基于機(jī)器視覺(jué)的平面夾角測(cè)量方法*

雷經(jīng)發(fā) 王德麾 袁中凡?

(1.四川大學(xué)制造科學(xué)與工程學(xué)院，四川成都610065;2.安徽建筑工業(yè)學(xué)院機(jī)械與電氣工程學(xué)院，安徽合肥230061)

在機(jī)械制造、土木工程、飛行器姿態(tài)控制、機(jī)械手抓握等諸多領(lǐng)域，兩平面間的夾角是一個(gè)重要的物理量.目前，測(cè)量角度的方法主要有機(jī)械測(cè)量方法，電磁測(cè)角方法，光學(xué)測(cè)角方法和光電測(cè)角方法等［1］.機(jī)械測(cè)角方法主要為接觸式測(cè)量，但其測(cè)量速度較慢;電磁測(cè)角方法是利用電磁感應(yīng)的原理來(lái)測(cè)量角度，雖然在測(cè)量精度、速度上較機(jī)械測(cè)量法有較大改進(jìn)，但仍不能應(yīng)用于非接觸式測(cè)量;光學(xué)測(cè)角方法雖具有較高的精度，但對(duì)硬件要求較高，且只限于一維角度測(cè)量;光電測(cè)角方法是把傳統(tǒng)光學(xué)方法與光電接收器件相結(jié)合，具有精度高、體積小、可維護(hù)性好等優(yōu)點(diǎn)，但其量程一般較小，故應(yīng)用受到一定的限制［2-3］.

隨著計(jì)算機(jī)和CCD相機(jī)性能的提高，機(jī)器視覺(jué)開(kāi)始成為一種重要的測(cè)量方法，由于具有非接觸測(cè)量、僅需使用一臺(tái)或多臺(tái)數(shù)字式相機(jī)、可進(jìn)行實(shí)時(shí)測(cè)量等特點(diǎn)，被迅速地應(yīng)用于幾何量測(cè)量、空間運(yùn)動(dòng)分析等領(lǐng)域中.文中即提出了一種僅使用一臺(tái)數(shù)字式相機(jī)，進(jìn)行空間兩平面夾角的測(cè)量方法.

在機(jī)器視覺(jué)測(cè)量中，首先需要進(jìn)行相機(jī)定標(biāo)，即確定相機(jī)的內(nèi)部參數(shù)K、旋轉(zhuǎn)矩陣R和平移向量T［4］.雖目前有多種相機(jī)定標(biāo)方法［5］，但文中借助待測(cè)平面上的2個(gè)圓標(biāo)記，僅需相機(jī)內(nèi)部參數(shù)K，在空間任意位置進(jìn)行1次拍照，即可測(cè)得兩平面法線間的夾角，其補(bǔ)角即為兩平面間夾角，簡(jiǎn)化了平面夾角的測(cè)量.

1 平面夾角測(cè)量原理及算法

設(shè)圓C位于平面π上，圓心為O，經(jīng)參數(shù)為K、R、T的相機(jī)成像后，獲得如圖1所示的圖像.圓C和其圓心的像分別為C'、O'.由射影幾何及成像方程可知，圓的像是一條二次曲線［6］，用u、v表示圖像坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，單位為像素;設(shè) A、B、C、D、E為常數(shù)，則C'在圖像坐標(biāo)系下的方程可表示為

或

式中:M為二次曲線C'的二次型矩陣.

圖1為二次曲線與平面消隱線.圖1中直線l'∞是平面π 上無(wú)窮遠(yuǎn)直線l∞的像，稱為消隱線.由射影幾何知，每個(gè)平面上有且僅有一條消隱線，其上的點(diǎn)都是此平面上各方向上的滅點(diǎn)，且同方向的直線具有相同的滅點(diǎn)［7-8］.設(shè)(us，vs)為 l'∞上的任意一點(diǎn)，l為一變量，a∞、b∞、c∞為常數(shù)，則 l'∞圖像坐標(biāo)系下的方程為:

或

式中:uv、vv為平面上的任意滅點(diǎn).

圖1 二次曲線與平面消隱線Fig.1 Conic and vanishing line of a plane

如設(shè)O'點(diǎn)的坐標(biāo)為(uo，vo)，由射影幾何可知，式(2)中系數(shù) a∞、b∞、c∞滿足以下關(guān)系［9］:

即由平面上一個(gè)圓及其圓心的圖像，可確定此平面上的消隱線方程.

由文獻(xiàn)［9］提出的計(jì)算機(jī)視覺(jué)的平面角度測(cè)量方法可知［10］，如已知相機(jī)內(nèi)部參數(shù)矩陣 K和［vx1vy1vz1］、［vx2vy2vz2］方向上的滅點(diǎn)坐標(biāo)(u1，v1)、(u2，v2)，則其夾角 θ滿足以下關(guān)系:

其中 ρ1、ρ2滿足以下關(guān)系:

因平面上滅點(diǎn)都位于直線l'∞上［11-12］，則平面上任意滅點(diǎn)(uv，vv)都滿足式(2)所示的消隱線方程.如考慮一條垂直于平面π的直線l1，如圖1所示.其像為l'1，此方向上的滅點(diǎn)為P'3(u3，v3).可知l1必垂直于平面π上的所有直線，且(u3，v3)和平面π上所有滅點(diǎn)坐標(biāo)(uv，vv)也必滿足式(4)，即有:

式中:ρ3、ρv分別為與(u3，v3)、(uv，vv)對(duì)應(yīng)的一個(gè)常數(shù)，可由式(5)確定.將式(2)代入式(6)可得:

因式(7)對(duì)任意l都滿足，則必有:

即在已知平面消隱線方程的情況下，由式(8)即可確定此平面法線方向上的滅點(diǎn)坐標(biāo).

由以上分析可知，在已知兩平面法線方向上滅點(diǎn)坐標(biāo) P'3(u3，v3)、P'4(u4，v4)的情況下，先由式(5)計(jì)算出ρ3、ρ4，再利用式(4)即可得到兩法線間夾角θ的余弦值，通過(guò)反三角函數(shù)可解得θ，其補(bǔ)角即為平面間夾角.需要說(shuō)明的是，因式(5)無(wú)法確定ρ符號(hào)，使得解出的θ可能與其真實(shí)值互為補(bǔ)角.通過(guò)適當(dāng)選取拍照角度可解決此問(wèn)題，避免在被測(cè)對(duì)象正前或正后位置進(jìn)行拍照.而在多數(shù)角度測(cè)量中，待測(cè)角度范圍恒為銳角或鈍角，僅需對(duì)θ值進(jìn)行簡(jiǎn)單判斷、取補(bǔ)即可.

2 測(cè)量算法實(shí)現(xiàn)

根據(jù)以上分析，可得本方法的測(cè)量步驟如下.

(1)在兩待測(cè)平面π1、π2上分別標(biāo)識(shí)出圓C1、C2及其圓心 O1、O2.

(2)用已知內(nèi)部參數(shù)矩陣為K的相機(jī)，在空間任意位置進(jìn)行1次拍照.

(3)擬合圓 C1、C2圖像 C'1、C'2的方程;確定圓心O1、O2圖像 O'1、O'2的圖像坐標(biāo).

(4)根據(jù) C'1、C'2的方程和 O'1、O'2的圖像坐標(biāo)，按式(3)計(jì)算所在平面上的消隱線方程.

(5)根據(jù)式(8)，由消隱線方程計(jì)算出各平面法線方向上的滅點(diǎn)坐標(biāo);再由式(4)、(5)即可計(jì)算出兩平面法線間的夾角θ，而兩平面間的夾角α即為:α=180-θ.

3 實(shí)驗(yàn)

首先用Matlab進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)以驗(yàn)證測(cè)量原理;再借助Mahr PMC 650型三坐標(biāo)機(jī)進(jìn)行實(shí)際的角度測(cè)量以驗(yàn)證算法的測(cè)量精度和穩(wěn)定性.仿真實(shí)驗(yàn)中，相機(jī)內(nèi)部參數(shù)K等于實(shí)測(cè)出的Canon IXUS500型相機(jī)參數(shù)值K1;實(shí)際實(shí)驗(yàn)中，采用SONY DSC-W50型數(shù)碼相機(jī)，其內(nèi)部參數(shù)K=K2.K1、K2具體值如下所示:

3.1 仿真實(shí)驗(yàn)

首先由計(jì)算機(jī)隨機(jī)生成相機(jī)的旋轉(zhuǎn)參數(shù)矩陣R、平移向量T;再根據(jù)相機(jī)成像方程，生成空間兩個(gè)圓及其圓心的圖像，兩圓所在平面間的夾角θ為已知，作為理論值使用.處理數(shù)據(jù)時(shí)，僅把生成的圖像和相機(jī)內(nèi)部參數(shù)矩陣K作為已知數(shù)據(jù)，用本算法計(jì)算出兩平面間的夾角并與理論值進(jìn)行比較.

仿真實(shí)驗(yàn)用角 -軸法生成旋轉(zhuǎn)矩陣 R［13］.［vxvyvz］為單位軸向量，η為轉(zhuǎn)角，則旋轉(zhuǎn)矩陣為

式中:rij為旋轉(zhuǎn)矩陣R中第i行，第j列的元素.

設(shè)定夾角為鈍角進(jìn)行第1次實(shí)驗(yàn).圖2(a)、(b)分別是實(shí)驗(yàn)1的仿真場(chǎng)景圖和相機(jī)獲得的圖像數(shù)據(jù).圖 2(b)中 p1、p2點(diǎn)為圓心圖像;C'1、C'2是平面上標(biāo)識(shí)圓圖像.通過(guò)圖像處理算法，可獲得C'1、C'2上各點(diǎn)和p1、p2的圖像坐標(biāo)值.如C'1上各點(diǎn)坐標(biāo)為(uci，vci)，i≥5，則由式(1)可得方程:

圖2 仿真實(shí)驗(yàn)相關(guān)數(shù)據(jù)Fig.2 Images of simulations

由線性代數(shù)中的廣義逆矩陣?yán)碚摚?4］，可解出參數(shù)［A，B，C，D，E］的最小二乘解，即得到橢圓 C'1的擬合方程，同理解出C'2的方程;然后把得到的數(shù)據(jù)代入式(3)、(4)、(5)、(8)中即可.用［A，B，C，D，E，-1］表示 C'1、C'2方程參數(shù);［u，v］表示圓心 p1、p2坐標(biāo);［a∞，b∞，c∞］表示消隱線 l'∞方程參數(shù)，則具體實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示.

改變相機(jī)外部參數(shù)，令?yuàn)A角為銳角進(jìn)行第2次實(shí)驗(yàn)，如圖2(c)、(d)所示.結(jié)果見(jiàn)表2.

表1 仿真實(shí)驗(yàn)1數(shù)據(jù)處理結(jié)果Table 1 Data of simulation one

表2 仿真實(shí)驗(yàn)2數(shù)據(jù)處理結(jié)果Table 2 Data of simulation two

3.2 利用三坐標(biāo)機(jī)的角度測(cè)量實(shí)驗(yàn)

為進(jìn)一步驗(yàn)證本算法，借助Mahr PMC 650型三坐標(biāo)機(jī)進(jìn)行實(shí)驗(yàn).平板π1、π2上分別貼有如圖3所示的圓形標(biāo)識(shí).標(biāo)識(shí)上直線l1、l2是圓的兩條直徑，用以精確確定圓心圖像坐標(biāo).世界坐標(biāo)系設(shè)定為三坐標(biāo)機(jī)的坐標(biāo)系.平板π1平置于測(cè)量臺(tái)上，即處于世界坐標(biāo)系的x-y平面;平板π2立于平臺(tái)上，如圖4所示;然后用SONY DSC-W50型相機(jī)，在空間任意位置處對(duì)兩平板進(jìn)行1次拍照，獲得圖像的寬度×高度為2816像素×1872像素，相機(jī)內(nèi)部參數(shù)矩陣已知;通過(guò)對(duì)所獲圖像進(jìn)行二值化、目標(biāo)提取、橢圓和直線擬合等處理，并由式(3)、(4)、(5)、(8)即可得到平板π1、π2間的夾角值 α.

圖3 實(shí)驗(yàn)用圓標(biāo)識(shí)圖Fig.3 Marking graph used in experiments

圖4 實(shí)驗(yàn)原理圖Fig.4 Diagram of experimental principle

為評(píng)估本方法的精度，用三坐標(biāo)機(jī)測(cè)量平面π2上至少3個(gè)點(diǎn)(非共線)的坐標(biāo)以擬合其平面方程，進(jìn)而得其與平板π1間的夾角θ.鑒于三坐標(biāo)機(jī)具有極高的測(cè)量精度，故把θ值作為理論值，而把文中方法得到的夾角值α作為測(cè)量值.按照以上實(shí)驗(yàn)步驟，進(jìn)行3組實(shí)驗(yàn)，如圖5所示.

圖5 實(shí)驗(yàn)相關(guān)數(shù)據(jù)(局部)Fig.5 Data of experiments(partial picture)

以實(shí)驗(yàn)1為例簡(jiǎn)述數(shù)據(jù)處理過(guò)程.首先采用閾值法二值化圖像［15］，利用Matlab中的bwselect()函數(shù)進(jìn)行目標(biāo)提取［16］，得到兩標(biāo)識(shí)圓及4條直徑上所有點(diǎn)的圖像坐標(biāo)，如圖5(d)所示;利用式(10)擬合出兩標(biāo)識(shí)圓圖像的方程;利用直線最小二乘法擬合出4條直徑圖像的直線方程;聯(lián)立同圓上兩直徑圖像方程，即解出圓心圖像的坐標(biāo);把圓標(biāo)識(shí)圖像方程、圓心圖像坐標(biāo)代入式(3)中，得到此平面上消隱線方程參數(shù);把消隱線方程參數(shù)、相機(jī)內(nèi)部參數(shù)代入式(8)中，得到平面法線方向上的滅點(diǎn)坐標(biāo);最后把兩平面法線方向上的滅點(diǎn)坐標(biāo)、相機(jī)內(nèi)部參數(shù)代入式(5)、(4)中，即可得到2平面法線間的夾角，進(jìn)而得到平面間的夾角值.

本實(shí)驗(yàn)中通過(guò)擬合平板π2上6個(gè)非共線點(diǎn)得到理論夾角值θ.以實(shí)驗(yàn)1為例，三坐標(biāo)機(jī)測(cè)得的6個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)以(x，y，z)形式表示，單位為 mm.點(diǎn)坐標(biāo)為(-171.630，-303.462，6.089)，(-142.669，-304.285，9.063)，(-166.039，-303.116，9.048)，(-161.050，-301.812，15.947)，(-129.166，-305.573，5.807)，(-129.091， -303.963，13.496).擬合出的π2平面方程為

式(11)所示的平面法向量為［1.5678×10-4，0.0032，-6.9382×10-4］，因已確定平面夾角為鈍角，則得其與x-y平面夾角為102.2465°，此值即為理論值.具體實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表3所示.

表3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果Table 3 Experimental results

由表3中的數(shù)據(jù)可以看出，文中方法具有較高的測(cè)量精度，相對(duì)測(cè)量誤差小于1%.

4 結(jié)論

文中提出的基于機(jī)器視覺(jué)的平面夾角測(cè)量方法無(wú)需已知相機(jī)的旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量參數(shù)，故無(wú)需對(duì)相機(jī)進(jìn)行復(fù)雜的全參數(shù)定標(biāo)，具有使用簡(jiǎn)單、快捷的特點(diǎn);進(jìn)行測(cè)量時(shí)僅需對(duì)待測(cè)平面進(jìn)行1次拍照，獲得2平面上部分標(biāo)記圓圖像和其圓心圖像即可，因此可以根據(jù)實(shí)際的測(cè)量環(huán)境，在較大范圍內(nèi)自由地設(shè)置相機(jī)位置，使得此方法具有較高的靈活性;在數(shù)據(jù)處理過(guò)程中，二次曲線、直線方程都由最小二乘法擬合得到，保證了標(biāo)識(shí)圓圖像方程、直徑圖像方程的精度，進(jìn)而有效地提高了消隱線方程的計(jì)算精度和最終的測(cè)量精度.

由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，文中方法具有較好的測(cè)量精度，相對(duì)誤差在1%以內(nèi).通過(guò)理論分析及實(shí)驗(yàn)可知，標(biāo)記圓圖像的方程擬合誤差、圓心圖像坐標(biāo)求解誤差是影響測(cè)量精度的最主要因素，通過(guò)保證采集圖像的清晰度、選用高分辨率相機(jī)可以解決這一問(wèn)題，能夠滿足機(jī)械、地質(zhì)、控制、人機(jī)工程等領(lǐng)域內(nèi)的非接觸平面夾角測(cè)量要求.

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