王能建,周麗杰
(哈爾濱工程大學機電學院,黑龍江哈爾濱150001)
飛機在地面上的移動主要依靠飛機牽引車.無桿牽引車作為機場地面保障的一項前沿技術(shù)已經(jīng)被廣泛使用,其通過自身的夾持裝置與飛機前起落架相連,使飛機的部分重量轉(zhuǎn)移為牽引車的附著重量,因此與傳統(tǒng)有桿牽引車相比,顯著提高了飛機牽引的操縱穩(wěn)定性、靈活性[1-2].牽引車一般工作在機場、甲板等狹窄的場地上,為了避免與其他飛機或設(shè)備相撞,要求所牽引的飛機有很好的軌跡跟蹤性能.另外從操縱性能的角度出發(fā),由于飛機的質(zhì)量和體積較大且價格昂貴,要求飛機在地面行駛時有一定的穩(wěn)定性.目前無桿牽引車的操縱主要依靠有經(jīng)驗的駕駛員,但隨著近幾年飛機的種類和數(shù)量不斷增多,牽引車的工作越來越繁忙,這就對飛機牽引的快速性和安全性提出了更高的要求.
在過去十多年中發(fā)展起來的自動轉(zhuǎn)向技術(shù)引起了各國學者的關(guān)注,主要將其應(yīng)用與各種鉸接列車,如高速公路上的汽車列車[3]、農(nóng)業(yè)上用的牽引車[4]以及韓國的雙峰有軌電車[5]、澳大利亞的多節(jié)鉸接列車[5]等.自動轉(zhuǎn)向技術(shù)的主要優(yōu)點是減輕駕駛員疲勞,降低運輸成本,保證鉸接車輛的行駛安全性如:使牽引車及列車精確地跟蹤指定軌跡,并保持很好的操縱穩(wěn)定性.為了實現(xiàn)側(cè)向的軌跡跟蹤,首先需采用GPS、視覺導航、光學側(cè)標-激光雷達導航等技術(shù)測量汽車的側(cè)向跟蹤誤差;再基于所建立的系統(tǒng)模型設(shè)計牽引車及列車的自動轉(zhuǎn)角控制器.其中基于線性模型已經(jīng)設(shè)計出魯棒控制器、線性參數(shù)變化控制器和二次最優(yōu)控制器,基于非線性及不確定模型設(shè)計出了精確線性化控制器、自適應(yīng)控制器和滑膜控制器等[6-7].為了實現(xiàn)穩(wěn)定性的控制,基于極點配置、魯棒反饋和變結(jié)構(gòu)等原理設(shè)計了列車后輪轉(zhuǎn)角控制器.
將自動轉(zhuǎn)向控制技術(shù)應(yīng)用于具有鉸接結(jié)構(gòu)的飛機牽引系統(tǒng),可以很好地滿足牽引車的操縱需求.針對飛機牽引系統(tǒng)的特點:行駛速度較低,牽引車和飛機之間會產(chǎn)生大的鉸接角,且不能被忽略;同種型號的牽引車需要牽引不同結(jié)構(gòu)參數(shù)的飛機.本文采用牛頓-歐拉方法建立了包含牽引車轉(zhuǎn)向子系統(tǒng)在內(nèi)的牽引系統(tǒng)非線性動力學模型.考慮到飛機結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性和牽引系統(tǒng)運行轉(zhuǎn)態(tài)的多變性,采用反演變結(jié)構(gòu)控制方法,設(shè)計出具有魯棒性能的牽引車前、后輪轉(zhuǎn)角自動轉(zhuǎn)向控制器,使得牽引系統(tǒng)具有很好的軌跡跟蹤性能和穩(wěn)定性.
圖1為無桿飛機牽引系統(tǒng)力學模型.其中,y1,ε1為牽引車的側(cè)向位移和橫擺角;Iz1,Iz2為牽引車和飛機的轉(zhuǎn)動慣量;l1,l2為牽引車前后軸到質(zhì)心的距離;l3,l4為飛機前后軸到質(zhì)心的距離;l5為牽引車質(zhì)心到鉸接點的距離.Fy1,F(xiàn)y2,F(xiàn)y3為牽引車前后輪和飛機主起落架輪胎的側(cè)向力;εf為飛機相對于牽引車的橫擺角.
牽引車工作時將飛機的前起落架背負起來,使其離開地面,此時飛機只有主輪與地面接觸,牽引車和飛機之間存在一個鉸接點.
圖1 系統(tǒng)動力學模型Fig.1 System dynamic model
對于低速行駛的飛機牽引系統(tǒng),當轉(zhuǎn)彎半徑小時,必須考慮鉸接角引起的非線性因素[8-9].
根據(jù)牛頓-歐拉定理對牽引車和飛機分別建立橫向和橫擺運動的微分方程:
式中:m1、m2為牽引車和飛機的質(zhì)量;FNy、FMy為鉸接點處牽引車和飛機所受的側(cè)向力.
牽引車和飛機鉸接點處的作用力的關(guān)系為
鉸接點處的速度及加速度的約束方程為
牽引車牽引飛機時行駛速度低,輪胎特性近似為線性:
其中,q=[y1ε1εf]T;δ =[δfδr]T;M(q)是 3 ×3 的矩陣 M(q)=[Mij],(i,j=1,2,3);τ(q)為 3 ×2 矩陣 τ(q)=[τij],(i=1,2,3;j=1,2).
牽引車自動轉(zhuǎn)向的主要目的是使飛機的前起落架能夠很好地跟蹤指定的軌跡.對于無桿牽引車,飛機的前起落架背負在牽引車上,其行駛軌跡與牽引車此時的質(zhì)心位置是相近的,因此保證牽引車質(zhì)心跟蹤指定軌跡即可.為了量化牽引車的側(cè)向跟蹤誤差,建立軌跡參考坐標系[10]如圖2所示.
圖中xr軸與軌跡曲線相切,yr軸經(jīng)過牽引車的質(zhì)心,εd為軌跡的曲率半徑.牽引車連體坐標系與軌跡參考坐標系的轉(zhuǎn)換關(guān)系為
式中:c1、c2為牽引車前后輪胎的側(cè)偏剛度;c3為飛機主起落架輪胎的側(cè)偏剛度;δf、δr為牽引車前、后輪轉(zhuǎn)角.
利用鉸接點處的相互作用力消去非獨立變量,即可將上述三自由度非線性動力學方程整理成矩陣形式:
式中:εr為牽引車相對軌跡坐標系的橫擺角速.
圖2 牽引車坐標系和軌跡坐標系Fig.2 Tractor and trajectory coordinate system
只要路面參考坐標系確定,就可以根據(jù)狀態(tài)變量的轉(zhuǎn)換關(guān)系在軌跡參考坐標系中表達飛機牽引系統(tǒng)模型,方程的矩陣形式為
確定飛機牽引系統(tǒng)的2個控制目標:牽引車相對軌跡的側(cè)偏位移yr和牽引車與飛機之間的相對橫擺角εf,則系統(tǒng)控制輸出為
對方程(12)進行解偶得
式中:fr(qr)、ff(qr)為未建模動態(tài)和時變參數(shù)引起的不確定性,主要由不確定參數(shù) l3、l4、Iz2、m2、Iz1、m1、l1、l2、l5、c3(飛機將自身的部分質(zhì)量轉(zhuǎn)移到牽引車上,導致牽引車的參數(shù)也發(fā)生改變)和不確定行駛參數(shù)u組成.
采用Backstepping變結(jié)構(gòu)控制方法設(shè)計飛機牽引系統(tǒng)的控制器,不確定系統(tǒng)可以不滿足傳統(tǒng)變結(jié)構(gòu)控制要求的匹配條件,控制器對系統(tǒng)的不確定性fr(qr)、ff(qr)是不變的[11].
轉(zhuǎn)向系統(tǒng)作為牽引車的重要組成部分,在牽引車的側(cè)向控制設(shè)計中是不能夠被忽略的.一般轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的阻尼和剛度都遠大于轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量,忽略轉(zhuǎn)動慣量,轉(zhuǎn)向系統(tǒng)可以表達為二階系統(tǒng)[12]:
式中:δ為轉(zhuǎn)向輪實際的轉(zhuǎn)角輸入,Da為阻尼比,ωa為無阻尼自然頻率.
綜合式(11)、(12)得到系統(tǒng)狀態(tài)方程的標準形式:
假設(shè)存在光滑函數(shù) αi(x1,…,xi),i=1,2,使得
取xi(i=1,2)為虛擬控制,其期望值為 xid,則定義控制誤差為
1)對s1求導
定義Lyapunov函數(shù),并對其求導得
2)對s2求導:
其中,x2d是x1的函數(shù),因此x·2d可分為確定和不確定項,記為?x2d和Δx·2d,則得到
根據(jù)假設(shè)(15),能找到光滑函數(shù)β2(x1),使得
得s2導數(shù)為
定義Lyapunov函數(shù):
結(jié)合式(19)、(21)得
針對式(22)選擇變結(jié)構(gòu)控制律為
對非線性系統(tǒng)式(14)選擇控制律(22)可以保證 yr,εf對期望信號 yrd,εfd是有界跟蹤的,跟蹤誤差小于(ε/2k)1/2.
變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)最突出的問題就是其抖振現(xiàn)象.為了消除這種現(xiàn)象引入邊界層法,即用sat(s/Δ)代替 sgn(s),其中
式中:Δ為邊界層厚度
以某型號牽引車和飛機為例,在simulink上建立上述系統(tǒng)的仿真模型如圖3所示.
圖3 Backstepping變結(jié)構(gòu)控制仿真模型Fig.3 Simulation model with backstepping variable structure control
假設(shè)牽引系統(tǒng)行駛的指定軌跡如圖4所示,系統(tǒng)初始軌跡偏差為 0.1 m.牽引車牽引飛機以20 km/h向前行駛.
實驗1 采用Backstepping變結(jié)構(gòu)控制方法,只對牽引車前輪施加控制使偏移距離趨向0.
實驗2 當牽引系統(tǒng)相對橫擺角Ra的絕對值小于0.04 rad時,只對牽引車前輪施加轉(zhuǎn)向控制,當相對橫擺角的絕對值大于0.04 rad時,添加后輪轉(zhuǎn)向控制,使其值小于等于0.04 rad.對上述兩種情況進行對比,仿真結(jié)果如圖5、6所示.由圖5可以看出兩種控制方式都能使牽引系統(tǒng)很好的跟蹤指定的軌跡,牽引車質(zhì)心的側(cè)偏位移Ld近似為0.在圖6中,出現(xiàn)相對橫擺角為-0.06 rad的情況時,實驗2中的后輪轉(zhuǎn)向使其值迅速恢復到-0.04,使牽引系統(tǒng)的運動變得更加平穩(wěn).
圖4 仿真軌跡Fig.4 Simulation scenario
圖5 偏移距離Fig.5 Lateral displace ment
圖6 相對橫擺角Fig.6 Relative angle
實驗3 仿真的初始條件與上相同,采用實驗2的轉(zhuǎn)向方式,分別選擇3種型號的飛機m1、m2、m3,(其質(zhì)量分別為:m1=54 975 kg,m2=78 536 kg,m3=94 243 kg)輪胎側(cè)偏剛度和結(jié)構(gòu)參數(shù)也隨飛機型號的不同而不同進行仿真實驗,仿真結(jié)果如圖7、8所示.由圖7得到當牽引不同型號的飛機時,變結(jié)構(gòu)控制器都可以使系統(tǒng)很好的跟隨期望的軌跡,從而保證了控制的魯棒性.圖8表明,牽引質(zhì)量為m1的飛機時橫擺角小于0.04 rad,后輪沒有參與轉(zhuǎn)向,牽引質(zhì)量為m2、m3的飛機時,一旦相對橫擺角的絕對值大于0.04 rad時,后輪轉(zhuǎn)角就起到了增強穩(wěn)定性的作用.
圖7 牽引不同飛機時的偏移距離Fig.7 Lateral displace by towing variable type aircrafts
圖8 牽引不同型號飛機時的相對橫擺角Fig.8 Relative angle by towing various types of aircrafts
針對無桿飛機牽引系統(tǒng)行駛的特殊性,本文考慮鉸接角的影響,建立了無桿飛機牽引系統(tǒng)非線性動力學模型.基于輸入輸出解偶方法,采用Backstepping變結(jié)構(gòu)方法設(shè)計了系統(tǒng)轉(zhuǎn)向控制器.仿真結(jié)果表明,與只對前輪施加轉(zhuǎn)向控制相比,對牽引車后輪施加控制不僅可以使系統(tǒng)很好地追蹤指定軌跡,且可以實現(xiàn)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的控制,避免了折疊現(xiàn)象的產(chǎn)生.當牽引不同型號的飛機時,系統(tǒng)仍能實現(xiàn)控制目標,具有很好的魯棒性.
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