含裂紋Timoshenko梁自由振動(dòng)分析

徐福后，張玉祥

（第二炮兵工程學(xué)院 203室，西安 710025）

1 引 言

裂紋是最典型的結(jié)構(gòu)損傷形式之一，裂紋的損傷檢測(cè)對(duì)于保證設(shè)備的正常工作、預(yù)防突發(fā)災(zāi)難性事故具有重要意義?；谡駝?dòng)的裂紋損傷檢測(cè)方法因其高效性被廣泛關(guān)注，其檢測(cè)原理是：當(dāng)結(jié)構(gòu)出現(xiàn)裂紋時(shí)，動(dòng)力學(xué)特性參數(shù)如固有頻率、振型將發(fā)生相應(yīng)變化，從而通過(guò)監(jiān)測(cè)結(jié)構(gòu)固有頻率的變化檢測(cè)結(jié)構(gòu)的裂紋損傷。目前，許多學(xué)者對(duì)裂紋梁結(jié)構(gòu)固有頻率和模態(tài)開展了研究[1-3]，這些研究大多針對(duì)Euler-Bernoulli梁結(jié)構(gòu)，研究成果只能應(yīng)用于梁結(jié)構(gòu)細(xì)長(zhǎng)比較大的情況。對(duì)于細(xì)長(zhǎng)比較小的梁結(jié)構(gòu)，Euler-Bernoulli梁理論會(huì)產(chǎn)生較大偏差，必須采用Timoshenko梁理論，由于Timoshenko梁理論考慮了剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，問(wèn)題更為復(fù)雜、研究難度更大[4]，因而目前含裂紋Timoshenko梁研究較少[5]。

本文研究含裂紋Timoshenko梁的自由振動(dòng)問(wèn)題，將裂紋模擬為一無(wú)質(zhì)量的扭轉(zhuǎn)彈簧，扭簧的柔度為裂紋深度和截面高度的函數(shù)，采用傳遞矩陣法，結(jié)合具體的邊界條件給出含裂紋梁的頻率方程。對(duì)簡(jiǎn)支梁進(jìn)行數(shù)值模擬，研究裂紋對(duì)梁的固有頻率的影響。

2 Timoshenko梁自由振動(dòng)分析

考慮一矩形截面Timoshenko梁，其幾何尺寸是：長(zhǎng)為L(zhǎng)，寬B，高h(yuǎn)，如圖 1所示。

圖1 含裂紋Timoshenko梁Fig.1 The cracked Timoshenko beam

圖2 含裂紋Timoshenko梁彈簧等效模型Fig.2 The equivalent model of cracked Timoshenko beam

裂紋在距左端LC處，深度為hc。將裂紋處模擬為一無(wú)質(zhì)量扭轉(zhuǎn)彈簧，如圖2所示，扭轉(zhuǎn)彈簧的柔度系數(shù)可以表示為裂紋深度和高度的函數(shù)[6]，

對(duì)于完整Timshenko梁（不含裂紋），彎曲變形時(shí)橫向位移可以分解為

式中，w1（x,t）為彎曲變形引起的，w2（x,t）為剪切變形引起的，因此有

式中，α為變形后截面的法線與水平軸的夾角，φ為剪切變形的剪切角，如圖3和圖4。根據(jù)材料力學(xué)的知識(shí)，梁的彈性方程為

圖3 Timshenko梁微元變形示意圖Fig.3 The deformation of infinitesimal Timoshenko beam element

圖4 Timshenko梁微元受力示意圖Fig.4 The load on the infinitesimal Timoshenko beam element

其中，E為彈性模量，I是單位長(zhǎng)度的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，w是橫向位移，G為剪切模量，k為與橫截面形狀有關(guān)的剪力修正系數(shù)，A是截面面積，M是彎矩，Q為剪力。

由力的平衡和力矩平衡方程得

上式中，ρ是梁的密度，m是單位長(zhǎng)度梁的質(zhì)量。

由（4）、（5）式可以得到Timoshenko梁自由振動(dòng)的橫向位移控制方程：

假定橫向位移為：

將（7）式代入（6）式整理得到：

本文考慮ω小于臨界頻率時(shí)的情況，即：

作如下變換：

將（10）式代入（8）式，求解微分方程可以得到梁的橫向撓度為

Timoshenko梁自由振動(dòng)彎曲引起的轉(zhuǎn)角控制方程為：

按照（6）式的求解方法可以得到αˉ的解。

將（11）、（16）式代入（5）式可以得到彎矩為：

3 傳遞矩陣

對(duì)圖1所示裂紋梁結(jié)構(gòu)可以分成3部分：裂紋部分和裂紋左右完整部分，分別求出梁各部分結(jié)構(gòu)的傳遞矩陣，選擇狀態(tài)矢量Z，

上式中，上角標(biāo)T為轉(zhuǎn)置操作符，后文同此。

3.1 完整部分傳遞矩陣

由（24）式和（26）式可得T1為裂紋左段的傳遞矩陣：

同樣的方法可以求得裂紋右段的傳遞關(guān)系為：

T2為裂紋右段傳遞矩陣：

3.2 裂紋部分傳遞矩陣

在裂紋處，左右兩部分保持橫向位移，彎矩和剪力的連續(xù)條件，但在裂縫處轉(zhuǎn)角不連續(xù)，扭轉(zhuǎn)彈簧的轉(zhuǎn)角θ為左右兩部分梁在裂紋處的轉(zhuǎn)角差，即

裂紋處的傳遞關(guān)系為

式中Tc為裂紋處的傳遞矩陣，具體表達(dá)式如下：

上式中D為扭轉(zhuǎn)彈簧的柔度系數(shù)，見(jiàn)（1）式。

3.3 總體傳遞矩陣

將（35）和（28）兩式代入（30）式，整理可得

式中T為裂紋梁的總體傳遞矩陣，

根據(jù)邊界條件可以簡(jiǎn)化總體傳遞矩陣，固支端wˉ=0，αˉ=0，鉸支端wˉ=0，Mˉ=0，自由端Mˉ=0，Qˉ=0，如對(duì)于簡(jiǎn)支梁，（37）式可以簡(jiǎn)化為

上式即為含裂紋Timoshenko梁的頻率方程，求解方程即可得到裂紋梁的各階固有頻率。

4 數(shù)值算例

為了便于比較，采用文獻(xiàn)[5]與文獻(xiàn)[7]中的簡(jiǎn)支梁作為算例來(lái)驗(yàn)證本文提出方法的有效性。文獻(xiàn)[5]與文獻(xiàn)[7]中梁的幾何參數(shù)和物理參數(shù)相同，如表1所示。裂紋處于梁的中間位置，即Lc/L=0.5。計(jì)算結(jié)果如圖5所示，圖中實(shí)驗(yàn)值由文獻(xiàn)[7]給出，縱坐標(biāo)為含裂紋梁與對(duì)應(yīng)的無(wú)裂紋梁的各階頻率基頻的比值ω/ω0，橫坐標(biāo)為裂紋深度相對(duì)深度hc/h。

表1 梁的幾何參數(shù)和物理參數(shù)Tab.1 Properties of the beam

圖5 裂紋深度對(duì)梁前三階固有頻率的影響Fig.5 The first three nature frequency of cracked beam

從圖5可以看到裂紋使得梁的一階、三階固有頻率均有所下降，裂紋越深，頻率下降得越多，呈拋物線的形式，而對(duì)二階固有頻率幾乎沒(méi)有影響。本文方法計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[5]及實(shí)驗(yàn)都很接近，二階與三階固有頻率計(jì)算結(jié)果比文獻(xiàn)[5]更接近實(shí)驗(yàn)值。

為了研究裂紋對(duì)不同細(xì)長(zhǎng)比梁的影響，文獻(xiàn)[5]分別對(duì)L/h=15、10和5的簡(jiǎn)支梁進(jìn)行了計(jì)算，本文取文獻(xiàn)[5]中的參數(shù)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，參數(shù)如表2，裂紋處于梁的中間位置，即Lc/L=0.5，梁的高度為h。計(jì)算結(jié)果如圖6所示，圖中縱坐標(biāo)為裂紋梁的基頻率與完整梁的基頻的比值。

表2 梁的幾何參數(shù)和物理參數(shù)Tab.2 Properties of the beam

圖6 裂紋深度對(duì)不同細(xì)長(zhǎng)比梁基頻的影響Fig.6 The first nature frequency of cracked beam with different slenderness ratio

從圖6可以看出，在細(xì)長(zhǎng)比（L/h）較大時(shí)（圖6（a））裂紋對(duì)基頻的影響相對(duì)較小，隨著細(xì)長(zhǎng)比的減小，裂紋對(duì)基頻的影響越來(lái)越大。本文方法計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[5]很接近，尤其是在計(jì)算細(xì)長(zhǎng)比較小的情況，兩者更為相似，這說(shuō)明本文方法能夠很好地用于分析含裂紋的Timoshenko梁。

5 結(jié) 論

本文提出了利用傳遞矩陣法分析含裂紋Timoshenko梁自由振動(dòng)，這種方法只需要計(jì)算一個(gè)2×2矩陣的行列式值，計(jì)算簡(jiǎn)單、高效。以文獻(xiàn)[5]、文獻(xiàn)[7]中的簡(jiǎn)支梁為例，采用本文方法進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，驗(yàn)證了本文方法的有效性，并得到如下結(jié)論：

（1）裂紋梁的一階固有頻率與完整梁的固有頻率比值隨裂紋深度增加而減小，并且減小的速率比其它各階頻率大。

（2）對(duì)于裂紋處于梁的中間位置時(shí)，二階固有頻率幾乎不隨裂紋的深度改變。

（3）梁的細(xì)長(zhǎng)比越小，裂紋對(duì)它的影響越大。

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