邊坡滾石運(yùn)動(dòng)軌跡分段循環(huán)算法

俸錦福，張俊紅，朱 彬 ，陳宇龍

（1.中交第二航務(wù)工程勘察設(shè)計(jì)院有限公司，湖北 武 漢 4 30071；

2.華北水利水電學(xué)院鋼結(jié)構(gòu)與工程研究院，河南 鄭 州 4 50011；

3.河北省國(guó)控礦業(yè)開(kāi)發(fā)投資有限公司，河北 石 家莊 0 50000；

4.重慶大學(xué) 煤 礦災(zāi)害動(dòng)力學(xué)與控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 4 00030）

0 引言

滾石是指?jìng)€(gè)別巖塊因某種原因從邊坡表面脫離失穩(wěn)后，在重力作用下，沿著坡面經(jīng)過(guò)滾動(dòng)、回彈、跳躍或滑動(dòng)等運(yùn)動(dòng)方式向坡底快速?zèng)_擊，最后在較平緩的地帶或受到障礙物阻止后，靜止下來(lái)的一種動(dòng)力演化現(xiàn)象［1］。一般，滾落的巖石也被統(tǒng)稱為滾石。當(dāng)滾石運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)有人類活動(dòng)或人類構(gòu)筑的設(shè)施并引起一定的損失時(shí)，就構(gòu)成了滾石災(zāi)害［2］。

邊坡滾石問(wèn)題首先要解決的是滾石運(yùn)動(dòng)軌跡的估算問(wèn)題?，F(xiàn)有的滾石運(yùn)動(dòng)軌跡計(jì)算方法大多把滾石假設(shè)為質(zhì)點(diǎn)，列出其做拋物運(yùn)動(dòng)過(guò)程中某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方程，但這些計(jì)算方法大多計(jì)算公式繁雜［3-6］，不利于實(shí)際工程中的應(yīng)用。為此，基于已有研究成果的基礎(chǔ)上，結(jié)合滾石實(shí)際的運(yùn)動(dòng)情況，提出了一種分段循環(huán)算法，用于滾石運(yùn)動(dòng)軌跡的計(jì)算與分析。

1 滾石運(yùn)動(dòng)軌跡理論計(jì)算

1.1 基本假設(shè)

從實(shí)驗(yàn)和現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)結(jié)果分析，可以將滾石運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程概化為三個(gè)階段，即滾動(dòng)（滑動(dòng)）運(yùn)動(dòng)階段、拋物運(yùn)動(dòng)階段和與坡面碰撞階段。由于與坡面碰撞階段主要涉及到能量轉(zhuǎn)換與損耗，滾石在這一階段發(fā)生的位移比較小，因此，按照滾石的位移，則可以將滾石簡(jiǎn)化為：彈跳階段和滾動(dòng)（滑動(dòng)）階段兩個(gè)階段，而把碰撞階段納入到彈跳階段。這樣對(duì)于滾石運(yùn)動(dòng)軌跡的描述，只需要研究滾石的彈跳軌跡和滾動(dòng)（滑動(dòng)）軌跡［7］。

由于滾石運(yùn)動(dòng)非常復(fù)雜，為了便于理論分析，需要做如下假設(shè)：

（1）滾石為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，忽略滾石大小、形狀、角速度（轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能）對(duì)滾石運(yùn)動(dòng)軌跡的影響。

（2）滾石的質(zhì)量恒定，為常數(shù)，即滾石足夠堅(jiān)硬，在碰撞的過(guò)程中不會(huì)分裂。

（3）忽略空氣阻力的影響。

（4）邊坡坡面由一組連續(xù)的首尾相接的直線段組成。

（5）忽略邊坡坡面粗糙度的影響。滾石在處于彈跳運(yùn)動(dòng)時(shí)，邊坡坡面粗糙度的影響較小，可以忽略。當(dāng)然，滾石在處于滾（滑）動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，邊坡坡面粗糙度對(duì)滾石的運(yùn)動(dòng)有影響，由于測(cè)定邊坡坡面粗糙度比較難，另外這種影響與滾石的大小有關(guān)，所以，在進(jìn)行理論計(jì)算時(shí)，根據(jù)假設(shè)（1），忽略其影響。

（6）邊坡坡面法向還原系數(shù)RN恒定。

基于這樣的假設(shè)條件下，賦予滾石一個(gè)確定的初始狀態(tài)（位置、初速度等）后，就可以采用分段循環(huán)算法，從理論上分析滾石的運(yùn)動(dòng)軌跡。當(dāng)然，在此之前邊坡坡面的各參數(shù)應(yīng)該是確定的。

1.2 計(jì)算滾石彈跳運(yùn)動(dòng)過(guò)程的軌跡

滾石在彈跳階段，與坡面發(fā)生碰撞后，必然會(huì)產(chǎn)生能量的損耗（這種能量的損耗從滾石速度的改變可以體現(xiàn)出來(lái)），也就是說(shuō)，滾石每一次“彈起”都相當(dāng)于重新處于一個(gè)初始狀態(tài)，為接下來(lái)“跳”的計(jì)算提供了初始條件。因此，可以把滾石的整個(gè)彈跳階段分割開(kāi)來(lái)，化為一個(gè)個(gè)相互聯(lián)系的“彈跳”過(guò)程。在已知邊坡坡面的各參數(shù)和滾石的初始狀態(tài)后（自然界中滾石的初始狀態(tài)一般為靜止），可以進(jìn)行第一次彈跳運(yùn)動(dòng)軌跡的計(jì)算。然后，以第一次彈跳運(yùn)動(dòng)軌跡計(jì)算的結(jié)果為基礎(chǔ)，進(jìn)行第二次彈跳運(yùn)動(dòng)軌跡計(jì)算，以此類推，直到滾石彈跳運(yùn)動(dòng)結(jié)束。

滾石彈跳運(yùn)動(dòng)階段軌跡計(jì)算的本質(zhì)就是找出滾石每次“彈起”運(yùn)動(dòng)時(shí)的拋物線與邊坡坡面各線段的交點(diǎn)以及每段拋物運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，一旦確定了接觸點(diǎn)和滾石做拋物運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，則運(yùn)用下面的公式，就可以確定滾石的運(yùn)動(dòng)軌跡。

找到滾石與邊坡坡面的接觸點(diǎn)后，若滾石仍有足夠的能量彈離邊坡坡面繼續(xù)做拋物運(yùn)動(dòng)，則此接觸點(diǎn)就是滾石下一段運(yùn)動(dòng)的初始位置，可以接著計(jì)算滾石彈跳運(yùn)動(dòng)軌跡，反之滾石沒(méi)有足夠的能量彈起，則滾石由此點(diǎn)轉(zhuǎn)入滾（滑）動(dòng)階段。

下面介紹滾石做拋物運(yùn)動(dòng)時(shí)分段循環(huán)算法的原理與步驟。

先將滾石和邊坡放入一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中（圖1），這樣，滾石所在初始位置和邊坡各坡面線段端點(diǎn)都對(duì)應(yīng)了相應(yīng)坐標(biāo)，則滾石第一次碰撞所接觸坡面的位移變量方程為：

式中：

x，y——滾石在坡面位置上的點(diǎn)坐標(biāo)；

X1，Y1——坡面直線端點(diǎn)坐標(biāo)；

X2，Y2——坡面直線另一端點(diǎn)坐標(biāo)；

u——當(dāng)前坡面線段的斜率。

滾石做拋物運(yùn)動(dòng)時(shí)的位移變量方程為：

式中：

g——重力加速度（符號(hào)為負(fù)）；

X0，Y0——滾石初始位置坐標(biāo)；

VX0，VY0——滾石初始速度沿X軸和Y軸方向的速度分量。

圖1 坡面坐標(biāo)及滾石碰撞前后速度分解示意圖Fig.1 Sketch of slope coordinate and velocity before and after the collision

滾石做拋物運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度變化為：

式中：

VXB，VYB——滾石與坡面碰撞前沿坐標(biāo)系X和Y軸的速度分量。

令式（1）等于式（3），式（2）等于式（4），即滾石拋物線與坡面直線在碰撞點(diǎn)相交，得：

求解式（8）和（9），得：

式（9）的左邊為當(dāng)前坡面線段的斜率，得：

求解關(guān)于時(shí)間變量t的一元二次方程，可以得到滾石從初始位置開(kāi)始，到與邊坡坡面發(fā)生第一次碰撞所經(jīng)歷的時(shí)間T1為：

其中：

將［0，T1］區(qū)間內(nèi)的任意t代入式（3）和式（4）中，就可以得到任意時(shí)刻滾石的位置坐標(biāo)和最終接觸點(diǎn)的坐標(biāo)，那么這一時(shí)間段的滾石運(yùn)動(dòng)軌跡就確定了。

將滾石與邊坡坡面發(fā)生第一次碰撞前的速度VXB和VYB沿坡面的法向與切向方向分解，可得：

式中：

VNB，VTB——滾石與坡面碰撞前沿坡面法向與切向方向的速度分量；

θ——當(dāng)前坡面的坡面角。

利用RN和RT，可以求得滾石與坡面碰撞后的速度為：

式中：VNA，VTA——分別為滾石與坡面碰撞后沿坡面法向與切向方向的速度分量；

RN——邊坡坡面法向還原系數(shù)；

RT——邊坡坡面切向還原系數(shù) ，其值可根據(jù)相關(guān)研究選取［3～5］。

將VNA，VTA重新轉(zhuǎn)化為沿坐標(biāo)系X軸、Y軸的速度分量，則有：

式中：VXA，VYA——滾石與坡面碰撞后沿坐標(biāo)系X軸、Y軸的速度分量。

這樣，VXA，VYA就成為了滾石下一次彈跳階段的初始速度，且各坡面的幾何坐標(biāo)是已知的，若滾石繼續(xù)保持彈跳運(yùn)動(dòng)，那這種計(jì)算就可以循環(huán)下去，直到滾石停止彈跳。

當(dāng)然，通過(guò)滾石與坡面碰撞后的速度大小亦可以初步判斷滾石彈跳是否會(huì)終止。

1.3 計(jì)算滾（滑）動(dòng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的軌跡

從前面的分析（1.2節(jié)）可知，當(dāng)滾石碰撞后剩余的動(dòng)能難以繼續(xù)維持彈跳運(yùn)動(dòng)時(shí)，則會(huì)轉(zhuǎn)入滾（滑）動(dòng)運(yùn)動(dòng)階段，這時(shí)，邊坡的坡面角θ和坡面摩擦角φ就成為影響滾石運(yùn)動(dòng)軌跡的關(guān)鍵因素。根據(jù)分段循環(huán)算法的原理和思路，同樣可以分析滾石滾（滑）動(dòng)階段的運(yùn)動(dòng)軌跡。

當(dāng)滾石存在沿邊坡坡面切向向下的速度或速度為0時(shí)，此時(shí)滾石的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)取決于當(dāng)前坡面的坡面摩擦角φ與坡面角θ。

當(dāng)θ=φ時(shí)，滾石所受到的下滑力和摩擦阻力相等，滾石會(huì)沿邊坡坡面向下滾動(dòng)直到停止，且V=V0。需要指出的是，當(dāng)V0=0時(shí)，則滾石會(huì)保持靜止?fàn)顟B(tài)。

當(dāng)θ＞φ時(shí)，滾石所受到的下滑力大于摩擦阻力，滾石會(huì)沿坡面加速下滑，且有：

式中：

VEXIT——滾石離開(kāi)此段邊坡坡面的最終速度；

V0——滾石沿當(dāng)前邊坡坡面切向的初始速度；

S——滾石在此段坡面上所滑移的距離；

g——重力加速度（-9.81m/s2）；

k——一個(gè)系數(shù)，其值為：

k=sinθ-cosθtanφ

當(dāng)θ＜φ時(shí)，滾石受到的下滑力小于所受的摩擦阻力，滾石在當(dāng)前坡面的速度會(huì)逐漸減小。如果邊坡坡面足夠長(zhǎng)，滾石會(huì)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的距離S同樣可由式（21）計(jì)算得出，此時(shí)VEXIT應(yīng)為0。

由式（21）可知，當(dāng)知道了滾石滾動(dòng)（滑動(dòng)）的距離后，就可以確定出VEXIT，如果接下來(lái)滾石重新進(jìn)入了彈跳（或滑動(dòng)）階段，那么VEXIT就變成了下一個(gè)彈跳階段的初始速度，速度方向?yàn)闈L動(dòng)坡面的切向方向，那么可以繼續(xù)計(jì)算滾石的運(yùn)動(dòng)軌跡。

需要指出的是，滾石滾動(dòng)和滑動(dòng)所受的摩擦阻力是不同的，即坡面摩擦角φ的大小是不同的，可以通過(guò)試驗(yàn)與數(shù)值模擬相結(jié)合進(jìn)行反分析粗略確定。

2 算例驗(yàn)證

以某巖質(zhì)邊坡為例，根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)邊坡地形圖和坡面巖性等資料構(gòu)建邊坡模型。先是獲取邊坡的幾何尺寸，并進(jìn)行細(xì)化與概化，量測(cè)拐點(diǎn)之間的距離等數(shù)值（圖2）。

然后用混凝土構(gòu)建邊坡坡面，形成邊坡模型，并置于坐標(biāo)紙旁邊（圖3），建立一個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)，這樣邊坡上每個(gè)拐點(diǎn)及其線段都能用坐標(biāo)或方程來(lái)描述。然后采取一種全新的數(shù)碼圖像處理技術(shù)來(lái)準(zhǔn)確捕捉滾石某一時(shí)刻的具體位置。

圖3 室內(nèi)制作的模型邊坡和坐標(biāo)紙F(tuán)ig.3 Slope model and coordinate paper p roduced in the lab

改變邊坡的坡面角，使之分別為30°、45°和60°，選取質(zhì)量為44.8g的滾石進(jìn)行試驗(yàn)，得到3組（每組50條）滾石運(yùn)動(dòng)軌跡?，F(xiàn)比較50條軌跡中，兩者各自在30cm、65cm和100cm處的彈跳高度和速度，以驗(yàn)證結(jié)果的正確性。由于二者處于同一坐標(biāo)系中，且大小相同，這樣只需比較50條軌跡兩者各自在30cm、65cm和100cm處相對(duì)于X軸的高度和速度。具體結(jié)果如表1。

表1 模型試驗(yàn)與數(shù)值模擬不同位置的滾石速度數(shù)據(jù)Table 1 Velocity of rock falls of the model test and numerical simulation in different locations

續(xù)表1

從表1可知，相應(yīng)位置處的滾石運(yùn)動(dòng)速度的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差相差不大，這樣的誤差在可接受的范圍內(nèi)，因此，證明采用分段循環(huán)算法所得的速度值基本能代表模型邊坡的速度值。

3 結(jié)論

本文在總結(jié)分析現(xiàn)有的滾石運(yùn)動(dòng)過(guò)程軌跡計(jì)算方法基礎(chǔ)上，結(jié)合滾石實(shí)際的運(yùn)動(dòng)情況，提出了一種新的滾石運(yùn)動(dòng)軌跡計(jì)算分段循環(huán)算法。該方法不僅可以用于滾石彈跳階段的計(jì)算，而且可用于滾（滑）動(dòng)階段的計(jì)算。與現(xiàn)有方法相比，它具有下列優(yōu)點(diǎn)：

（1）計(jì)算原理簡(jiǎn)單明確。該算法是將滾石和邊坡的剖面圖投影到一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中，按照二維平面問(wèn)題考慮，不僅建立了滾石所在初始位置和邊坡坡面線段各端點(diǎn)的具體坐標(biāo)，而且使它們之間的位置關(guān)系非常直觀和明了，便于建立邊坡坡面直線方程和滾石運(yùn)動(dòng)軌跡方程。同時(shí)，滾石在運(yùn)動(dòng)過(guò)程受力分析也很清晰。

（2）考慮了運(yùn)動(dòng)軌跡的連續(xù)性。盡管該算法是把整個(gè)滾石運(yùn)動(dòng)過(guò)程按邊坡坡面的現(xiàn)狀分割成多個(gè)線段考慮，但這些線段是相互關(guān)聯(lián)的計(jì)算單元，每一個(gè)計(jì)算單元的計(jì)算結(jié)果都為下一個(gè)計(jì)算單元所用，加強(qiáng)了各計(jì)算單元之間的聯(lián)系，這樣不僅保證了滾石運(yùn)動(dòng)軌跡的連續(xù)性，而且大大減少了計(jì)算過(guò)程中未知量的個(gè)數(shù)，使每個(gè)計(jì)算單元都只涉及到一個(gè)未知量，使計(jì)算更方便。

（3）易于使用。該算法中的方程均為簡(jiǎn)單的一元一次方程和一元二次方程，計(jì)算公式簡(jiǎn)單，在實(shí)際的工程應(yīng)用中便于計(jì)算人員掌握和使用。

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