12 Mode Shapes for rotational planet mode F26：all planets do not translate in this mode

4.6 行星架轉(zhuǎn)動速度的影響

圖14示與行星架轉(zhuǎn)速有關(guān)的一些固有頻率的評估。可注意到對于行星架高速,移動的固有頻率分為兩不同的分支之一,而行星齒輪和轉(zhuǎn)動固有頻率保持不變,該分支隨行星架轉(zhuǎn)速增大而變大。

圖13 行星齒輪b角位置α1bFig.13 Planet-b angle position α1b

表5 對于行星齒輪b角位置α1b=0°和α1b=13°固有頻率的變化Table 5 The variation of natural frequencies for planet-b angle positions：α1b=0°and α1b=13°

圖14 行星架轉(zhuǎn)速Ωc與固有頻率間關(guān)系Fig.14 Natural frequency versus the carrier rotation speed Ωc

5 結(jié)論

本文開發(fā)了CPGT的一個平面動力學(xué)模型,導(dǎo)出運(yùn)動方程式為一矩陣形式,采用齒輪嚙合剛度的平均名義值計算固有頻率和振動模式。它表明固有模式按照其固有的移動和轉(zhuǎn)動可以分為三類。同時它還表明該固有頻率對陀螺效應(yīng)是敏感的。概括地觀察到CPGT的最常見特性在動力學(xué)響應(yīng)方面是十分重要的。(谷雨譯自proc.IMechE 2008 Vol.222 partc：J.Mechanical Engineering Science)

[1]Gott G.Changing gears：the development of the automatic transmission,1991(Society of Automotive Engineers,Warrendale,PA,USA).

[2]Deniels J R.New generation drivetrains,1995(The E-conomist Intelligence Unit,UK).

[3]Hidaka T,Terauchi Y,and Fuji M.Analysis of dynamic tooth load on planetary gear.Bull.JSME,1980,23：315-323.

[4]Lin J,and Parker R G.Analytical characterization of the unique properties of planetary gear free vibration.J.Vibr.Acoust.1999,121：316-321.

[5]Houser D R.Gear noise state of the art.In Proceedings of the 17th International Conference on Noise Control Engineering,Avignon,France,30 August-1 September 1988,vol.2,pp.601-606.

[6]White R J,Exploration of a strategy for reducing gear noise in planetary transmissions and evaluation of lase vibrometry as a means for measuring transmission error.PhD Thesis,Department of Mechanical and Aerospace Engineering,Case Western Researve University,Janvier,2006.

[7]Pearce W J,Nilsen M A,and Rouverol W S.Reducing gear noise excitation.In Proceedings of the 2nd World Congress on Gearing,Paris,3-5 March 1986,vol.1,pp.587-598.

[8]Muller W H.Epicyclic drive trains,1982(Wayne State University Press,Detroit).

[9]Kahraman A.Free tortional vibration characteristics of compound planetary gear sets.Mech.Mach.Theor,2001,36：953-971.

[10]Hbaieb R,Chaari F,Fakhfakh T,and Haddar M.Three dimensional model for a helical planetary gear train vibration analysis.Int.J.Eng.Simul.,2005,6：32-38.

[11]Kasuba R,and August,R.Gear mesh stiffness and load sharing in planetary gearing.In the ASME 4th Power T ransmission Conference,Cambridge,Massachusetts,1984,Paper 84-DET-229.

[12]Haris L M S.Impact of system-level factors on planetary gear set behaviour.PhD Thesis,Graduate School of the Ohio State University,2007.

[13]Hbaieb R,Chaari F,Fakhfakh T,and Haddar M.Dynamic stability of a planetary gear train under the influence of variable meshing stiffnesses.Proc.IMechE,Part D：J.Automobile Engineering,2006,229(D12)：1711-1725.

[14]Lin J,and Parker R G.Parametric instabilities in planetary gears under mesh stiffness variations.J Vibr.Acoust,2000,249(1)：129-146.

[15]Lin J,and Parker R G.Structured vibration characteristics of planetary gears with unequally spaced planets.J Sound Vibr.,2000,233(5)：921-928.

[16]Howells R W.Transmission design with finite element analysis,Parts 1-3,1978(US ArmyResearch and Technology Laboratories,USA)(USARTL-TR-78-2A and 2B).

[17]Abousleiman A,and Velex P.Ahybrid 3D finite element/lumped parameter model for quasi-static and dynamic analyses of planetary/epicyclic gear sets.Mech.Mach.Theory,2006,41：727-748.

[18]Parker R G,Agashe V,and Vijayakar S M.Dynamic response of a planetary gear system using a finite element/contact mechanics model.ASME J.Mech.Des.,2000,122：304-110.

[19]Chaari F,Baccar W,Abbes M S,and Haddar M.Effect of spalling or tooth breakage on gearmesh stiffness and dynamic response of a one-stage spur gear transmission.Eur.J Mech A：Solids,2008,27(4)：691-705.

附錄1 Appendix 1

符號 Notation a 長行星齒輪long planet b,d 短行星齒輪short planets c 行星架carrier diag 對角線矩陣diagonal matrix 動能kinetic energy 勢能potential energy G 陀螺矩陣gyroscopic matrix h 接觸比contact ratio 元件 j的慣量的極質(zhì)量矩 polar mass moment of inertia of element j K(t)總時間變化剛度矩陣total time-varying stiffness matrix(t)總時間變化齒輪嚙合剛度矩陣 total time-varying gearmesh stiffness matrix K0 名義齒輪嚙合剛度矩陣 mean gearmesh stiffness matrix(t)時間變化齒輪嚙合剛度矩陣 time-varying gearmesh stiffness matrix 軸承剛度矩陣bearing stiffness matrix 向心力剛度矩陣centripetal stiffness matrix kabi(t)行星齒輪ia-行星齒輪ib齒輪嚙合剛度planet-ia-planet-ib gearmesh stiffness 元件j的軸承剛度bearing stiffnesses of element j 元件 j扭轉(zhuǎn)剛度 torsional stiffness of element j kr1i(t)齒圈1-行星齒輪ia齒輪嚙合剛度ring-

1-planet-ia gearmesh stiffness 齒圈2-行星齒輪ib齒輪嚙合剛度ring-2-planet-ib gearmesh stiffness 太陽輪-行星齒輪ia齒輪嚙合剛度 sunplanet-ia gearmesh stiffness 行星齒輪軸承剛度 bearing stiffnesses of planets md 模數(shù)module mf 固有頻率多重性multiplicity of natural frequencies M 質(zhì)量矩陣mass matrix 元件 j質(zhì)量 mass of element j N 行星齒輪數(shù)number of planets p 整數(shù) number of integers q 系統(tǒng)自由位移矢量 freedom displacement vector of the system 元件 j自由位移矢量 freedom displacement vector of element j r1 齒圈1 ring gear 1 r2 齒圈2 ring gear 2 元件 j基圈半徑 base circle radius of element j s 太陽輪sun gear T 外力矢量external forces vector 作用元件j轉(zhuǎn)矩torque applied to element j 元件 j移動自由度 translational degrees of freedom element j

Zj 元件j齒數(shù)teeth number of element j α 壓力角 pressure angle 行星齒輪ib角位置planet-ib angular position 行星齒輪ia軸承相對徑向和切向位移relative radial and tangential planet-ia bearing displacements 行星齒輪ib軸承相對徑向和切向位移relative radial and tangential planet-ib bearing displacements 行星齒輪ia和行星齒輪ib相對齒輪嚙合位移relative planet-ia and planet-ib gearmesh dis-

placement 齒圈1和行星齒輪ia齒輪嚙合位移 relative ring-1 and planet-ia gearmesh displacement Δrib 齒圈2和行星齒輪ib齒輪嚙合位移 relative ring-2 and planet-ib gearmesh displacement 太陽輪和行星齒輪ia齒輪嚙合位移 relative sun and planet-ia gearmesh displacement 元件j轉(zhuǎn)動自由度rotational degrees of freedom of element j Φ 固有值矩陣eigenvalue matrix 固有頻率natural frequency 行星架角速度carrier angular speed

附錄2 Appendix 2

采用Lagrange公式求得運(yùn)動方程式,無阻尼,自然的動力學(xué)模型如圖2所示的Lagrange公式為

式中Epj,Ecj和Tj分別為元件j的動能,勢能和外加轉(zhuǎn)矩,對于行星齒輪,Lagrange公式求得

行星架,齒圈1,齒圈2,太陽輪,行星齒輪ia和行星齒輪ib的運(yùn)動方程式為

附錄3 Appendix 3

位移矢量為

外加轉(zhuǎn)矩矢量為

質(zhì)量矩陣為

陀螺矩陣為

軸承剛度矩陣為

間心力矩陣為

接觸比h,它是由兩齒輪接觸之間平均輪齒副數(shù)確定的,是估算齒輪嚙合剛度的一個重要的系數(shù)。事實(shí)上,對于低接觸比(h＜2)的情況,觀察到的接觸輪齒對數(shù)波動為一對或二對。由它可求出時間變化的齒輪嚙合剛度Ke(t)?？紤]到這種變化主要是變速箱的激勵源,并引起振動和有害聲響的放出。考慮輪齒數(shù)為Zpi的小齒輪的轉(zhuǎn)速,其齒輪嚙合周期(秒)確定為

由單對齒輪嚙合剛度逐點(diǎn)迭加計算時間變化齒輪剛度如圖4所示,最大剛度值相應(yīng)于兩對齒接觸由(pTe)到(h-1)(pTe)求得,而最小值相應(yīng)于一對齒接觸由(h-1)(p)到((p+1))求得,p為整數(shù)[19]

在上述公式中嚙合剛度函數(shù)可表示為

陀螺矩陣為

式中

軸承剛度為

其中

其中

向心力矩陣為

式中

時間變化齒輪嚙合剛度矩陣

式中

式中

式中

外加轉(zhuǎn)矩矢量為