任意帶任意投影面的平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法研究

方 楊

(中鐵工程設(shè)計(jì)咨詢集團(tuán)有限公司,北京 100055)

在工程測(cè)量中,為了減小投影長(zhǎng)度變形,通常需建立工程獨(dú)立坐標(biāo)系。工程獨(dú)立坐標(biāo)系仍采用高斯投影方法,但投影面不是標(biāo)準(zhǔn)的參考橢球面,而是選定的抵償高程面,一般選擇測(cè)區(qū)的平均高程面，投影帶不采用國(guó)家6°帶或3°帶,而采用任意帶,投影的中央子午線通常設(shè)在測(cè)區(qū)中央，這樣就形成了任意帶任意投影面的獨(dú)立坐標(biāo)系。在任意帶任意投影面的計(jì)算中必然涉及坐標(biāo)換帶問題及橢球的變換問題,不同的橢球變換方法所得坐標(biāo)結(jié)果不同。本文詳細(xì)研究了各種橢球變換方法,橢球變換后計(jì)算大地坐標(biāo)的不同方式及坐標(biāo)換帶計(jì)算,實(shí)現(xiàn)了任意帶任意投影面的坐標(biāo)換算。

1 橢球變換方法

選定任意的高程投影面,會(huì)引起標(biāo)準(zhǔn)橢球參數(shù)的變化。在某一測(cè)區(qū)或工程中,選擇實(shí)際觀測(cè)的某一點(diǎn)或者多個(gè)點(diǎn)歸算得到的一個(gè)等效虛擬點(diǎn)作為基準(zhǔn)點(diǎn)進(jìn)行橢球變換,得到新的唯一橢球。假設(shè)橢球變換的基準(zhǔn)點(diǎn)為P0(B0,L0,H0),投影面大地高為ΔH。常用的橢球變換方法會(huì)引起坐標(biāo)系原點(diǎn)、橢球長(zhǎng)軸及扁率的變化,但一般不會(huì)引起坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)和尺度的變化。

1.1 橢球膨脹法

橢球膨脹法僅橢球長(zhǎng)軸變化,橢球扁率、平移、旋轉(zhuǎn)、尺度參數(shù)均不變。一種以投影面大地高ΔH作為長(zhǎng)半徑的變化量,即

da=ΔH

(1)

(2)

1.2 橢球平移法

橢球平移法僅橢球中心變動(dòng),即dX0≠0,dY0≠0,dZ0≠0,橢球長(zhǎng)軸、扁率、旋轉(zhuǎn)、尺度參數(shù)均不變。其值為

(3)

1.3 橢球變形法

橢球變形法使橢球長(zhǎng)軸及扁率均變化,平移、旋轉(zhuǎn)、尺度參數(shù)均不變,變化量為

(4)

2 橢球變換后計(jì)算大地坐標(biāo)的兩種方式

橢球參數(shù)變化后,新橢球面上的大地坐標(biāo)也會(huì)有相應(yīng)變化。計(jì)算新的大地坐標(biāo)或者大地坐標(biāo)變化量有兩種方式。

2.1 大地坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)的關(guān)系

大地坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)間的關(guān)系式為

(5)

當(dāng)橢球上一點(diǎn)大地坐標(biāo)變化時(shí),其對(duì)應(yīng)的空間直角坐標(biāo)保持不變。橢球變換后,首先根據(jù)原橢球參數(shù)由(5)式計(jì)算出一點(diǎn)的空間直角坐標(biāo),然后利用變換后的橢球參數(shù)求出新橢球面上的大地坐標(biāo)。這樣就完成了橢球變換后大地坐標(biāo)的變換。

2.2 廣義大地坐標(biāo)微分公式

廣義大地坐標(biāo)微分公式為

(6)

式中,A、B、C、D的具體值參見文獻(xiàn)[1]。代入不同的平移參數(shù)dX0,dY0,dZ0、旋轉(zhuǎn)參數(shù)εX,εY,εZ、橢球幾何元素da,df和尺度因子m,可算出不同的大地坐標(biāo)變化量。

采用橢球膨脹法,根據(jù)式(7)可計(jì)算出各點(diǎn)大地坐標(biāo)變化量

(7)

采用橢球平移法,根據(jù)式(8)可計(jì)算出各點(diǎn)大地坐標(biāo)變化量

(8)

采用橢球變形法,根據(jù)式(9)可計(jì)算出各點(diǎn)大地坐標(biāo)變化量

(9)

3 任意帶任意投影面的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換計(jì)算

(1)將第一帶、指定高程投影面上的平面坐標(biāo)(x,y,h)I換算為標(biāo)準(zhǔn)橢球面上的大地坐標(biāo)(B,L,H)I。

若利用空間直角坐標(biāo)和大地坐標(biāo)的關(guān)系計(jì)算,其步驟為：①選擇橢球膨脹法或橢球變形法,根據(jù)式(1)、式(2)、式(4)計(jì)算橢球長(zhǎng)軸或扁率的變化量,并計(jì)算新的橢球參數(shù)a1=a+da,f1=f+df。②根據(jù)新橢球參數(shù),利用高斯投影反算公式,計(jì)算新橢球上的大地坐標(biāo)；③將新橢球上的大地坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為空間直角坐標(biāo)。④根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)橢球參數(shù)將空間直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)橢球上的大地坐標(biāo)。

若根據(jù)廣義大地坐標(biāo)微分公式計(jì)算,其步驟為：①根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)橢球參數(shù)和第一帶中央子午線,按高斯投影反算公式,將第一帶的平面坐標(biāo)計(jì)換算為標(biāo)準(zhǔn)橢球上的大地坐標(biāo),其目的是為了后面計(jì)算大地坐標(biāo)改正量；②選擇一定的橢球變換方法,根據(jù)式(1)、式(2)、式(3)、式(4)計(jì)算橢球長(zhǎng)軸或扁率或橢球中心的變化量；③根據(jù)式(7)、式(8)、式(9)計(jì)算出dB,dL,dH；④計(jì)算新橢球參數(shù)a1=a+da,f1=f+df,并根據(jù)新橢球參數(shù)和第一帶中央子午線,按高斯投影反算公式,將第一帶的平面坐標(biāo)換算為新橢球上的大地坐標(biāo)(B2,L2,H2)；⑤根據(jù)下式得到標(biāo)準(zhǔn)橢球上的大地坐標(biāo)結(jié)果

B=B2-dB,L=L2-dL,H=H2-dH

(2)將第一步得到的標(biāo)準(zhǔn)橢球面上的大地坐標(biāo)(B,L,H)I投影到第二帶指定高程投影面上的平面坐標(biāo)(x,y,h)II。

若利用空間直角坐標(biāo)和大地坐標(biāo)的關(guān)系計(jì)算,其步驟為：①根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)橢球參數(shù),將大地坐標(biāo)(B,L,H)I轉(zhuǎn)換為空間直角坐標(biāo)。②選擇橢球膨脹法或橢球變形法,根據(jù)式(1)、式(2)、式(4)計(jì)算橢球長(zhǎng)軸或扁率的變化量,并計(jì)算新橢球參數(shù)。③根據(jù)新橢球參數(shù),將空間直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為新橢球上的大地坐標(biāo)。④根據(jù)新橢球參數(shù)和第二帶中央子午線,用上一步得到的大地坐標(biāo),按高斯投影正算公式計(jì)算第二帶指定投影面上的平面坐標(biāo)(x,y,h)II。

若根據(jù)廣義大地坐標(biāo)微分公式計(jì)算,其步驟為：①選擇一定的橢球變換方法,根據(jù)式(1)、式(2)、式(3)、式(4)計(jì)算橢球長(zhǎng)軸或扁率或橢球中心的變化量。②根據(jù)式(7)、式(8)、式(9)計(jì)算出dB,dL,dH。③計(jì)算新橢球參數(shù)a1=a+da,f1=f+df,及新大地坐標(biāo)B2=B+dB,L2=L+dL,H2=H+dH。④根據(jù)新橢球參數(shù)和第二帶中央子午線,用新橢球上的大地坐標(biāo)(B2,L2,H2),按高斯投影正算公式計(jì)算第二帶指定投影面上的平面坐標(biāo)(x,y,h)II。

4 算例及分析

根據(jù)所給公式和計(jì)算步驟編制相應(yīng)軟件,并選取了某鐵路工程中的部分點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算。該工程要求將中央子午線為129°、投影面大地高為500 m的平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為中央子午線為130°、投影面大地高為350 m的平面坐標(biāo)。本文分別采用了不同的橢球變換方法及不同的計(jì)算大地坐標(biāo)變化量的方式進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換(限于篇幅,只列出了其中三點(diǎn)的轉(zhuǎn)換結(jié)果)?；鶞?zhǔn)點(diǎn)選擇2號(hào)點(diǎn)。表1和表2分別是利用空間直角坐標(biāo)和大地坐標(biāo)的關(guān)系、廣義大地坐標(biāo)微分公式,不同的橢球變換方法求解的平面坐標(biāo)結(jié)果。

表1 根據(jù)空間直角坐標(biāo)和大地坐標(biāo)的關(guān)系計(jì)算的平面坐標(biāo) m

表2 根據(jù)廣義大地坐標(biāo)微分公式計(jì)算的平面坐標(biāo) m

以2號(hào)點(diǎn)為基準(zhǔn),分別在原投影面和新投影面上求出各點(diǎn)至2號(hào)點(diǎn)的距離,將對(duì)應(yīng)的距離相減得到長(zhǎng)度變形值,其中兩條邊的結(jié)果見表3。長(zhǎng)度變形值對(duì)比結(jié)果表明,采用不同的橢球變換方法得到的距離變形值基本相等,差距都在毫米級(jí),說(shuō)明采用不同的橢球變換方法所產(chǎn)生的距離變形是一致的。從限制長(zhǎng)度變形的角度來(lái)說(shuō),各種橢球變換方法結(jié)果一致。

表3 不同方法計(jì)算的距離變形值 m

5 結(jié)束語(yǔ)

詳細(xì)研究了任意帶任意投影面的平面坐標(biāo)換算,研究了不同的橢球變換方法和橢球變換后計(jì)算大地坐標(biāo)的不同途徑,給出了相應(yīng)的計(jì)算公式,系統(tǒng)總結(jié)了坐標(biāo)換算的步驟,并編制了相應(yīng)軟件,可為實(shí)際工程應(yīng)用。根據(jù)工程實(shí)例分析了不同轉(zhuǎn)換方法的結(jié)果。長(zhǎng)度變形值的對(duì)比結(jié)果表明,各種橢球變換方法的結(jié)果一致。

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