用龍格-庫(kù)塔法優(yōu)化一種模糊控制器

王江榮

(蘭州石化職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信控系，甘肅 蘭州 730060)

0 引言

帶有可自調(diào)整因子的模糊控制器輸出的一般形式為U=-{α(t)E(t)+(1-α(t))EC(t)}(0＜α＜1)，其中 E(t)和 EC(t)是模糊論域上量化后t時(shí)刻的誤差和誤差變化。α(t)是時(shí)刻t的可調(diào)整因子(可在線(xiàn)實(shí)時(shí)調(diào)整)。U=U(t)是模糊論域上的輸出，其值取決于對(duì)誤差和誤差變化的加權(quán)。對(duì)可調(diào)整因子α(t+1)=α(t)+Δα的在線(xiàn)修改往往根據(jù)人們的經(jīng)驗(yàn)或?qū)嶒?yàn)調(diào)試確定，這樣的修改會(huì)有一定的主觀性和盲目性。本文利用四階龍格一庫(kù)塔公式逼近被控對(duì)象，再結(jié)合梯度下降法實(shí)現(xiàn)了可調(diào)整因子中的Δα(t)中的在線(xiàn)修改和在線(xiàn)優(yōu)化，仿真曲線(xiàn)表明，在響應(yīng)時(shí)間相同的情況下，具有優(yōu)化后的調(diào)整因子的模糊控制器在穩(wěn)定時(shí)間、超調(diào)及魯棒性等幾方面的性能均優(yōu)于未優(yōu)化的模糊控制器，顯著地改善模糊控制系統(tǒng)的控制精度和穩(wěn)態(tài)性能。

1 龍格-庫(kù)塔

龍格-庫(kù)塔法是求解常微分方程初值問(wèn)題的有效數(shù)值方法。這種方法的特點(diǎn)是區(qū)間［xk，xk+1］上取N個(gè)點(diǎn)，以這N個(gè)點(diǎn)的斜率值f(xk，yk)的線(xiàn)性組合為加權(quán)平均斜率，構(gòu)造近似公式

其中 k1=f(xk，yk)

確定這些常數(shù)的原則和方法是:將精確解y(xk+1)在xk作Taylor展開(kāi)，ki在(xk，y(xk))點(diǎn)作二元Taylor展開(kāi)，將展開(kāi)式按h的冪次整理后，令h0，h1，h2，…等項(xiàng)的系數(shù)為零，使Tk+1首項(xiàng)中 h的冪次盡量高。

在近似公式中取N=4，可得到四階龍格-庫(kù)塔法公式y(tǒng)k+1其中 k1=f(xk，yk)

四階龍格-庫(kù)塔法的優(yōu)點(diǎn)是它的精確度高且是一步法，即已知yk就可以算出yk+1，另外容易用程序?qū)崿F(xiàn)。

2 可調(diào)整因子α(t)的自動(dòng)優(yōu)化過(guò)程

設(shè)t時(shí)刻的可調(diào)因子值為α(t)，t時(shí)刻算出的α(t)的增量為Δα(t)，t時(shí)刻后算出的修改因子為 α(t+1)=α(t)+Δα，Δα 可由t時(shí)刻采樣所得的誤差e(t)求得。對(duì)α(t)的實(shí)時(shí)修改和優(yōu)化具體推理過(guò)程如下:

設(shè)t時(shí)刻的誤差e(t)和誤差變化ec(t)量化后得到模糊論域上的誤差為E(t)和誤差變化EC(t)，則t時(shí)刻模糊控制器在模糊論域上的輸出為

該輸出乘以輸出比例因子Ku就得到t時(shí)刻的控制器的實(shí)際輸出 u(t)，即

設(shè)被控對(duì)象的狀態(tài)方程(可用MATLAB軟件將被控對(duì)象的傳遞函數(shù)H(s)轉(zhuǎn)化為狀態(tài)方程)

其中，A，B，C，D 是系數(shù)矩陣。u為式(1)。

用龍格-庫(kù)塔法逼近被控對(duì)象如下

則t+1時(shí)刻系統(tǒng)的輸出為

t+1時(shí)刻的誤差

這里的r(t+1)是系統(tǒng)輸入。

Δα(t)的計(jì)算

這里的λ和μ是比例系數(shù)。

按負(fù)梯度方向求t時(shí)刻可調(diào)整因子α(t)的增量Δα(t)，即

由(2)可得

將上四式代入(9)得

將(8)、(9)及(11)代入(7)得

當(dāng)系統(tǒng)確定時(shí)，即A，B，C，D及h確定時(shí)

由(12)知只需調(diào)整參數(shù)β和γ就能計(jì)算出Δα(t)(并不依賴(lài)狀態(tài)方程中的系數(shù)矩陣)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)模糊控制器的優(yōu)化。

3 仿真結(jié)果

利用MATLAB進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)

(2)假設(shè)系統(tǒng)的模型可以用二階加純滯后表示，即傳遞函數(shù)為采樣時(shí)間間隔為 ΔT=0.01 s，輸入為階躍函數(shù)r(t+1)=1.5，α 的初始值取 0.5，β=0.065，γ =0.015時(shí)，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為如圖2中的曲線(xiàn)1.圖2中的曲線(xiàn)2是沒(méi)有加修改的 Δα(t)的情形?？梢钥吹接谬埜?庫(kù)塔法進(jìn)行修改 Δα(t)，模糊控制器的輸出曲線(xiàn)上升時(shí)間短(到達(dá)穩(wěn)態(tài))，且具有很好的穩(wěn)態(tài)性能(振蕩幅度小)，說(shuō)明本文方法起到了優(yōu)化效果。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文利用龍格-庫(kù)塔法改進(jìn)了自尋優(yōu)模糊控制器的可調(diào)因子α(t)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)α(t)的在線(xiàn)實(shí)時(shí)優(yōu)化。從仿真曲線(xiàn)表明，在響應(yīng)時(shí)間相同的情況下，具有優(yōu)化后的調(diào)整因子的模糊控制器在穩(wěn)定時(shí)間、超調(diào)及魯棒性等幾方面的性能均優(yōu)于未優(yōu)化的模糊控制器。它最大限度地識(shí)別和利用控制系統(tǒng)所提供的信息，不斷的修正控制規(guī)則，使控制器本身的控制規(guī)律適應(yīng)系統(tǒng)的需要，從而顯著地改善模糊控制系統(tǒng)的控制精度和穩(wěn)態(tài)性能。

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