負(fù)二項(xiàng)分布可靠度的E-Bayes估計(jì)

蘇清華，胡中波

(1. 孝感學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 孝感 432000；2. 武漢理工大學(xué) 理學(xué)院，湖北 武漢 430074)

在生產(chǎn)、生活中人們對(duì)產(chǎn)品的可靠性要求越來(lái)越高，如果用成敗型實(shí)驗(yàn)對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行可靠性測(cè)試，那么產(chǎn)品壽命是以成敗次數(shù)來(lái)衡量的. 負(fù)二項(xiàng)分布就是此類測(cè)試產(chǎn)品壽命服從的分布之一.

在高可靠性產(chǎn)品的重復(fù)獨(dú)立抽樣檢驗(yàn)中，θ(0<θ<1)為每次抽到合格品的概率，當(dāng)?shù)趓個(gè)合格品出現(xiàn)時(shí)終止試驗(yàn).X為第r個(gè)合格品出現(xiàn)之前不合格品的個(gè)數(shù)，則X服從參數(shù)為r和θ的負(fù)二項(xiàng)分布，其分布律為：

(1)

其中:r>0已知，θ為產(chǎn)品的可靠度(或合格品率、成功率).

目前已有不少文獻(xiàn)探討了求負(fù)二項(xiàng)分布可靠度的Bayes估計(jì)、經(jīng)驗(yàn)Bayes估計(jì)和多層Bayes估計(jì)的方法，但幾乎都是在平方損失的情況下進(jìn)行討論. 而E-Bayes估計(jì)可以看作是對(duì)多層Bayes估計(jì)的修正，自E-Bayes估計(jì)法提出以來(lái)[1]，主要研究的是幾何分布、二項(xiàng)分布和Pascal分布可靠度的估計(jì)[2-4]，以及失效概率和狀態(tài)概率的估計(jì)[5-6].本文作者在文獻(xiàn)[7]中給出了熵?fù)p失函數(shù)下，先驗(yàn)分布為冪分布時(shí)，負(fù)二項(xiàng)分布可靠度的E-Bayes和多層Bayes估計(jì). 本文則進(jìn)一步在熵?fù)p失函數(shù)下，給出了當(dāng)負(fù)二項(xiàng)分布可靠度的先驗(yàn)分布為Beta分布時(shí)，可靠度的Bayes估計(jì)、E-Bayes估計(jì)及多層Bayes估計(jì)，并通過(guò)數(shù)值試驗(yàn)討論先驗(yàn)分布為冪分布時(shí)，負(fù)二項(xiàng)分布可靠度的E-Bayes估計(jì)和多層Bayes估計(jì)的優(yōu)越性.

(2)

其中δ是θ的估計(jì)，且L(θ,δ)關(guān)于δ是嚴(yán)凸的.

給定負(fù)二項(xiàng)分布(1)中可靠度θ的先驗(yàn)分布為Beta分布，其密度為:

(3)

其中：a>0,b>0,0<θ<1.當(dāng)b=1時(shí)，Beta分布即為冪分布，其密度為：π(θ|a)=aθa-1.

1 可靠度的Bayes估計(jì)

證明令δ(x)是θ的任一估計(jì)，在熵?fù)p失函數(shù)(2)下，δ(x)的Bayes風(fēng)險(xiǎn)為:

(4)

對(duì)上式關(guān)于δ求導(dǎo)并令其等于零，可得：δ=[E(θ-1|x)]-1，且當(dāng)δ→1或0時(shí)后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)趨于+，從而δ=[E(θ-1|x)]-1即為使后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)最小的估計(jì)，故對(duì)于任何先驗(yàn)分布在熵?fù)p失函數(shù)(2)下，負(fù)二項(xiàng)分布可靠度θ的唯一Bayes估計(jì)為：δB(x)=[E(θ-1|x)]-1.

給定θ的先驗(yàn)分布為Beta分布(3)，則根據(jù)Bayes定理，θ的后驗(yàn)密度函數(shù)為:

于是，在熵?fù)p失函數(shù)(2)下，先驗(yàn)分布為Beta分布(3)時(shí)，θ的唯一Bayes估計(jì)為:

令b=1，即可得可靠度的先驗(yàn)分布為冪分布時(shí)，負(fù)二項(xiàng)分布(1)的可靠度θ的唯一Bayes估計(jì)為：

2 可靠度的E-Bayes估計(jì)

由模型(1)在高可靠度成敗型試驗(yàn)中獲得的樣本數(shù)據(jù)大部分包含的次品數(shù)極少，一般X=0,1,2，因此可靠度θ較大的可能性大，而較小的可能性小. 根據(jù)構(gòu)造多層先驗(yàn)分布的增函數(shù)法[8]，應(yīng)選取θ的增函數(shù)作為θ的先驗(yàn)分布的密度函數(shù)的核，因此Beta分布(3)中應(yīng)選擇a>1,0

定理2 對(duì)負(fù)二項(xiàng)分布(1)，在熵?fù)p失函數(shù)(2)下：

1)若可靠度θ的先驗(yàn)分布為Beta分布(3)，且取a,b在θ上的先驗(yàn)分布分別為：π(a)=U(1,c)，π(b)=U(0,1)，其中：c為待定參數(shù)，則θ的E-Bayes估計(jì)為:

(x+1)(x+r+c)[ln(x+r+c)-1]+(x+1)(x+r+1)[ln(x+r+1)-1]-

x(x+r+c-1)[ln(x+r+c-1)-1]-x(x+r)[ln(x+r)-1]}；

(x+1)(x+r+c)[ln(x+r+c)-1]+(x+1)(x+r+1)[ln(x+r+1)-1]-

x(x+r+c-1)[ln(x+r+c-1)-1]-x(x+r)[ln(x+r)-1]}；

3 可靠度的多層Bayes估計(jì)

E-Bayes估計(jì)是對(duì)多層Bayes估計(jì)的一種修正，以下給出θ的多層Bayes估計(jì)，以便與θ的E-Bayes估計(jì)進(jìn)行比較.

定理3 對(duì)負(fù)二項(xiàng)分布(1)，在熵?fù)p失函數(shù)(2)下：

1)若可靠度θ的先驗(yàn)分布為Beta分布(3)，且取a,b在θ上的先驗(yàn)分布分別為π(a)=U(1,c)，π(b)=U(0,1)，其中c為待定參數(shù)，則θ的多層Bayes估計(jì)為:

2)若可靠度θ的先驗(yàn)分布為冪分布，且取a在θ上的先驗(yàn)分布分別為π(a)=U(1,c)，其中c為待定參數(shù)，則θ的多層Bayes估計(jì)為:

證明θ的多層先驗(yàn)密度為:

則θ的后驗(yàn)密度為:

從而θ在熵?fù)p失函數(shù)(2)下的多層Bayes估計(jì)為:

4 數(shù)值試驗(yàn)

表和δ-的計(jì)算結(jié)果

5 結(jié)束語(yǔ)

本文給出了熵?fù)p失函數(shù)下，當(dāng)可靠度的先驗(yàn)分布為Beta分布和冪分布時(shí)，負(fù)二項(xiàng)分布可靠度θ的Bayes估計(jì)、E-Bayes估計(jì)及多層Bayes估計(jì).首先，由定理2和定理3中所得結(jié)果可見，E-Bayes估計(jì)公式不涉及積分，計(jì)算更簡(jiǎn)單；其次，數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果表明，先驗(yàn)分布為冪分布時(shí)可靠度的E-Bayes估計(jì)和多層Bayes估計(jì)相差較小，精度都較高，但E-Bayes估計(jì)穩(wěn)健性更高.因此，E-Bayes估計(jì)作為對(duì)多層Bayes估計(jì)的修正方法，更優(yōu)越，更便于在實(shí)際中應(yīng)用.

參考文獻(xiàn):

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