機械系統(tǒng)中干摩擦模型的力學(xué)分析

張 聰

（太鋼集團臨汾鋼鐵有限公司，山西 臨汾 041000）

機械系統(tǒng)的減震緩沖裝置中，近年來廣泛出現(xiàn)了一類具有非線性遲滯特性的干摩擦阻尼元件，如鋼絲繩、金屬橡膠減震器等。該類干摩擦減震裝置的使用，大幅降低了振動系統(tǒng)的振幅，是一類有效的被動減震裝置。

欲加裝具有合適參數(shù)的干摩擦減震元件，就必須充分了解干摩擦阻尼的產(chǎn)生機理，建立精確但又計算量可以控制的力學(xué)模型，才能更好的指導(dǎo)生產(chǎn)實踐，縮短產(chǎn)品的開發(fā)周期。為此，國內(nèi)外的眾多學(xué)者對干摩擦的力學(xué)行為開展了廣泛、深入而卓有成效的研究。1931年，Den提出了著名的Coulomb摩擦模型來表示干摩擦，并求得了系統(tǒng)的解析解。1945年，Iwan在他的博士論文中提出了雙折線模型來模擬干摩擦，也求得了兩自由度振動系統(tǒng)的響應(yīng)。近年來，出現(xiàn)了Bouc－Wen模型、刷子模型等較為復(fù)雜的力學(xué)模型，其雖能更精確的表達干摩擦的力學(xué)性質(zhì)，但其振動響應(yīng)的求解卻有相當(dāng)?shù)碾y度。

本文針對一機械系統(tǒng)中的干摩擦元件，對以往研究中涉及該類干摩擦元件的建模、數(shù)值求解技術(shù)、分析方法、參數(shù)識別方法等展開綜述，系統(tǒng)分析了干摩擦元件在減震降噪裝置中的突出作用。

1 干摩擦元件的建模

關(guān)于摩擦副間的干摩擦建模，學(xué)界已提出了眾多的數(shù)學(xué)模型。其中，具有開創(chuàng)性和代表性的是 sgn模型，即庫倫摩擦模型。假設(shè)一物體在干摩擦交接面上運動，干摩擦總是阻礙物體的運動，因此，干摩擦力的大小不變，方向總與運動方向相反，其變化規(guī)律可表示如下：

其中，F(xiàn)為干摩擦阻力的大小，x為物體的運動速度。然而，大量的實驗研究表明，物體與干摩擦表面相接觸時，物體速度方向的改變并不是突然發(fā)生的，而是存在一個過渡過程。由于接觸面本身有一定的彈性，在外力的作用下，造成了接觸面有一定的彈性變形。當(dāng)外力的方向改變時，物體的運動方向并沒有立刻改變，當(dāng)外力的大小增大到一定程度，物體與接觸面才產(chǎn)生相對位移。

考慮到接觸面的彈性性質(zhì)，Iwan在1961年提出了著名的雙折線遲滯模型，該模型將干摩擦阻力看成一根彈簧和一個標(biāo)準的coulomb摩擦副串聯(lián)，且能更好的表達干摩擦阻力的非線性性質(zhì)。

近年來，學(xué)術(shù)界出現(xiàn)了對雙折線遲滯模型的修正，比如，考慮到摩擦系數(shù)不是常數(shù)的情況，摩擦副間微觀滑動、二維滑動等情況，提出了如Bouc－Wen模型、刷子模型、一階微分方程模型等描述干摩擦的數(shù)學(xué)模型，但這些模型的求解均有一定的難度。

2 干摩擦模型的數(shù)值求解技術(shù)

一個含有干摩擦交接副的力學(xué)系統(tǒng)，描述其集中質(zhì)量運動響應(yīng)的均是微分方程。但由于干摩擦阻力的存在，使得該微分方程有較強的非線性，這給求解帶來了不小的難度。

對于庫倫摩擦模型的求解，由于存在符號函數(shù)sgn，使得方程在速度零點不連續(xù)、不可微，可先將sgn函數(shù)在零點用Taylor公式展開，忽略高階小量，再采取數(shù)值方法，如IHB方法（增量諧波平衡法）、HB方法（諧波平衡法）、Newmark法等求解。

對于雙折線模型的求解，可先求出雙折線模型彈——塑——彈的交接點，確定系統(tǒng)運動微分方程分別在彈、塑性區(qū)域的分段線性微分方程，再采用Runge－Kutta方法（龍格庫塔方法）求解分段線性微分方程，最后將微分方程的解組裝成整個時域階段的解。這一求解方法，相對于含符號函數(shù)sgn的庫倫摩擦模型求解方法，顯得更為清晰明了，對解的計算精度也更好掌握，故有大量的數(shù)值算例、結(jié)果分析的報道。

3 干摩擦模型的參數(shù)識別和響應(yīng)分析

對于干摩擦力學(xué)模型的參數(shù)識別，關(guān)鍵是識別出力學(xué)模型中的具體物理參數(shù)。目前，對眾多干摩擦力學(xué)模型的參數(shù)識別研究中，集中體現(xiàn)在對雙折線模型和Bouc－Wen模型的參數(shù)識別中。

我國學(xué)者胡海巖、李岳峰、白鴻柏、李冬偉分別采用了最小二乘辨識法、能量法、參數(shù)分離法等識別了雙折線模型的剛度、滑移極限、黏性阻尼系數(shù)等參數(shù)，均取得了較為滿意的效果。

國外很多學(xué)者對Bouc－Wen模型的參數(shù)識別展開了研究，采用了微分進化優(yōu)化算法、遺傳算法、粒子群算法、蟻群算法等人工智能方法識別了Bouc－Wen模型的參數(shù)。

4 結(jié)束語

本文系統(tǒng)論述、報道了干摩擦元件的建模、求解、參數(shù)識別方法，不足之處請予指正。