基于泛函靈敏度方法的PSS參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)*

薛振宇 房大中 袁世強(qiáng)

(1.天津大學(xué)電力系統(tǒng)仿真控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津300072;2.天津市電力公司技術(shù)中心，天津300022)

現(xiàn)代電力系統(tǒng)的迅速發(fā)展，形成遠(yuǎn)距離重負(fù)荷輸電的大區(qū)互聯(lián)電網(wǎng)，因此由系統(tǒng)擾動所引發(fā)的低頻振蕩問題日趨嚴(yán)重［1-2］.在勵(lì)磁系統(tǒng)上加裝電力系統(tǒng)穩(wěn)定器(PSS)是抑制低頻振蕩經(jīng)濟(jì)有效的措施之一［1］.但在多機(jī)電力系統(tǒng)環(huán)境中，PSS的控制策略多數(shù)是基于部分發(fā)電機(jī)的分散控制，導(dǎo)致系統(tǒng)中PSS間經(jīng)常因缺乏協(xié)調(diào)而不能有效抑制低頻振蕩的發(fā)生［3］.另外，基于特征根分析的PSS參數(shù)設(shè)計(jì)方法，在線性化過程中忽略了泰勒級數(shù)展開式的高階項(xiàng)而不能考慮電力系統(tǒng)的非線性對穩(wěn)定性控制的不利影響.研究表明傳統(tǒng)的PSS參數(shù)設(shè)計(jì)有時(shí)會對系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定性造成負(fù)面影響［4］.

多年來，學(xué)術(shù)界對PSS參數(shù)配置問題進(jìn)行了深入的研究.文獻(xiàn)［5］中提出了PSS協(xié)調(diào)控制的一種梯度法，由于尋優(yōu)策略是局部的，因此計(jì)算結(jié)果不是全局最優(yōu).文獻(xiàn)［6］中提出了對兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化的PSS參數(shù)配置方法，該方法因其操作困難而往往存在收斂問題.文獻(xiàn)［7］和文獻(xiàn)［8］中分別采用多尺度隨機(jī)模擬算法和模擬退火算法進(jìn)行PSS參數(shù)整定，該類方法首先確保系統(tǒng)的最小阻尼比滿足預(yù)設(shè)的限值，再通過時(shí)域仿真以校驗(yàn)PSS大擾動情況下的阻尼控制效果.文獻(xiàn)［9-11］中研究了PSS和勵(lì)磁調(diào)節(jié)器的相互配合問題，提出了通過采用不同結(jié)構(gòu)的附加斷續(xù)勵(lì)磁控制來進(jìn)一步改善系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定性.

文中提出了一種PSS參數(shù)協(xié)調(diào)優(yōu)化的共軛梯度法.該方法的特點(diǎn)是:引入了一種系統(tǒng)動態(tài)組合泛函指標(biāo)來評價(jià)PSS阻尼功率振蕩的效果;以該組合泛函指標(biāo)最小作為PSS參數(shù)優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù);采用變分法，發(fā)展了計(jì)算該組合泛函指標(biāo)對PSS參數(shù)梯度的軌跡逆積分方法.由于目標(biāo)函數(shù)考慮了電力系統(tǒng)的非線性特征，該方法不但可提高系統(tǒng)的小擾動穩(wěn)定性，同時(shí)也可以有效地阻尼大擾動引起的功率振蕩.此外，通過IEEE四機(jī)雙區(qū)域和IEEE十機(jī)新英格蘭測試系統(tǒng)的算例說明了文中PSS參數(shù)協(xié)調(diào)配置方法的有效性.

1 電力系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

1.1 勵(lì)磁系統(tǒng)及PSS模型

文中采用如圖1所示的快速勵(lì)磁系統(tǒng)和PSS［2］.Efd和 Vs分別為勵(lì)磁系統(tǒng)和 PSS 的輸出信號;機(jī)端電壓Vt和發(fā)電機(jī)角速度偏差Δω分別為勵(lì)磁系統(tǒng)和PSS的輸入信號;Vref為勵(lì)磁系統(tǒng)的參考電壓.圖中所有變量和參數(shù)均為標(biāo)幺值.

圖1 勵(lì)磁系統(tǒng)及PSS結(jié)構(gòu)框圖Fig.1 Block diagram of the excitation system and PSS

圖中參數(shù)的典型取值為:TR=0.01，KA=200，TA=0.015，TB=10，TC=1;Tw為 PSS 隔直環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)，Tw=10，T2、T4為 PSS滯后時(shí)間常數(shù)，T2=0.05，T4=0.05;PSS的增益系數(shù)Ks(取值范圍為［0.01，30.00］)和PSS超前環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù) T1與T3(取值范圍為［0.01，5.00］)為待優(yōu)化參數(shù).

1.2 電力系統(tǒng)暫態(tài)模型

通常，故障中和故障后的電力系統(tǒng)的動態(tài)過程可用如下微分－代數(shù)方程組來表示

式中:向量x表示狀態(tài)變量;y表示代數(shù)變量，初值條件由穩(wěn)態(tài)運(yùn)行方式給定;向量α由所有PSS的待優(yōu)化參數(shù)組成.表示微分方程的向量函數(shù)f(·)描述同步發(fā)電機(jī)、勵(lì)磁控制系統(tǒng)及其PSS的動態(tài)特性;向量函數(shù)g1(·)和g2(·)分別描述系統(tǒng)故障中和故障后的代數(shù)方程;t0和tcl分別表示大擾動故障的起始時(shí)刻和故障消除時(shí)刻;tf為系統(tǒng)仿真的終止時(shí)刻(即觀察系統(tǒng)動態(tài)行為的終止時(shí)刻).

2 PSS參數(shù)優(yōu)化方法

2.1 PSS參數(shù)優(yōu)化問題模型

理想PSS應(yīng)能有效地抑制系統(tǒng)低頻振蕩發(fā)生.因此PSS參數(shù)的協(xié)調(diào)優(yōu)化，需要同時(shí)滿足兩個(gè)條件:對區(qū)域內(nèi)或區(qū)域間功率振蕩模式的阻尼比滿足工程要求［12-15］，以有效地阻止小擾動引發(fā)的穩(wěn)定性問題;對大擾動后系統(tǒng)的功率振蕩提供充分的阻尼.

為了更好地評估系統(tǒng)功率振蕩的衰減程度，文中采用系統(tǒng)發(fā)電機(jī)的振蕩角頻率來定義PSS阻尼效果的組合泛函指標(biāo)J如下:

式中:n為系統(tǒng)發(fā)電機(jī)數(shù)目;ωi(tf)為發(fā)電機(jī)i在tf時(shí)刻相對于同步轉(zhuǎn)速的角速度;?ωi為發(fā)電機(jī)i相對于系統(tǒng)慣性中心的角速度，顯然系統(tǒng)大擾動后J越小PSS阻尼系統(tǒng)功率振蕩的效果越好;η和μ(t)為權(quán)重系數(shù)，用以協(xié)調(diào)末值泛函和積分泛函在評價(jià)指標(biāo)中的權(quán)重.為突出PSS對系統(tǒng)前幾次功率振蕩的阻尼效果，可令μ(t)為一個(gè)隨時(shí)間衰減的函數(shù)，如μ(t)=e－t，與其對應(yīng)的權(quán)重系數(shù)為 η =20.式(3)右邊第1項(xiàng)和第2項(xiàng)分別為電力系統(tǒng)時(shí)段［t0，tf］動態(tài)過程的末值泛函和積分泛函，于是以J為目標(biāo)函數(shù)的PSS參數(shù)優(yōu)化模型如下式所示.

式中:約束條件中的各個(gè)變量含義如圖1所示，對應(yīng)的上標(biāo)max、min分別表示相應(yīng)PSS優(yōu)化參數(shù)的上限和下限.

2.2 組合泛函指標(biāo)梯度的逆積分算法

引入時(shí)變的拉格朗日乘子向量λ(t)和ξ(t)［13］，考慮式(1)、式(2)和式(3)，組合泛函指標(biāo)J可表示為

對該式兩端進(jìn)行變分操作［14］，可以證明只要拉格朗日乘子向量λ(t)和ξ(t)滿足式(6)－(8)，便可用式(9)計(jì)算組合泛函指標(biāo)J對參數(shù)向量α的梯度.

式(9)表明，計(jì)算組合泛函指標(biāo)J對PSS優(yōu)化參數(shù)α的梯度需獲得各離散時(shí)刻被積函數(shù)的值.考慮式(3)目標(biāo)函數(shù)J及函數(shù)g1(·)和g2(·)皆不顯式地包含PSS優(yōu)化參數(shù)α，因此有

將式(10)代入式(9)可得最終的梯度計(jì)算表達(dá)式如下:

根據(jù)上述推導(dǎo)結(jié)果，計(jì)算指標(biāo)J梯度的軌跡逆積分方法步驟可簡述如下.

(1)用系統(tǒng)(1)和(2)對某一典型大擾動進(jìn)行數(shù)值仿真，獲得時(shí)段［t0，tf］內(nèi)各離散時(shí)刻x和y的數(shù)值解.

(2)用式(9)計(jì)算λ(tf).

(3)逆時(shí)間軸從tf時(shí)刻至t0時(shí)刻對時(shí)變線性系統(tǒng)(7)和(6)進(jìn)行數(shù)值積分，計(jì)算各離散時(shí)刻的λ(t).

(4)將各離散時(shí)刻的λ(t)代入式(11)計(jì)算梯度.

上述算法需要逆時(shí)間軸積分計(jì)算拉格朗日乘子向量λ(t)，因此稱其為組合泛函指標(biāo)梯度的軌跡逆積分算法.

2.3 PSS參數(shù)優(yōu)化的共軛梯度法

借助于組合泛函指標(biāo)梯度的計(jì)算，文中采用共軛梯度法求解PSS參數(shù)優(yōu)化問題(4).共軛梯度法適用于求解大規(guī)模非線性規(guī)劃問題，且具有較好的收斂性.圖2為文中提出的共軛梯度法的算法流程.圖中，g≡?J/?α代表指標(biāo)J對PSS參數(shù)α的梯度;γ和β為計(jì)算過程中的中間變量.

圖2中，符號i表示迭代次數(shù);ε表示收斂判斷的精度，通常取ε=10－6;s表示搜索方向;γ表示采用黃金分割法計(jì)算得到的最優(yōu)步長;β表示計(jì)算的中間參數(shù)，并通過β來確定新的搜索方向。當(dāng)梯度g滿足收斂的判斷要求時(shí)，即可認(rèn)為PSS待優(yōu)化參數(shù)達(dá)到了局部最優(yōu)，退出計(jì)算.

圖2 共軛梯度法求解優(yōu)化模型的流程圖Fig.2 Flow chart of the conjugate gradient method for solving optimization model

3 算例分析

3.1 四機(jī)雙區(qū)域測試系統(tǒng)算例

圖3為四機(jī)雙區(qū)域測試系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，系統(tǒng)參數(shù)見文獻(xiàn)［2］.算例中所有4臺發(fā)電機(jī)G1－G4均采用暫態(tài)雙軸模型，并配有圖1所示勵(lì)磁及PSS控制系統(tǒng)，其信號Efd和Vs的上下限分別為 ±5(p.u.)和±0.2(p.u.).

圖3 四機(jī)雙區(qū)測試系統(tǒng)Fig.3 4-generator 2-area test system

參數(shù)優(yōu)化采用的預(yù)想故障為母線8在0.5 s發(fā)生三相短路故障，故障持續(xù)6周波后自動消除.PSS的初始配置如表1第2行所示，優(yōu)化后的PSS參數(shù)如表1第4行至第7行所示，第3行為文獻(xiàn)［9］優(yōu)化后所得的PSS參數(shù).為檢驗(yàn)PSS參數(shù)優(yōu)化的效果，繪制了某故障后對應(yīng)3種PSS參數(shù)的功角θi(相對于慣性中心)搖擺曲線見圖4.圖4表明文中算法設(shè)計(jì)的PSS可以有效地阻尼系統(tǒng)大擾動后的振蕩，故障后系統(tǒng)發(fā)電機(jī)功角曲線的搖擺幅度較小，并能夠迅速衰減.其他系統(tǒng)故障仿真所得的結(jié)論與圖4類似.

表1 四機(jī)雙區(qū)測試系統(tǒng)的PSS參數(shù)Table 1 PSS parameters of the 4-generator 2-area test system

圖4 四機(jī)雙區(qū)域測試系統(tǒng)的功角搖擺曲線Fig.4 Swing curves of the 4-generator 2-area test system

表2列出了3種PSS配置下系統(tǒng)機(jī)電模式特征根及與其對應(yīng)的阻尼比和自然振蕩頻率，通過對比可見:對于系統(tǒng)局部模態(tài)(即A區(qū)(G1對G2)和B區(qū)(G3對G4)的振蕩模式)，文中算法所得的阻尼比較前兩者有明顯的提高;對于區(qū)域模態(tài)(即A區(qū)對B區(qū)的振蕩模式)，文中算法所得的阻尼也是最好的.

表2 四機(jī)雙區(qū)測試系統(tǒng)機(jī)電模式特征值比較Table 2 Comparison in terms of eigenvalue of electromechanical modes for the 4-generator 2-area test system

3.2 IEEE十機(jī)新英格蘭測試系統(tǒng)算例

IEEE十機(jī)新英格蘭測試系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖5所示，系統(tǒng)參數(shù)見文獻(xiàn)［9］.算例中，所有發(fā)電機(jī)采用與4機(jī)系統(tǒng)相同的發(fā)電機(jī)模型及圖1所示的勵(lì)磁與PSS，其信號 Efd和 Vs的上下限分別為 ±5(p.u.)和±0.2(p.u.);負(fù)荷由40%恒阻抗模型與60%恒功率模型組成.

圖5 十機(jī)新英格蘭測試系統(tǒng)Fig.5 10-generator New England test system

參數(shù)優(yōu)化采用的預(yù)想故障為5號母線三相短路，6個(gè)周波后故障自行清除，各PSS初始配置參數(shù)(p.u.):Ks=20，T1=0.5，T3=0.2.優(yōu)化后的 PSS參數(shù)見表3.

表3 優(yōu)化設(shè)計(jì)后十機(jī)新英格蘭測試系統(tǒng)的PSS參數(shù)Table 3 Optimized PSS parameters of the 10-generator New England test system

圖6給出了優(yōu)化后、初始配置及文獻(xiàn)［9］三組PSS參數(shù)下系統(tǒng)特征根的分布情況.jω為特征根虛部，σ為特征根實(shí)部.由圖6可見，初始PSS配置條件下的系統(tǒng)阻尼嚴(yán)重不足，最小阻尼比ζ=0.004;文獻(xiàn)［9］PSS配置下，系統(tǒng)的最小阻尼比最好;文中所得的PSS參數(shù)使得系統(tǒng)最小阻尼比有很大程度的提高.

為檢驗(yàn)PSS參數(shù)優(yōu)化的效果，繪制了某故障后對應(yīng)3種PSS參數(shù)的功角(相對于慣性中心)搖擺曲線，見圖7.其中圖7(a)表明，系統(tǒng)大擾動后出現(xiàn)明顯的功率振蕩現(xiàn)象.圖7(b)和(c)表明，雖然文獻(xiàn)［9］所給PSS方案其阻尼比最理想，但在阻尼大擾動后功角振蕩方面不如文中方法設(shè)計(jì)的PSS參數(shù).文中設(shè)計(jì)的PSS參數(shù)可使系統(tǒng)振蕩迅速衰減，僅經(jīng)過一個(gè)搖擺后，系統(tǒng)便趨于穩(wěn)定.在十機(jī)新英格蘭測試系統(tǒng)上其它大擾動仿真結(jié)果與圖7類似.

圖7 某大擾動后十機(jī)新英格蘭測試系統(tǒng)的功角搖擺曲線Fig.7 Swing curves after a big disturbance on the 10-generator New England test system

4 結(jié)語

文中提出一種以組合泛函指標(biāo)最小為目標(biāo)函數(shù)的PSS參數(shù)優(yōu)化模型.發(fā)展了采用變分法計(jì)算組合泛函指標(biāo)對PSS參數(shù)梯度的軌跡逆積分算法.在IEEE四機(jī)雙區(qū)域和IEEE十機(jī)新英格蘭測試系統(tǒng)上的算例分析表明，文中方法所設(shè)計(jì)的PSS參數(shù)配置方案能夠同時(shí)較好地提高系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定性和大干擾穩(wěn)定性.

［1］王鐵強(qiáng)，賀仁睦，王衛(wèi)國，等.電力系統(tǒng)低頻振蕩機(jī)理的研究［J］.中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2002，22(2):21-25.Wang Tie-qiang，He Ren-mu，Wang Wei-guo，et al.The mechanism study of low frequency oscillation in power system ［J］.Proceedings of the CSEE，2002，22(2):21-25.

［2］Kundar P.Power system stability and control［M］.New York:McGraw-Hill，1994.

［3］Zhang P，Coonick A H.Coordinated synthesis of PSS parameters in multi-machine power systems using the me-thod of inequalities applied to genetic algorithms［J］.IEEE Transudations on Power Systems，2000，15(2):811-816.

［4］Lin C M，Vittal V，Kliemann W，et al.Investigation of modal interaction and its effects on control performance in stressed power systems using normal forms of vector fields［J］.IEEE Trans on Power Systems，1996，11(2):781-787.

［5］Hong Ying-yi，Wu Wen-ching.A new approach using optimization for tuning parameters of power system stabilizers［J］.IEEE Trans on Energy Conversion，1999，14(3):780-788.

［6］Abdel-Magid Y L，Abido M A，Al-Baiyat S，et al.Simultaneous stabilization of multimachine power systems via genetic algorithms ［J］.IEEE Trans on Power Systems.1999，14(4):1428-1439.

［7］Fang D Z，Yuan S Q，Wang Y J，et al.Coordinated parameter design of STATCOM stabilizer and PSS using MSSA algorithm［J］.IET Generation，Transmission and Distribution，2007，1(4):670-678.

［8］Abido M A.Pole placement technique for PSS and TCSC-based stabilizer design using simulated annealing［J］.Electrical Power and Energy Systems，2000，22(8):543-554.

［9］IEEE.Stardard datas［EB/OL］.［2010-01-09］.http:∥psdyn.ece.wisc.edu/IEEE_benchmarks/index.htm.

［10］Harley R G，deMeillon T A，Janischewskyj W.The transient stabilization of a synchronous machine by discontinuous supplementary excitation control［J］.IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems，1985，PAS-104(6):1394-1399.

［11］Chaudhuri B，Majumder R，Pal B C.Application of multiple-model adaptive control strategy for robust damping of inter-area oscillations in power systems［J］.IEEE Transactions on Power Systems，2004，12(5):727-736.

［12］Graham Rogers.Power system oscillation［M］.［S.l.］:Kluwer Academic Publishers，2000.

［13］胡壽松，王執(zhí)銓，胡維禮.最優(yōu)控制理論與系統(tǒng):第二版［M］.北京:科學(xué)出版社，2005.

［14］Fang D Z，Xiaodong Y，Jingqiang S，et al.An optimal generation rescheduling approach for transient stability enhancement［J］.IEEE Transactions on Power Systems，2007，22(1):386-394.

［15］劉紅超，雷憲章，李興源，等.互聯(lián)電力系統(tǒng)中PSS的全局協(xié)調(diào)優(yōu)化［J］.電網(wǎng)技術(shù)，2006，30(8):1-6.Liu Hong-chao，Lei Xian-zhang，Li Xing-yuan，et al.Global coordinated optimization of PSSs in interconnected power systems［J］.Power System Technology，2006，30(8):1-6.