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    高動態(tài)條件下改進的EKF載波跟蹤環(huán)路

    2011-06-06 00:56:38李思超李金海孫金海汪峰閻躍鵬
    哈爾濱工程大學學報 2011年11期
    關(guān)鍵詞:估計值環(huán)路穩(wěn)態(tài)

    李思超,李金海,孫金海,汪峰,閻躍鵬

    (中國科學院微電子研究所,北京100029)

    高動態(tài)接收機主要涉及在高動態(tài)條件下對衛(wèi)星導航信號進行捕獲、跟蹤及定位解算的技術(shù).在高動態(tài)環(huán)境下,接收機的速度以及各階導數(shù)值都較大,引起較大的多普勒頻移,給偽碼的捕獲跟蹤及后續(xù)的數(shù)據(jù)解調(diào)帶來困難,為實現(xiàn)可靠通信,必須精確估計載波頻移,并進行補償.在未加輔助的條件下,高動態(tài)載波跟蹤方法有最大似然估計(MLE)[1-2]、FLL/PLL[2-3]、自適應最小均方法(ALS)[4-5]、擴展Kalman 濾波器(EKF)[2,6]等.MLE 在 C/A 碼延時 τ及多普勒頻移ωd構(gòu)成的二維坐標平面上求似然函數(shù)的最大值,以此來估計時延τ、多普勒頻移ωd,估計精度高,但比較復雜,適用于超高動態(tài)目標的跟蹤.FLL/PLL方法結(jié)構(gòu)簡單,計算量小,但是在高動態(tài)條件下需要采用高階環(huán)路,將引起環(huán)路的穩(wěn)定性問題[3],在弱信號條件下,鑒別器的非線性將使得跟蹤誤差較大.ALS方法將接收信號進行泰勒展開得到觀測方程,進而獲得頻率估計值,估計精度高,但結(jié)構(gòu)也很復雜.EKF算法能夠直接估計信號的相位、頻率及其高階導數(shù),同時避免了鑒別器的非線性問題,跟蹤性能好,靈敏度較高,高階EKF計算量也較大,但是采用高性能處理器可以較好地解決這一問題.鑒于EKF的上述特點,本文以其為研究對象,對其環(huán)路帶寬特性進行了理論分析,建立了相應的數(shù)學模型.根據(jù)分析結(jié)果,提出了一種改進的EKF載波跟蹤算法.該算法比常規(guī)算法環(huán)路帶寬窄,靈敏度更高.

    1 EKF載波跟蹤模型

    EKF的跟蹤過程與常規(guī)的DPLL類似,都是接收來自相關(guān)器的累加值,輸出殘差估計.圖1為采用EKF的高動態(tài)GNSS跟蹤環(huán)路,其中數(shù)據(jù)輔助模塊為可選設置,為便于討論,后續(xù)分析皆基于存在數(shù)據(jù)輔助.

    圖1 基于EKF的高動態(tài)跟蹤環(huán)路Fig.1 High dynamic tracking loops based on EKF

    為適應高動態(tài)條件,選擇四階EKF跟蹤環(huán)路,其狀態(tài)方程和量測方程為[2]

    量測矩陣H可由下式得出[7]

    EKF的迭代方程組為

    式中:Q表示狀態(tài)噪聲協(xié)方差矩陣,α為加權(quán)系數(shù),R為量測噪聲協(xié)方差矩陣.

    在NASA方案[2]中,每次迭代完成后,輸入到載波NC0中的更新量為

    式中:θk+1'、θk'為一步預測值.

    2 EKF環(huán)路帶寬特性分析

    2.1 理論分析

    由迭代方程組可知,EKF可以看作圖2所示的負反饋環(huán)路.輸入為量測值Yk,輸出為狀態(tài)估計值Xk,狀態(tài)估計值的各個分量都來自相同的輸入,具有相同的輸入噪聲功率譜密度.

    圖2 EKF原理圖Fig.2 Schematic diagram of EKF

    NASA EKF方案的載波NC0更新量來自相位對于時間的導數(shù),如式(3)所示.假設輸入值的噪聲功率譜密度為,對應相位一步預測值傳輸函數(shù)的等效環(huán)路帶寬為Bp,則由相位差得到的頻率更新量噪聲功率為2Bp.若載波NC0的更新量由頻率估計值提供(下稱該方案 為 Modified EKF,即MEKF),令對應頻率估計值傳輸函數(shù)的等效環(huán)路帶寬為Bf,則此時頻率更新量噪聲功率為Bf.若Bf<2Bp,則以頻率估計值更新NC0跟蹤性能會有提高.

    由EKF迭代方程組,得一步預測值為

    對式(4)兩端做Z變換,并整理得方程組:

    式中:Mik(i=1,2,3,4)為在第 k次迭代時與 Pk'、a m^pk和a mpk有關(guān)的常量.

    解方程組,得NASA方案中相位一步預測值的傳輸函數(shù)為

    式中:aik、dik(i=1,2,3,4)為第 k 次遞推時與Mik(i=1,2,3,4)有關(guān)的常量.

    類似地,可得到MEKF方案中頻率估計值的傳輸函數(shù)為

    式中:aik、dik(i=1,2,3,4)為第 k 次遞推時與 Pk'、am^pk和ampk有關(guān)的常量.

    對于傳輸函數(shù)為H(z)的系統(tǒng),其環(huán)路等效帶寬為

    將式(5)、(6)代入式(7),可得NASA方案和MEKF 方案的等效環(huán)路帶寬 BL,θ(k)、BL,ω(k),其中的時間標度k表示第k次迭代時的值.顯然,EKF的等效環(huán)路帶寬與其參數(shù)有關(guān),不是固定值.

    由卡爾曼濾波器的穩(wěn)定性原理[8]可知,無論濾波器初值如何設定,經(jīng)過足夠長的時間,卡爾曼濾波器都將達到穩(wěn)態(tài),此時Pk'→P',并且滿足Riccati方程[9]:

    當EKF處于穩(wěn)態(tài)時,等效環(huán)路帶寬也趨于穩(wěn)定.由Riccati方程可得 P',代入式(5)~(7),可得穩(wěn)態(tài)環(huán)路帶寬 BL,θ、BL,ω.EKF 的暫態(tài)過程存在不確定性,其解析解不易確定,可通過仿真得到暫態(tài)帶寬.

    2.2 仿真結(jié)果

    采用文獻[2]中提出的更為嚴格的高動態(tài)GPS信號,根據(jù)2.1節(jié)的分析結(jié)果,對2種方案的環(huán)路帶寬特性做了仿真.中頻頻率的標稱值為4.092 MHz,采樣率為16.368 MHz,相干積分時間T=2 ms,采用2號衛(wèi)星的PRN碼進行擴頻調(diào)制.

    高動態(tài)信號的相對加加速度和相對加加速度特性示于圖3.

    可見,EKF的環(huán)路等效帶寬經(jīng)歷暫態(tài)過程的波動后,逐漸趨于穩(wěn)定,濾波器通過調(diào)整帶寬完成了自適應濾波.穩(wěn)態(tài)仿真帶寬與通過Riccati方程計算的帶寬差別極小,證明了理論分析是正確的.

    圖3 相對加速度和相對加加速度Fig.3 Relative acceleration and relative jerk

    圖4 環(huán)路帶寬仿真值與理論值Fig.4 Loop bandwidth from simulation and theoreticalanalysis

    圖5(a)、(b)為在不同參數(shù)選擇時2種方案的環(huán)路等效帶寬.圖5(a)α = 1.03分為108和107的2種情況;圖5(b)=107,α 分為 1 .02 和 1 .03的2種情況.

    圖5 EKF穩(wěn)態(tài)等效環(huán)路帶寬Fig.5 Effective 100P banelwith of state of EKF

    仿真時計算了NASA方案的2倍傳輸帶寬2BL,θ.可見在各種條件下,MEKF的穩(wěn)態(tài)傳輸帶寬都滿足BL,ω<2BL,θ,MEKF 方案比 NASA 方案噪聲功率要?。?/p>

    此外,相比NASA方案,MEKF方案還可以減少兩次向量相乘、一次減法和一次除法,計算量有一定的降低.

    綜上,選擇MEKF作為高動態(tài)載波跟蹤方案.

    3 算法性能仿真結(jié)果

    采用第2節(jié)的GPS高動態(tài)參數(shù),對常規(guī)算法和MEKF算法進行了仿真測試.當頻率誤差超過奈奎斯特速率的1/2即250 Hz時認為系統(tǒng)失鎖,失鎖概率為10%的信噪比為門限信噪比[2],可認為是跟蹤靈敏度.

    為便于比較,在仿真過程中取α=1.03、σ2j=4×104,與 NASA 方案[2]相同.圖 6~8為載波頻率及其一二階導數(shù)的跟蹤結(jié)果,信號強度為-150.5 dBm.可見,載波頻率跟蹤效果良好,頻率的一、二階導數(shù)跟蹤結(jié)果抖動較大,但依然能夠可靠地鎖定.圖9為改進前后2種方案頻率估計均方根誤差的仿真結(jié)果,圖10為相應的失鎖概率曲線,每一種測試條件進行了104次仿真,消除了隨機性.表1列出了各種高動態(tài)載波跟蹤算法在一定載噪比下的頻率誤差及各自的跟蹤靈敏度[2].

    表1 性能統(tǒng)計Table 1 Cartogram of performance

    圖6 載波頻率跟蹤結(jié)果Fig.6 Tracking results of carrier frequency

    圖7 載波頻率一階導數(shù)跟蹤結(jié)果Fig.7 Tracking results of first-order derivative of carrier frequency

    圖8 載波頻率二階導數(shù)跟蹤結(jié)果Fig.8 Tracking results of second-order derivative of carrier frequency

    當CN0≥24 dBHz時,2種算法的頻率誤差均方根相差不大,當CN0<24 dBHz時,改進算法的性能較好;改進算法在失鎖概率方面的優(yōu)勢是明顯的.由表1可知,相同條件下MEKF算法的跟蹤靈敏度比NASA算法提高了1.3 dB,頻率誤差也略有減小,其頻率誤差比其他方案小得多.這證明了MEKF算法的優(yōu)越性及其理論分析的正確性.

    圖9 2種算法頻率誤差Fig.9 Frequency error of two algorithms

    圖10 2種算法失鎖概率Fig.10 Probabilities of loss-of-lock of two algorithms

    4 結(jié)束語

    EKF的環(huán)路帶寬具有自適應性,其穩(wěn)態(tài)環(huán)路帶寬是決定高動態(tài)跟蹤性能的關(guān)鍵參數(shù)之一.通過對EKF環(huán)路帶寬特性進行理論分析,建立了相應的數(shù)學模型,并進行了仿真,進而提出了一種改進的EKF高動態(tài)載波跟蹤算法.與常規(guī)算法相比,改進后的算法減小了頻率跟蹤誤差和失鎖概率,提高了跟蹤靈敏度.這對于提高高動態(tài)接收機性能有著重要的工程價值.下一步工作將研究如何充分利用EKF的所有狀態(tài)估計值提高接收機的跟蹤性能.

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