B－不變凸函數(shù)的新性質(zhì)

李 婷，劉凌晨

（山西大學(xué)商務(wù)學(xué)院 理學(xué)系，山西 太原 030031）

0 引 言

1981年，Hanson在文獻(xiàn)［1］中引入了凸函數(shù)的概念；文獻(xiàn)［2－3］仿照將凸函數(shù)推廣為擬凸函數(shù)和偽凸函數(shù)的方式，對(duì)不變凸性做了推廣，給出了擬不變凸性和偽不變凸性的概念；1988年，T.Weir和B.Mond及T.Weir和V.Jeyakumar分別在文獻(xiàn)［3］和文獻(xiàn)［4］中引入了不變凸集和預(yù)不變凸函數(shù)的定義；1991年，作為對(duì)凸函數(shù)的推廣，C.R.Bector和C.B.Singh在文獻(xiàn)［5］引入了B－凸函數(shù)的定義；1993年，Bector，Suneja和Lalitha在文獻(xiàn)［6］中推廣了B－凸函數(shù)、偽B－凸函數(shù)和B－凸函數(shù)，并分別得到B－不變凸函數(shù)、偽B－不變凸函數(shù)和擬B－不變凸函數(shù)。

定義1［2］設(shè)S?Rn關(guān)于η：Rn×Rn→Rn是不變凸集，b（x，y）：S×S→R＋，設(shè)f（x）是定義在集合S上的可微實(shí)值函數(shù)，稱f（x）在y∈S是關(guān)于η（x，y）的B－不變凸函數(shù)，若

如果f（x）在每一點(diǎn)y∈S關(guān)于η（x，y）是B－不變凸的，則稱函數(shù)f（x）在S上關(guān)于η（x，y）的B－不變凸函數(shù)。

定義2［2］設(shè)S?Rn關(guān)于η：Rn×Rn→Rn是不變凸集，b（x，y）：S×S→R＋，設(shè)f（x）是定義在集合S上的可微實(shí)值函數(shù)，稱f（x）在y∈S是關(guān)于η（x，y）的擬B－不變凸函數(shù)，若

如果f（x）在每一點(diǎn)y∈S關(guān)于η（x，y）是擬B－不變凸的，則稱函數(shù)f（x）在S上關(guān)于η（x，y）的擬B－不變凸函數(shù)。

1 B－不變凸函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)

引理1［3］（封閉性） S?Rn是開集，f，g是定義在S 上的可微實(shí)值函數(shù)，f（x）≥0，g（x）＞0，x0∈S，假設(shè)f（x），－g（x）在x0點(diǎn)是關(guān)于η（x，x0），b（x，x0）的B－不變凸函數(shù)，則在x0點(diǎn)是關(guān)于的B－不變凸函數(shù)。

證明：?x∈S，有

由于f（x），－g（x）在x0點(diǎn)關(guān)于η（x，x0），b（x，x0）的B－不變凸的，并且f（x）≥0，g（x）＞0，有

定理1 S?Rn是開集，f，g是定義在S上的可微實(shí)值函數(shù)，f（x）≥0，g（x）＞0，x0∈S，假設(shè)f（x），－g（x）在x0點(diǎn)是關(guān)于η（x，x0），b（x，x0）的B－不變凸函數(shù)，則在x0點(diǎn)是關(guān)于（x，x0）＝g2（x0）η（x，x0），b（x，x0）的擬 B－不變凸函數(shù)。

證明：?x∈S，有

g（x0）［f（x）－f（x0）］＋f（x0）［g（x0）－g（x）］≤0上面不等式兩端同時(shí)乘以b（x，x0）得：

由f（x），－g（x）在x0點(diǎn)關(guān)于η（x，x0），b（x，x0）是B－不變凸的，我們有

上面不等式兩端同時(shí)乘以b（x，x0），得：

可得結(jié)論。

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［3］T Weir，B Mond.Preinvex functions in multipleobjective optimization［J］.J.Math.Anal.Appl.，1988，136（1）：29－38.

［4］T Weir，V Jeyakumar.A class of nonconvex functions and mathematical programming［J］.Bull.Austral.Math.Soc.，1988，38：177－189.

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［6］C R Bector，S K Suneja，C S Lalitha.Generalized B－vex functions and generalized B－vex programming［J］.J.Opti.Theo.Appl.，1993，76：561－576.

［7］趙克全，黃應(yīng)全.B－不變凸分式規(guī)劃的最優(yōu)性條件及對(duì)偶定理［J］.湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，22（3）：19－21.

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