偏心與安裝誤差對(duì)封閉差動(dòng)人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)靜力學(xué)均載特性的影響*

朱增寶 朱如鵬 鮑和云 靳廣虎

(南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院，江蘇南京210016)

封閉差動(dòng)人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)是星型輪系封閉差動(dòng)行星輪系的組合傳動(dòng)機(jī)構(gòu).廣泛應(yīng)用于工程機(jī)械、船舶運(yùn)輸、航空航天的動(dòng)力傳動(dòng)等諸多領(lǐng)域.利用多個(gè)行星輪和星輪分擔(dān)載荷，形成功率分流，具有體積小、質(zhì)量輕、傳動(dòng)平穩(wěn)、承載能力強(qiáng)、傳動(dòng)效率高等優(yōu)點(diǎn).不可避免的制造和安裝誤差以及構(gòu)件的變形等因素是造成行星輪和星輪載荷不均的主要因素，載荷的均衡分配是發(fā)揮封閉差動(dòng)人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)特點(diǎn)和保證正常工作的重要條件.

國(guó)外學(xué)者對(duì)行星傳動(dòng)系統(tǒng)均載特性作了許多研究，文獻(xiàn)［1-2］中對(duì)行星傳動(dòng)系統(tǒng)靜力學(xué)均載特性進(jìn)行了較為全面的研究，文獻(xiàn)［3-6］對(duì)行星傳動(dòng)系統(tǒng)均載特性進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)理論研究，文獻(xiàn)［7-8］對(duì)行星傳動(dòng)系統(tǒng)均載特性進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究;國(guó)內(nèi)肖鐵英等［9］研究了行星傳動(dòng)系統(tǒng)靜力學(xué)載荷不均勻系數(shù)計(jì)算方法，方宗德等［10］研究了行星傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)均載特性，孫智民等［11］研究了封閉差動(dòng)行星傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性.這些研究主要針對(duì)直齒輪的傳動(dòng)系統(tǒng)，模型中沒有包含中間浮動(dòng)構(gòu)件.目前，針對(duì)封閉差動(dòng)行星傳動(dòng)系統(tǒng)靜力學(xué)均載特性的研究還鮮見報(bào)道.文中考慮了中間浮動(dòng)構(gòu)件的影響，建立了封閉差動(dòng)人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)靜力學(xué)模型，分析了偏心與安裝誤差對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)靜力學(xué)均載特性的影響，研究成果可以為封閉差動(dòng)人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的誤差精度等級(jí)控制及齒輪安裝提供理論依據(jù).

1 系統(tǒng)的靜力學(xué)模型

圖1為封閉差動(dòng)人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)示意圖.系統(tǒng)由差動(dòng)行星輪系和星型輪系進(jìn)行封閉式聯(lián)接組成.下文分別稱這兩個(gè)輪系為差動(dòng)級(jí)和封閉級(jí).差動(dòng)級(jí)包含太陽輪 Zs1、行星輪 Zpi(i=1，2，…，N)、內(nèi)齒輪Zr1、行星架H、中間浮動(dòng)構(gòu)件Zg1、浮動(dòng)齒圈Zf1等構(gòu)件;封閉級(jí)包含太陽輪 Zs2、星輪 Zmj(j=1，2，…，M)、內(nèi)齒輪Zr2、中間浮動(dòng)構(gòu)件Zg2、浮動(dòng)齒圈Zf2和輸出軸L等構(gòu)件.輸入功率W1經(jīng)過差動(dòng)級(jí)太陽輪Zs1分流到行星架H和內(nèi)齒輪Zr1后，再由行星架H和浮動(dòng)齒圈Zf2匯流到輸出軸L上，以功率W2輸出.圖1中的中間浮動(dòng)構(gòu)件Zg1和Zg2也稱雙齒聯(lián)軸器，是封閉差動(dòng)人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中不可缺少的構(gòu)件，有均載作用.文中N為行星輪個(gè)數(shù)，M為星輪個(gè)數(shù).

圖2(a)為差動(dòng)級(jí)靜力學(xué)模型，采用以行星架轉(zhuǎn)速ωH旋轉(zhuǎn)的動(dòng)坐標(biāo)系;圖2(b)為封閉級(jí)靜力學(xué)模型，采用固定坐標(biāo)系.

圖1 封閉差動(dòng)人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)示意圖Fig.1 Sketch map of encased differential herringbone train

圖2 封閉差動(dòng)人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)靜力學(xué)模型Fig.2 Static model of encased differential herringbone train

圖2 中，Ks1、Kp、Kr1、Ks2、Km和 Kr2分別為齒輪Zs1、Zpi、Zr1、Zs2、Zmj和 Zr2的支撐剛度;KH為行星架H在行星輪公轉(zhuǎn)半徑rH上的等效切向剛度;KHL、Kf1s2和 Kf2L分別為聯(lián)接 H 與 L、Zf1與 Zs2、Zf2與 L 的扭轉(zhuǎn)剛度;Kg1q、Kf1q、Kg2q和 Kf2q分別為 Zr1與 Zg1、Zg1與Zf1、Zr2與 Zg2和 Zg2與 Zf2接觸的切向剛度;Gs1、Gp、Gr1、Gs2、Gm和 Gr2分別為齒輪 Zs1、Zpi、Zr1、Zs2、Zmj和Zr2的重量;Fpi為各行星輪的公轉(zhuǎn)離心力.

封閉差動(dòng)人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)共有(18+3×(N+M))個(gè)自由度，其廣義位移列向量X表示為

式中:xs1、xpi、xr1、xs2、xmj和 xr2分別為齒輪 Zs1、Zpi、Zr1、Zs2、Zmj和 Zr2沿基圓半徑扭轉(zhuǎn)的線位移;xg1、xf1、xg2和 xf2分別為構(gòu)件 Zg1、Zf1、Zg2和 Zf2沿分度圓半徑扭轉(zhuǎn)的線位移;xH為行星架H在其半徑rH扭轉(zhuǎn)的線位移;xL為輸出軸L與浮動(dòng)齒圈Zf2接觸處rL上的線位移;Hs1與 Vs1、Hpi與 Vpi和 Hr1與 Vr1分別為齒輪Zs1、Zpi和Zr1中心在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的橫向與縱向位移;Hs2與 Vs2、Hmj與 Vmj和 Hr2與 Vr2分別為齒輪 Zs2、Zmj和Zr2中心在固定坐標(biāo)系中的水平方向與垂直方向位移.

2 系統(tǒng)的靜力學(xué)方程

差動(dòng)級(jí)齒輪副Zpi與Zr1之間稱為內(nèi)嚙合，Zs1與Zpi之間稱為外嚙合，一起簡(jiǎn)稱為差動(dòng)級(jí)內(nèi)外嚙合;封閉級(jí)齒輪副Zmj與Zr2之間稱為內(nèi)嚙合，Zs2與Zmj之間稱為外嚙合，一起簡(jiǎn)稱為封閉級(jí)內(nèi)外嚙合.

令Prpi和Pspi分別為差動(dòng)級(jí)內(nèi)外嚙合的彈性嚙合力，則

式中:Krp和Ksp分別為差動(dòng)級(jí)內(nèi)外嚙合平均嚙合剛度;α1和α2分別為差動(dòng)級(jí)內(nèi)外嚙合的嚙合角;erpi和espi分別為差動(dòng)級(jí)內(nèi)外嚙合線上誤差等效位移;2π·(i-1)/N表示第i個(gè)行星輪相對(duì)第1個(gè)行星輪的位置角.

令Prmj和Psmj分別為封閉級(jí)內(nèi)外嚙合的彈性嚙合力，則

式中:Krm和Ksm分別為封閉級(jí)內(nèi)外嚙合平均嚙合剛度;α3和α4分別為封閉級(jí)內(nèi)外嚙合的嚙合角;ermj和esmj分別為封閉級(jí)內(nèi)外嚙合線上誤差等效位移;2π·(j-1)/M表示第j個(gè)星輪相對(duì)第1個(gè)星輪的位置角.

人字齒平均嚙合剛度采用國(guó)標(biāo)GB/T3480—1997斜齒輪嚙合剛度計(jì)算公式按剛度并聯(lián)方式計(jì)算.太陽輪與各個(gè)行星輪/星輪之間及各個(gè)行星輪/星輪內(nèi)外嚙合之間的相位差按Parker等［12］推導(dǎo)的公式計(jì)算.

考慮中間浮動(dòng)構(gòu)件的影響，建立的封閉差動(dòng)人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)靜力學(xué)方程見式(4)-(15).

式中:mp為行星輪質(zhì)量;t為時(shí)間歷程;PD為輸入轉(zhuǎn)矩TD在太陽輪Zs1基圓半徑rs1b上的等效力，PD=TD/rs1b;PL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL在輸出軸L與浮動(dòng)齒圈Zf2接觸處rL上的等效力，PL=TL/rL;rs2b為太陽輪Zs2的基圓半徑;rf1b和rf2b分別為浮動(dòng)齒圈Zf1和Zf2的分度圓半徑.

3 誤差等效位移

進(jìn)行靜力學(xué)均載研究時(shí)，影響行星輪和星輪間載荷分配的誤差主要有偏心誤差和安裝誤差.由于采取中心輪(太陽輪和內(nèi)齒輪)浮動(dòng)均載方式，行星架作為參照，其偏心及安裝誤差包含在各齒輪誤差中，所以認(rèn)為行星架偏心及安裝誤差為零.算例中行星輪和星輪支撐軸的制造與安裝精度足夠精確，為簡(jiǎn)化分析，不考慮行星輪和星輪的安裝誤差.

各齒輪誤差對(duì)齒輪副嚙合的影響體現(xiàn)在嚙合線方向上的位移變化，研究時(shí)把以上兩種誤差轉(zhuǎn)化到齒輪副嚙合線上.誤差轉(zhuǎn)化到齒輪副嚙合線上的處理方法有多種，如用實(shí)測(cè)的誤差值、實(shí)測(cè)的齒輪誤差曲線、傅里葉級(jí)數(shù)、簡(jiǎn)諧函數(shù)和隨機(jī)數(shù)等表示［13］.簡(jiǎn)諧函數(shù)具有直觀、簡(jiǎn)潔的特點(diǎn)，行星傳動(dòng)系統(tǒng)均載研究常采用簡(jiǎn)諧函數(shù)進(jìn)行行星傳動(dòng)系統(tǒng)誤差分析.文中用簡(jiǎn)諧函數(shù)把誤差轉(zhuǎn)化到齒輪副嚙合線上，疊加后得到差動(dòng)級(jí)齒輪偏心與安裝誤差在齒輪副嚙合線上等效位移為

式中:Es1、Epi和 Er1分別為齒輪 Zs1、Zpi和 Zr1的偏心誤差;φs1、φpi和 φr1分別為齒輪 Zs1、Zpi和 Zr1的偏心誤差初相角;As1和Ar1分別為齒輪Zs1和Zr1的安裝誤差;δ1和 δ2分別為齒輪 Zs1和 Zr1的安裝誤差位置角;ω1為差動(dòng)級(jí)的嚙合齒頻;ωH為行星架H的角速度;ωsH、ωpH和 ωrH分別為齒輪 Zs1、Zpi和 Zr1相對(duì)行星架H的相對(duì)角速度.

得到的封閉級(jí)齒輪偏心與安裝誤差在齒輪副嚙合線上等效位移為

式中:Es2、Emj和 Er2分別為齒輪 Zs2、Zmj和 Zr2的偏心誤差;φs2、φmj和 φr2分別為齒輪 Zs2、Zmj和 Zr2的偏心誤差初相角;As2和Ar2分別為齒輪Zs2和Zr2的安裝誤差;δ3和 δ4分別為齒輪 Zs2和 Zr2的安裝誤差位置角;ω2為封閉級(jí)的嚙合齒頻;ωs2、ωm和 ωr2分別為齒輪 Zs2、Zmj和 Zr2的角速度.

4 載荷不均勻系數(shù)計(jì)算

行星輪/星輪之間載荷分配均勻性用載荷不均勻系數(shù)表示，載荷不均勻系數(shù)越大載荷分配越不均衡.采用外嚙合載荷不均勻系數(shù)反映行星輪/星輪載荷分配的均勻性.

靜力學(xué)載荷不均勻系數(shù)Ω為

式中:Nc為行星輪或星輪個(gè)數(shù);F為齒輪副的嚙合力;P為理論載荷.

求解靜力學(xué)方程式(4)-(15)獲得(18+3(N+M))個(gè)待求變量，即廣義位移列向量X.將X代入式(2)和式(3)中，得彈性嚙合力 Frpi、Fspi、Frmj和 Fsmj.則差動(dòng)級(jí)第i個(gè)行星輪的載荷不均勻系數(shù)Ωspi和封閉級(jí)第j個(gè)星輪的載荷不均勻系數(shù)Ωsmj為

式中:T2為作用在封閉級(jí)太陽輪Zs2基圓半徑rs2b上的轉(zhuǎn)矩.

則差動(dòng)級(jí)和封閉級(jí)靜力學(xué)載荷不均勻系數(shù)Ωp和Ωm為

5 均載特性分析

文中針對(duì)某封閉差動(dòng)人字齒輪減速器進(jìn)行分析.減速器的基本參數(shù)如下:差動(dòng)級(jí)模數(shù)m1=7mm，行星輪個(gè)數(shù)N=3，太陽輪齒數(shù)Zs1=37，行星輪齒數(shù)Zp=56，內(nèi)齒輪齒數(shù)Zr1=149，齒寬系數(shù)φd1=1.2，壓力角αn1=20°，螺旋角 β1=22°;封閉級(jí)模數(shù) m2=7mm，星輪個(gè)數(shù)M=5，太陽輪齒數(shù)Zs2=71，星輪齒數(shù)Zm=39，內(nèi)齒輪齒數(shù)Zr2=149，齒寬系數(shù)φd2=0.6，壓力角 αn2=20°，螺旋角 β2=22°;輸入軸轉(zhuǎn)速n=3000r/min，輸入功率P=2000 kW;差動(dòng)級(jí)和封閉級(jí)的中心輪(太陽輪和內(nèi)齒輪)的支撐剛度為3×108N/m，行星輪和星輪支撐剛度為109N/m;各齒輪偏心誤差為32μm，中心輪安裝誤差為32μm.

為研究偏心誤差對(duì)系統(tǒng)載荷不均勻系數(shù)的影響，安裝誤差不變，改變差動(dòng)級(jí)和封閉級(jí)各個(gè)齒輪偏心誤差，獲得系統(tǒng)載荷不均勻系數(shù)曲線如圖3和圖4所示.圖中E為偏心誤差.圖3(a)為系統(tǒng)兩級(jí)載荷不均勻系數(shù)分別與各級(jí)太陽輪偏心誤差變化關(guān)系，圖3(b)為系統(tǒng)兩級(jí)載荷不均勻系數(shù)分別與各級(jí)內(nèi)齒輪偏心誤差的關(guān)系，圖4(a)為系統(tǒng)兩級(jí)載荷不均勻系數(shù)分別與行星輪和星輪偏心誤差的關(guān)系.圖3和圖4(a)中，隨著兩級(jí)太陽輪、內(nèi)齒輪和行星輪/星輪偏心誤差增大，系統(tǒng)兩級(jí)載荷不均勻系數(shù)增大.

圖3 系統(tǒng)兩級(jí)載荷不均勻系數(shù)與中心輪偏心誤差變化關(guān)系Fig.3 Relationship between load sharing factors of two stages and eccentric errors of center gears

圖4 系統(tǒng)兩級(jí)載荷不均勻系數(shù)與行星輪/星輪偏心誤差變化關(guān)系Fig.4 Relationship between load sharing factors of two stages and eccentric errors of planet/star gears

圖4(a)中，差動(dòng)級(jí)各行星輪和封閉級(jí)各星輪偏心誤差的初相角不相同，當(dāng)差動(dòng)級(jí)各行星輪和封閉級(jí)各星輪偏心誤差的初相角取相同值時(shí)，系統(tǒng)兩級(jí)載荷不均勻系數(shù)分別與差動(dòng)級(jí)行星輪和封閉級(jí)星輪偏心誤差的關(guān)系如圖4(b)所示.由圖4(b)可見，差動(dòng)級(jí)載荷不均勻系數(shù)為1.0698，封閉級(jí)載荷不均勻系數(shù)為1.0452，差動(dòng)級(jí)和封閉級(jí)載荷不均勻系數(shù)均不隨行星輪和星輪偏心誤差變化而改變.行星輪/星輪偏心誤差初相角相同時(shí)各行星輪和星輪偏心誤差沿嚙合線的等效位移互相抵消，所以偏心誤差的大小對(duì)系統(tǒng)兩級(jí)載荷不均勻系數(shù)沒有影響.對(duì)于一般的大批量生產(chǎn)的行星傳動(dòng)系統(tǒng)，采取行星輪/星輪偏心誤差初相角相同的措施會(huì)增加安裝工序，提高生產(chǎn)成本，不太現(xiàn)實(shí);對(duì)于載荷分配均勻性要求高的重要傳動(dòng)系統(tǒng)，裝配時(shí)可以通過對(duì)行星輪/星輪的偏心相位進(jìn)行選配和調(diào)整，使行星輪/星輪偏心誤差初相角相同來實(shí)現(xiàn)均載.

為研究安裝誤差對(duì)系統(tǒng)載荷不均勻系數(shù)的影響，偏心誤差不變，改變差動(dòng)級(jí)和封閉級(jí)的太陽輪和內(nèi)齒輪的安裝誤差，獲得系統(tǒng)載荷不均勻系數(shù)曲線如圖5所示，圖5中A為安裝誤差.圖5(a)為系統(tǒng)兩級(jí)載荷不均勻系數(shù)分別與各級(jí)太陽輪安裝誤差的關(guān)系，圖5(b)為系統(tǒng)兩級(jí)載荷不均勻系數(shù)分別與各級(jí)內(nèi)齒輪安裝誤差的關(guān)系.圖5中，隨著兩級(jí)太陽輪和內(nèi)齒輪安裝誤差的增大，系統(tǒng)兩級(jí)載荷不均勻系數(shù)增大.圖3-5說明誤差越大，載荷不均勻系數(shù)越大，載荷分配越不均衡.這一規(guī)律與行星傳動(dòng)均載研究的已有結(jié)論一致，說明該系統(tǒng)的靜力學(xué)建模是可行的.

圖5 系統(tǒng)兩級(jí)載荷不均勻系數(shù)與中心輪安裝誤差變化關(guān)系Fig.5 Relationship between load sharing factors of two stages and installation errors of center gears

上文研究了系統(tǒng)兩級(jí)載荷不均勻系數(shù)分別隨偏心誤差和安裝誤差變化的規(guī)律.傳動(dòng)系統(tǒng)受偏心與安裝誤差的共同作用，為研究偏心與安裝誤差共同作用對(duì)系統(tǒng)兩級(jí)載荷不均勻系數(shù)的影響，首先計(jì)算偏心與安裝誤差單獨(dú)作用下系統(tǒng)兩級(jí)的載荷不均勻系數(shù).

不考慮安裝誤差影響，假設(shè)安裝誤差為0，偏心誤差單獨(dú)作用下系統(tǒng)兩級(jí)各行星輪和星輪載荷不均勻系數(shù)曲線如圖6所示，差動(dòng)級(jí)載荷不均勻系數(shù)為1.0522，封閉級(jí)載荷不均勻系數(shù)為1.0252.不考慮偏心誤差影響，假設(shè)偏心誤差為0，安裝誤差單獨(dú)作用下系統(tǒng)兩級(jí)各行星輪和星輪載荷不均勻系數(shù)曲線如圖7所示，差動(dòng)級(jí)載荷不均勻系數(shù)為1.0255，封閉級(jí)載荷不均勻系數(shù)為1.0121.

安裝誤差單獨(dú)作用下對(duì)差動(dòng)級(jí)和封閉級(jí)載荷不均的影響不同.差動(dòng)級(jí)各行星輪載荷不均勻系數(shù)隨時(shí)間的變化如圖7(a)所示;由于封閉級(jí)星輪的旋轉(zhuǎn)中心固定，沒有公轉(zhuǎn)，所以安裝誤差僅改變封閉級(jí)各星輪間的載荷分配，各星輪的載荷不均勻系數(shù)不隨時(shí)間變化，如圖7(b)所示.

偏心誤差和安裝誤差共同作用下，系統(tǒng)兩級(jí)各行星輪和星輪載荷不均勻系數(shù)曲線如圖8所示，差動(dòng)級(jí)載荷不均勻系數(shù)為1.0771，封閉級(jí)載荷不均勻系數(shù)為1.0370，系統(tǒng)兩級(jí)載荷不均勻系數(shù)比圖6和圖7中偏心誤差和安裝誤差單獨(dú)作用下載荷不均勻系數(shù)大，說明偏心誤差和安裝誤差對(duì)系統(tǒng)兩級(jí)載荷不均勻系數(shù)的影響具有累加作用.這一規(guī)律符合行星傳動(dòng)均載研究的已有結(jié)論，進(jìn)一步證明了該系統(tǒng)靜力學(xué)建模的正確性.

由圖3-8可見，差動(dòng)級(jí)載荷不均勻系數(shù)大于封閉級(jí)載荷不均勻系數(shù).載荷越大傳動(dòng)系統(tǒng)越均載［14］，由行星傳動(dòng)理論知，封閉差動(dòng)人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)封閉級(jí)載荷遠(yuǎn)大于差動(dòng)級(jí)，所以封閉級(jí)載荷分配較為均勻，封閉級(jí)載荷不均勻系數(shù)對(duì)誤差變化沒有差動(dòng)級(jí)敏感，載荷不均勻系數(shù)較小.

圖6 偏心誤差單獨(dú)作用下載荷不均勻系數(shù)曲線Fig.6 Curves of load sharing factors under action of eccentric errors

圖7 安裝誤差單獨(dú)作用下載荷不均勻系數(shù)曲線Fig.7 Curves of load sharing factors under action of installation errors

圖8 偏心誤差、安裝誤差共同作用下載荷不均勻系數(shù)曲線Fig.8 Curves of load sharing factors under action of eccentric and installation errors

6 結(jié)論

(1)各行星輪/星輪的偏心誤差初相角相同情況下，行星輪和星輪的偏心誤差變化不會(huì)改變系統(tǒng)兩級(jí)載荷不均勻系數(shù)，對(duì)系統(tǒng)兩級(jí)載荷分配沒有影響.對(duì)于載荷分配均勻性要求高的重要傳動(dòng)系統(tǒng)，裝配時(shí)可以通過對(duì)行星輪/星輪的偏心相位進(jìn)行選配和調(diào)整，使行星輪/星輪偏心誤差初相角相同來實(shí)現(xiàn)均載.

(2)安裝誤差對(duì)差動(dòng)級(jí)各行星輪和封閉級(jí)各星輪載荷不均的影響不同，安裝誤差引起的差動(dòng)級(jí)各行星輪載荷不均勻系數(shù)隨時(shí)間變化;安裝誤差僅改變封閉級(jí)各星輪間的載荷分配，安裝誤差引起的封閉級(jí)各星輪載荷不均勻系數(shù)不隨時(shí)間變化.

(3)載荷越大傳動(dòng)系統(tǒng)越均載，封閉差動(dòng)人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)封閉級(jí)載荷遠(yuǎn)大于差動(dòng)級(jí)，所以封閉級(jí)載荷分配比差動(dòng)級(jí)均衡，封閉級(jí)載荷不均勻系數(shù)對(duì)誤差變化沒有差動(dòng)級(jí)敏感，差動(dòng)級(jí)載荷不均勻系數(shù)大于封閉級(jí).

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