基于實(shí)測(cè)時(shí)間序列的非線性系統(tǒng)恢復(fù)力識(shí)別

許 斌,賀 佳

(1.湖南大學(xué)土木工程學(xué)院,長(zhǎng)沙 410082;2.湖南大學(xué)建筑安全與節(jié)能教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,長(zhǎng)沙 410082)

1 前言

由于結(jié)構(gòu)材料自身的老化與徐變、使用荷載的變化以及各種自然和人為因素的作用,土木工程結(jié)構(gòu)都不可避免地存在著不同程度損傷累積,從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)使用性能降低甚至災(zāi)變行為的發(fā)生。近來(lái),世界范圍內(nèi)工程事故頻發(fā),工程結(jié)構(gòu)的安全事故帶來(lái)巨大的生命和財(cái)產(chǎn)損失,進(jìn)而產(chǎn)生較大的社會(huì)負(fù)面影響。因此,對(duì)工程結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載作用下?lián)p傷的發(fā)生發(fā)展過(guò)程的監(jiān)測(cè)與識(shí)別已經(jīng)成為當(dāng)前國(guó)內(nèi)外土木工程領(lǐng)域的緊迫課題和關(guān)鍵科學(xué)問(wèn)題之一。

一般地,隨著損傷的發(fā)生和發(fā)展,結(jié)構(gòu)參數(shù)也隨之發(fā)生改變。因此,在過(guò)去20多年的時(shí)間里,研究人員主要將土木工程結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別問(wèn)題作為結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別問(wèn)題來(lái)處理,提出了系列識(shí)別方法?，F(xiàn)有的損傷識(shí)別研究以基于動(dòng)力測(cè)量的方法為主,包括時(shí)域、頻域、時(shí)頻域聯(lián)合分析方法等[1,2]。這些土木工程結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別方法的基本思想可以概括為以下兩點(diǎn)。第一,用結(jié)構(gòu)構(gòu)件層次或者子結(jié)構(gòu)剛度的降低來(lái)表征結(jié)構(gòu)損傷的存在和程度;第二,運(yùn)用從結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)測(cè)量中抽取的結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率和(或者)模態(tài)或者他們的衍生量,通過(guò)優(yōu)化算法識(shí)別出結(jié)構(gòu)物理參數(shù)或者對(duì)原有數(shù)值模型進(jìn)行修正,所識(shí)別或者修正的參數(shù)主要是結(jié)構(gòu)構(gòu)件剛度或者是材料層次的彈性模量,并借此表征損傷。顯然,從理論上來(lái)講,現(xiàn)階段應(yīng)用最廣泛的動(dòng)力指紋分析法和模型修正法均基于線性假定,即在測(cè)量過(guò)程中工程結(jié)構(gòu)被認(rèn)為是線彈性結(jié)構(gòu),并且某些情況下要以質(zhì)量已知為前提。然而,實(shí)際工程結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載作用下?lián)p傷的發(fā)生發(fā)展過(guò)程是典型的非線性過(guò)程,伴隨著結(jié)構(gòu)損傷的出現(xiàn),結(jié)構(gòu)隨即進(jìn)入非線性狀態(tài),例如裂縫的發(fā)生、發(fā)展就是一個(gè)典型的非線性過(guò)程。另外,許多情況下結(jié)構(gòu)的質(zhì)量?jī)H僅根據(jù)設(shè)計(jì)圖紙難以準(zhǔn)確確定。因此,運(yùn)用傳統(tǒng)的基于模型修正思想進(jìn)行動(dòng)力荷載作用下結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別從方法論上說(shuō)存在著不足。

事實(shí)上,與將一個(gè)非線性動(dòng)力系統(tǒng)等價(jià)線性化,通過(guò)其剛度的變化來(lái)表述損傷程度的方法相比,結(jié)構(gòu)構(gòu)件的非線性恢復(fù)力特征不僅可以更直觀地反映結(jié)構(gòu)構(gòu)件的損傷發(fā)生發(fā)展過(guò)程,而且可以定量描述結(jié)構(gòu)構(gòu)件在動(dòng)力荷載作用下所消耗的能量,更有助于對(duì)結(jié)構(gòu)的損傷進(jìn)行定量評(píng)估。因此,尋找一種基于基本運(yùn)動(dòng)方程而不需要關(guān)于結(jié)構(gòu)的線性假定的具有普遍意義的直接利用結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)測(cè)量數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)恢復(fù)力識(shí)別的方法具有重要意義[3]。

關(guān)于土木工程結(jié)構(gòu)的非線性特性識(shí)別,國(guó)外開(kāi)始了初步研究。Masri和Caughy提出了恢復(fù)力曲面法,以系統(tǒng)位移和速度為坐標(biāo),構(gòu)造非線性系統(tǒng)恢復(fù)力曲面,解決了單自由度動(dòng)力系統(tǒng)的非線性參數(shù)識(shí)別問(wèn)題[4]。Masri等進(jìn)一步將該方法應(yīng)用于解決鏈狀多自由度非線性動(dòng)力系統(tǒng)的識(shí)別問(wèn)題[5]。針對(duì)非線性多自由度系統(tǒng),Masri等基于模態(tài)轉(zhuǎn)換的思想提出了完全基于結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)數(shù)據(jù)測(cè)量的非線性多自由度系統(tǒng)的非參數(shù)化降階模型[6,7],該方法必須將質(zhì)量視為已知條件,且不能直接應(yīng)用于具有滯回特性的非線性結(jié)構(gòu)。運(yùn)用最小二乘擬合優(yōu)化算法,Toussi和Yao識(shí)別了高層結(jié)構(gòu)層間力與位移隨時(shí)間變化的滯回特性[8],但該方法仍然需以結(jié)構(gòu)質(zhì)量作為已知條件?；趩蝹€(gè)激勵(lì)和響應(yīng)時(shí)程,結(jié)合最小二乘擬合算法,Mohammad等提出一種直接使用時(shí)域響應(yīng)測(cè)量的線性或非線性結(jié)構(gòu)物理參數(shù)識(shí)別方法[9],該方法有效識(shí)別了兩種弱非線性結(jié)構(gòu)的各個(gè)物理參數(shù),然而,與通過(guò)識(shí)別結(jié)構(gòu)剛度的變化來(lái)反映非線性程度、損傷大小的思路相比,結(jié)構(gòu)的非線性恢復(fù)力最能反映結(jié)構(gòu)自身?yè)p傷的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程。

文章提出了一種不需要將質(zhì)量視為已知條件,而是完全基于時(shí)域信號(hào)(激勵(lì)和響應(yīng)信號(hào))的非線性系統(tǒng)恢復(fù)力的識(shí)別方法,并以安裝有磁流變阻尼器(MR)的4層鋼框架模型實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的有效性。文章研究了在結(jié)構(gòu)的各自由度均受激勵(lì)的完整激勵(lì)情況下與僅部分自由度受激勵(lì)的非完整激勵(lì)情況下的實(shí)現(xiàn)方法。

2 時(shí)域非線性動(dòng)力系統(tǒng)恢復(fù)力識(shí)別的基本原理

2.1 完整激勵(lì)下非線性恢復(fù)力識(shí)別

在一個(gè)n個(gè)自由度的非線性結(jié)構(gòu)中運(yùn)動(dòng)平衡方程可表示為:

結(jié)構(gòu)的非線性恢復(fù)力是結(jié)構(gòu)損傷狀況的最直接反映,識(shí)別出式(1)中的非線性恢復(fù)力FNT,可以直觀判斷結(jié)構(gòu)是否進(jìn)入非線性階段。

當(dāng)結(jié)構(gòu)的各自由度均受到激勵(lì)而且激勵(lì)和各自由度的響應(yīng)測(cè)量已知時(shí),為了求得FNT,可先構(gòu)造一個(gè)非線性結(jié)構(gòu)的等價(jià)線性結(jié)構(gòu),其平衡方程為:

式(2)中ME、CE和KE分別為等價(jià)線性結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。對(duì)于等價(jià)線性結(jié)構(gòu),f1(t)的第i個(gè)元素可以表達(dá)成系統(tǒng)狀態(tài)變量的線性組合[6,7]:

式(3)中,aE,ij、bE,ij、cE,ij分別表示等效質(zhì)量、等效阻尼、等效剛度矩陣中等i行第j列的元素。運(yùn)用優(yōu)化算法,比如最小二乘算法,可以確定式(3)中的各個(gè)系數(shù),進(jìn)而得到等價(jià)線性系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣與非線性無(wú)關(guān),等價(jià)線性系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣可以作為非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣的估計(jì),于是整個(gè)非線性系統(tǒng)的恢復(fù)力可以根據(jù)下式確定:

一般地,至此即已達(dá)到求解恢復(fù)力的目的。在文章中非線性阻尼力由MR提供,為了驗(yàn)證恢復(fù)力識(shí)別結(jié)果的可靠性,運(yùn)用力傳感器測(cè)量了結(jié)構(gòu)振動(dòng)過(guò)程中MR的阻尼力大小并與識(shí)別結(jié)果進(jìn)行比較。為了便于比較,需要從識(shí)別出的總非線性恢復(fù)力中除去結(jié)構(gòu)自身的線彈性恢復(fù)力和粘性阻尼力。根據(jù)系統(tǒng)總恢復(fù)力的構(gòu)成形式,MR的阻尼力為:

式(5)中,FN(t)為由MR提供的阻尼力;C、K為線性系統(tǒng)的阻尼和剛度矩陣。為了得到文章中線性系統(tǒng)的阻尼和剛度矩陣,可以將MR從非線性結(jié)構(gòu)中移開(kāi),通過(guò)振動(dòng)測(cè)試,運(yùn)用上述方法得到。但該過(guò)程在實(shí)際中并不是必需的,在此僅為了結(jié)果比較的方便而從總的非線性恢復(fù)力中抽取出MR阻尼力。

2.2 非完整激勵(lì)下非線性恢復(fù)力的識(shí)別

在實(shí)際情況下,往往很難對(duì)結(jié)構(gòu)的每一個(gè)自由度進(jìn)行激勵(lì),因此,上述方法必須進(jìn)行改進(jìn)。因?yàn)樵诓煌暾?lì)下,激勵(lì)矩陣的秩小于結(jié)構(gòu)的自由度n,從而不能直接使用最小二乘擬合求解結(jié)構(gòu)矩陣。在非完整激勵(lì)情況下,考慮多自由度集中質(zhì)量模型,其運(yùn)動(dòng)方程為:

不失一般性,假設(shè)只有結(jié)構(gòu)的第i個(gè)自由度上受到激勵(lì)作用,則將式(6)展開(kāi)并整理得:

式(7a)～(7c)中,mi表示第i個(gè)自由度上的集中質(zhì)量;Vi-1,i和Si-1,i表示第i-1和i層之間的層間速度和層間位移;aj-1,j,h,l表示 Vi-1,i和 Si-1,i分別為 h次方和l次方時(shí)的待定系數(shù);p和q為層間位移和層間速度的最高次方數(shù),其大小視非線性程度而定。式(7a)為第i層(激勵(lì)作用處)的平衡方程,式(7b)為結(jié)構(gòu)頂層平衡方程,式(7c)為任意第 j層(j≠i)的平衡方程。對(duì)于式(7a),可以直接運(yùn)用最小二乘法得出各個(gè)參數(shù),而式(7b)和(7c)在等式兩邊同時(shí)除以mj后,運(yùn)用最小二乘法也能得到各個(gè)待定系數(shù)與相應(yīng)質(zhì)量的比值。

根據(jù)結(jié)構(gòu)各相鄰質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力大小相等、方向相反的關(guān)系,即 aj-1,j,h,l=-aj,j-1,h,l,式(7b)和(7c)中的各個(gè)參數(shù)即可分步確定,因此,第i-1層和第i層之間的層間恢復(fù)力可以求得:

同樣地,由于該層間恢復(fù)力是由結(jié)構(gòu)自身的恢復(fù)力和MR阻尼力構(gòu)成,則MR阻尼力的大小可以表示成:

3 基于動(dòng)力實(shí)驗(yàn)實(shí)測(cè)的非線性恢復(fù)力識(shí)別方法驗(yàn)證

3.1 實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ鸵约皠?dòng)力測(cè)試

為了驗(yàn)證方法的有效性,設(shè)計(jì)制作了一個(gè)4層鋼結(jié)構(gòu)模型,并通過(guò)在結(jié)構(gòu)的第4層安裝磁流變阻尼器的方法模擬結(jié)構(gòu)的非線性行為,實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ腿鐖D1所示。結(jié)構(gòu)平面尺寸為0.3 m×0.4 m,層高0.3 m,總高度為1.2 m,結(jié)構(gòu)總質(zhì)量51.41 kg。樓面板的板厚為10 mm,柱截面尺寸為30 mm×5 mm,所有柱與樓面板均采用螺栓連接。此模型可以簡(jiǎn)化成具有4個(gè)水平自由度的集中質(zhì)量模型。磁流變阻尼器安裝在第4層即模型的集中質(zhì)量3與4之間。MR的電流為0.1 A的直流電,其產(chǎn)生的阻尼力的大小由力傳感器直接測(cè)得。利用力錘給結(jié)構(gòu)施加激勵(lì),結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)和位移響應(yīng)分別由安裝在每層樓面上的加速度傳感器和位移傳感器測(cè)得。使用LMS數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)實(shí)時(shí)記錄激勵(lì)力和結(jié)構(gòu)的加速度、位移響應(yīng),結(jié)構(gòu)的速度由實(shí)測(cè)加速度積分得到。實(shí)驗(yàn)采樣頻率為1 024 Hz。采用高通濾波,通過(guò)頻率為1 Hz。圖1表示實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?、傳感器安裝和數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)。

圖1 非線性結(jié)構(gòu)模型以及數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)Fig.1 Nonlinear model structure and data acquisition system

3.2 完整激勵(lì)下非線性恢復(fù)力識(shí)別驗(yàn)證

此種工況下,用一個(gè)力錘依次沿水平方向激勵(lì)結(jié)構(gòu)的每一層,并同時(shí)測(cè)量力錘激勵(lì)力、位移和加速度響應(yīng)信號(hào)。圖2、圖3表示的是一組位移和加速度的實(shí)測(cè)值。

圖2 實(shí)測(cè)位移響應(yīng)Fig.2 The displacement measurements

圖3 實(shí)測(cè)加速度響應(yīng)Fig.3 The acceleration measurements

結(jié)合以上激勵(lì)和響應(yīng)信號(hào),根據(jù)式(3),運(yùn)用最小二乘優(yōu)化算法,可以得到用系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)表示的結(jié)構(gòu)各層激勵(lì),如式(10 a)～(10 d)所示。

式(10a)～(10d)中 ai、vi和 si(i=1,…,4)分別為第i層的加速度、速度和位移響應(yīng)。由式(10a)～(10d)和式(3),等價(jià)線性結(jié)構(gòu)的系數(shù)矩陣為:

式(11a)～(11c)的單位分別是kg、N/m和N· s/m。

此時(shí),根據(jù)式(4)即可以直接求得結(jié)構(gòu)的總恢復(fù)力。為了獲得MR所產(chǎn)生的阻尼力的大小并與實(shí)測(cè)值進(jìn)行比較,對(duì)沒(méi)有安裝MR的線性結(jié)構(gòu)進(jìn)行了動(dòng)力實(shí)驗(yàn)。類似的,可以識(shí)別出線性結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣如下:

式(12a)～(12c)的單位分別是kg、N/m和N·s/m。

由以上識(shí)別結(jié)果可知,盡管未對(duì)結(jié)構(gòu)做任何假設(shè),所識(shí)別出的線性結(jié)構(gòu)質(zhì)量、剛度、阻尼矩陣仍然具有較好的對(duì)稱性。通過(guò)比較式(11a)～(11c)和式(12a)～(12c)可知,MR阻尼器對(duì)結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度影響不甚明顯,這是由于MR阻尼器僅0.4 kg,相對(duì)于結(jié)構(gòu)總重,其影響可以忽略不計(jì),同時(shí),MR阻尼器自身的特性決定了其對(duì)剛度的影響也很小。比較式(11c)和式(12c),可知MR阻尼器在結(jié)構(gòu)的第3和第4集中質(zhì)量之間。從而,根據(jù)式(5)即可得到MR阻尼力,其結(jié)果如圖4所示。圖5為實(shí)驗(yàn)實(shí)測(cè)的 MR阻尼力的水平分量。從圖4和圖5可見(jiàn),識(shí)別的MR阻尼力與實(shí)測(cè)值吻合較好。

如果考察其他各層的非線性阻尼力的大小,可以發(fā)現(xiàn),結(jié)構(gòu)第1層至第3層的非線性阻尼力的值接近于零,表示在實(shí)驗(yàn)結(jié)構(gòu)的第1層至第3層沒(méi)有安裝MR阻尼器。圖6表示識(shí)別的第2層非線性阻尼力的大小,其值在整個(gè)動(dòng)力測(cè)量過(guò)程中均相對(duì)較小,由此可以判斷該層沒(méi)有安裝MR阻尼器,層間恢復(fù)力為位移和速度的線性組合,層間結(jié)構(gòu)未表現(xiàn)出非線性行為。第1層與第3層的結(jié)果類似,由于篇幅限制未列出。由此可見(jiàn),該算法不僅能準(zhǔn)確地確定動(dòng)力荷載作用下結(jié)構(gòu)的非線性響應(yīng)區(qū)域,同時(shí)能定量地識(shí)別出結(jié)構(gòu)非線性層間滯回特性。

圖4 識(shí)別的第4層MR阻尼器阻尼力Fig.4 The identified MR force on the 4th floor

圖5 實(shí)測(cè)的第4層MR阻尼器阻尼力Fig.5 The measured MR force on the 4th floor

3.3 非完整激勵(lì)下非線性恢復(fù)力識(shí)別驗(yàn)證

為了驗(yàn)證改進(jìn)的算法的可靠性,進(jìn)行了相應(yīng)的動(dòng)力測(cè)試實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)中力錘僅沿水平方向作用在結(jié)構(gòu)的第3層,同時(shí)采集位移和加速度信號(hào)。實(shí)測(cè)位移、加速度信號(hào)分別如圖7、圖8所示。

從理論上說(shuō),根據(jù)式(7a)～(7c),S和V的最高次方數(shù)(即p和q)取得越高,越能夠更好地模擬結(jié)構(gòu)的非線性。然而,實(shí)際工程中,次方數(shù)越高,運(yùn)用最小二乘算法時(shí)噪聲的影響也越大,綜合考慮,文中取p+q=3(p,q均為整數(shù))。

圖6 識(shí)別的第2層MR阻尼器阻尼力Fig.6 The identified MR force on the 2nd floor

圖7 實(shí)測(cè)位移響應(yīng)Fig.7 The displacement measurements

圖8 實(shí)測(cè)加速度響應(yīng)Fig.8 The acceleration measurements

運(yùn)用最小二乘擬合優(yōu)化算法,首先識(shí)別第3層平衡方程中的各個(gè)系數(shù),然后依次識(shí)別其余各層系數(shù)。因此,根據(jù)式(8),結(jié)構(gòu)各層層間恢復(fù)力為:

式(13)中Vi=vi-vi-1和Si=si-si-1表示相鄰兩層間的層間速度和層間位移;FTR(i,i-1)表示第i層和第i-1層的層間恢復(fù)力。得到各層層間恢復(fù)力的表達(dá)式后根據(jù)式(9)可以確定MR阻尼力大小。圖9、圖10分別表示識(shí)別的和實(shí)測(cè)的第4層MR阻尼力。比較圖9與圖10可見(jiàn),非完整激勵(lì)下識(shí)別出的MR阻尼力的大小與實(shí)測(cè)值基本吻合。通過(guò)多項(xiàng)式表達(dá)的恢復(fù)力識(shí)別結(jié)果與位移的關(guān)系曲線略顯光滑。

圖9 識(shí)別的第4層MR阻尼器阻尼力Fig.9 The identified MR force on the 4th floor

圖11所示為第2層MR阻尼力的識(shí)別結(jié)果,從圖中可見(jiàn),第2層的MR阻尼力相對(duì)較小,類似的結(jié)果也可以在第1、3層得到?？梢酝茢嘟Y(jié)構(gòu)的第1層至第3層沒(méi)有安裝MR阻尼器,相應(yīng)層表現(xiàn)出線性行為,識(shí)別結(jié)果與實(shí)際情況相符?？梢?jiàn),在非完整激勵(lì)情況下所提出的改進(jìn)的算法仍然不失為一種識(shí)別結(jié)構(gòu)非線性恢復(fù)力的有效的方法。

圖10 實(shí)測(cè)的第4層MR阻尼器阻尼力Fig.10 The measured MR force on the 4th floor

圖11 識(shí)別的第2層MR阻尼器阻尼力Fig.11 The identified MR force on the 2nd floor

4 結(jié)語(yǔ)

基于結(jié)構(gòu)的激勵(lì)和動(dòng)力響應(yīng)信號(hào),運(yùn)用文章所提出的方法可以對(duì)多自由度非線性系統(tǒng)的非線性恢復(fù)力進(jìn)行有效識(shí)別。針對(duì)不同的激勵(lì)形式,文章分別提出了識(shí)別非線性恢復(fù)力的具體實(shí)現(xiàn)方法。該方法不需要已知結(jié)構(gòu)質(zhì)量,也不需要對(duì)識(shí)別對(duì)象的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行假設(shè),其理論依據(jù)為運(yùn)動(dòng)平衡方程,具有一般性。通過(guò)在一個(gè)4層鋼結(jié)構(gòu)模型中安裝MR阻尼器模擬結(jié)構(gòu)非線性,運(yùn)用在完整激勵(lì)和非完整激勵(lì)下的動(dòng)力實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的可行性。結(jié)果表明,該方法是一種有效可行的結(jié)構(gòu)非線性行為識(shí)別方法,能有效地識(shí)別出結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載作用下的非線性恢復(fù)力。該方法能基于工程結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載作用下的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)結(jié)構(gòu)的非線性恢復(fù)力進(jìn)行定量識(shí)別,進(jìn)而可直觀體現(xiàn)結(jié)構(gòu)的非線性行為的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程。該方法將在結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)和損傷評(píng)估中得到有效應(yīng)用。

文章所提出的兩種識(shí)別方法均運(yùn)用了結(jié)構(gòu)各個(gè)自由度上的加速度、速度和位移測(cè)量時(shí)間序列,然而實(shí)際工程中,最易獲得的觀測(cè)值是加速度,因此,對(duì)于僅有加速度實(shí)測(cè)值或結(jié)構(gòu)響應(yīng)觀測(cè)值有限的情況,需要對(duì)該方法進(jìn)行進(jìn)一步拓展。

[1]Doebling S W,Farrar C R,Prime M B.A summary review of vibration-based damage identification methods[J].Shock and Vibration Digest,1998,30(2):91-105.

[2]李國(guó)強(qiáng),李 杰.工程結(jié)構(gòu)動(dòng)力檢測(cè)理論與應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2002.

[3]Zhou R,Xu B,He J,et al.Data-based hysteretic performance identification for a nonlinear structure equipped with MR damper[C]//Proceedings of the Tenth International Symposium on Structural Engineering for Young Experts.2008,2:1516-1521.

[4]Masri S F,Caughey T K.A nonparametric identification technique for nonlinear dynamic problems[J].Journal of Applied Mechanics,ASME,1979,46(2):433-447.

[5]Masri S F,Sassi H,Caughey T K.Nonparametric identification of arbitrary nonlinear system [J].Journal of Applied Mechanics Transportation,1982,49:754-767.

[6]Masri S F,Caffery J P,Caughey T K,et al.A general data-based approach for developing reduced-order models of non-linear MDOF systems[J].Nonlinear Dynamics,2005,39:95-112.

[7]Masri S F,Tasbihgoo F,Caffery J P,et al.Data-based model-free representation ofcomplex hysteretic MDOF systems [J].Structural Control&Health Monitoring,2006,13:365-387.

[8]Toussi S,Yao T P.Hysteretic identification of existing structures[J].Journal of Engineering Mechanics,ASCE,1983,109(5):1189-1202.

[9]Mohammad K S,Worden K,Tomlinson G R.Direct parameter estimation for linear and non-linear structures[J].Journal of Sound and Vibration,1992,153(3):471-499.