具有限時(shí)滯種群發(fā)展方程的穩(wěn)定性區(qū)域判定

王 健，岳錫亭，王 雪

（1.長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué) 基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130012；2.吉林農(nóng)業(yè)大學(xué)發(fā)展學(xué)院 基礎(chǔ)教研室，吉林 長(zhǎng)春 130600）

0 引 言

對(duì)于具有有限時(shí)滯的種群發(fā)展方程

分別在（τ，D）平面，（τ，r）平面以及（r，D）平面來(lái)討論平衡解的穩(wěn)定性以及穩(wěn)定區(qū)域劃分。

1 穩(wěn)定性區(qū)域劃分

對(duì)于方程式（1），可知其平衡點(diǎn)為N＊＝k，作代換＝N＊－k，代入方程式（1），并為方便記，仍用N來(lái)表示，有

其線性部分為：

易見(jiàn)式（2）有特征函數(shù)eλtcosnx，由此得特征方程［1］：

令λ＝ωki，代入式（2），分離實(shí)部和虛部，可得方程組：

再由式（4）的第二個(gè)方程可知ζk只能在第二象限。

2 考慮3個(gè)平面穩(wěn)定性區(qū)域的劃分

在n＝1的情況下，考慮3個(gè)平面穩(wěn)定性區(qū)域的劃分。

2.1 在（τ，D）平面的穩(wěn)定性區(qū)域劃分［2］在方程

可見(jiàn)h（ζk）為單調(diào)遞增的函數(shù)［3］。

在k＝0時(shí)，由式（4）第2個(gè)方程h（ζ0）＝0，可得：

由式（4）第1個(gè)方程g（ζ0）＝0，可得：

在k≠0的一般情況下，易知：

可見(jiàn)D對(duì)τ為增函數(shù)。

穩(wěn)定性的劃分：當(dāng)τ＝0時(shí)，λ＝－D－r＜0，在第一條存在純虛根的曲線C0的左側(cè)所有根都有負(fù)實(shí)部［4］，在Ck上時(shí)，此時(shí)對(duì)λ＋D＋re－λτ＝0兩邊對(duì)τ求導(dǎo)，得：

可知，Ck上的純虛根±ωi在C0左側(cè)化為負(fù)實(shí)部的根，右側(cè)化為正實(shí)部的根，可以證明C0上其余根都有嚴(yán)格的負(fù)實(shí)部［3］。

若假設(shè)C0上的某點(diǎn)（τ1，D1）處的特征根為σ＋ω0i（σ＞0），根據(jù)根與參數(shù)的連續(xù)相依性和孤立性，對(duì)充分小的正數(shù)ε＞0，在（τ1－ε，D1）處這個(gè)根的實(shí)部仍大于零，但與（τ1－ε，D1）位于C0左側(cè)，而C0左側(cè)均化為負(fù)實(shí)部的根矛盾［6］。所以，C0上除一對(duì)純虛根外，其余根均具有嚴(yán)格的負(fù)實(shí)部。平衡解在（τ，D）平面的穩(wěn)定區(qū)域如圖1所示。

圖1 （τ，D）平面的劃分

2.2 在（τ，r）平面的穩(wěn)定性區(qū)域劃分

在k＝0時(shí)，由式（4）第1個(gè)方程g（ζ0）＝0，可得：

由式（4）第2個(gè)方程h（ζ0）＝0，可得：

在k≠0的一般情況下，易知：

式中對(duì)τ求導(dǎo)（D是常數(shù)）得：

可見(jiàn)，r對(duì)τ為減函數(shù)。

又由于

可知C0左側(cè)為穩(wěn)定性區(qū)域［7］，平衡解在（τ，r）平面的穩(wěn)定區(qū)域如圖2所示。

圖2 （τ，r）平面的劃分

2.3 在（r，D）平面的穩(wěn)定性區(qū)域劃分［8］

當(dāng)k＝0時(shí)，由式（4）第2個(gè)方程h（ζ0）＝0，可得：

由式（4）第1個(gè)方程g（ζ0）＝0，可得：

再由λ＋D＋re－λτ＝0，兩端同時(shí)對(duì)r求導(dǎo)，可得：

則

可知C0左側(cè)為不穩(wěn)定性區(qū)域，右側(cè)為穩(wěn)定區(qū)域。平衡解（r，D）在平面的穩(wěn)定區(qū)域如圖3所示。

圖3 （r，D）平面的劃分

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