環(huán)Z2＋uZ2＋u2 Z2上的斜循環(huán)碼

李 錦， 朱士信

（合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009）

多項式環(huán)及其理想一般被用來構(gòu)造和理解循環(huán)碼［1－3］，在文獻［4－5］中第1次提出了利用非交換的斜多項式環(huán)F［X，θ］來構(gòu)造一種更廣義的循環(huán)碼。這些碼與循環(huán)碼和準(zhǔn)循環(huán)碼有相同的結(jié)構(gòu)，分別稱為斜循環(huán)碼和斜準(zhǔn)循環(huán)碼。文獻［6］研究了Galois環(huán)上的斜循環(huán)碼。本文將研究環(huán)R＝Z2＋uZ2＋u2Z2＝｛0，1，u，u2，1＋u，1＋u2，u＋u2，1＋u＋u2｝的斜循環(huán)碼，其中u3＝1。對任意2個元素a＝a0＋ua1＋u2a2，b＝b0＋ub1＋u2b2∈R的加法和乘法規(guī)則如下：

其中，c0＝a0＋b0（mod 2）；c1＝a1＋b1（mod 2）；c2＝a2＋b2（mod 2）。

其中，c0＝a0b0＋a1b2＋a2b1（mod 2）；c1＝a0b1＋a1b0＋a2b2（mod 2）；c2＝a0b2＋a2b0＋a1b1（modp）。

定義環(huán)R上的自同構(gòu)θ如下：

其中，a＝a0＋ua1＋u2a2∈R，ai∈Z2，i＝0，1，2。

易知任意a∈R，θ2（a）＝a，即θ的階為2。

1 環(huán)R上斜多項式環(huán)和斜循環(huán)碼

1.1 環(huán)R上斜多項式環(huán)

本文對集合R［X，θ］＝｛a0＋a1X＋…＋anXn｜?ai∈R，i＝0，1，…，n｝定義加法和乘法來構(gòu)造一個非交換環(huán)，集合R［X，θ］中多項式的系數(shù)都在變量X的左邊；定義加法為普通多項式的加法，乘法滿足如下規(guī)則：

通過結(jié)合律和分配律可以得到環(huán)R［X，θ］的所有元素。環(huán)R［X，θ］是一個非交換環(huán)，不滿足左右歐幾里得，但是可以定義某些元素的左或右整除［7］。

下面討論R［X，θ］的左或右主理想。

1.2 斜循環(huán)碼

定義1Rn的子集C是長為n的斜循環(huán)碼，如果C滿足如下2個條件：

（1）C是R上線性碼。

（2）（c0，c1，…，cn－1）∈C?（θ（cn－1），θ（c0），…，θ（cn－2））∈C。

引理1 如果n是偶數(shù)，則（Xn－1）是R［X，θ］的雙邊理想。

證明 如果Xn－1是一個中心元素，則（Xn－1）是R［X，θ］的雙邊理想。

證畢。

下面討論n是偶數(shù)的情況。

對于非交換環(huán)Rn＝R［X，θ］／（Xn－1）將其等同地看成P∈R［X，θ］在標(biāo)準(zhǔn)映射下的像：

即P在R［X，θ］中右整除Xn－1的余項Pr，記ψ（X）仍為X，這種表示給出了Rn中元素的標(biāo)準(zhǔn)形式，一般將長為n的碼字看做是Rn中元素的系數(shù)元組。

定理1C是R上長為n的斜循環(huán)碼當(dāng)且僅當(dāng)C是Rn＝R［X，θ］／（Xn－1）的左理想。

證明 假設(shè)C是R上長為n的斜循環(huán)碼，則C是線性碼且滿足：

則由線性性可知對任意P（X）∈Rn，P（X）c∈C，即C是Rn＝R［X，θ］／（Xn－1）的左理想。

反之，設(shè)D是Rn＝R［X，θ］／（Xn－1）的左理想，則D是R上長為n的線性碼。設(shè)d＝（d0，d1，…，dn－1）∈D，則Xd（X）＝X（d0＋d1X＋…＋dn－1Xn－1）∈D，可得：

即D是斜循環(huán)碼。

推論1 首一多項式g（X）是Xn－1的右因子，則C＝（g（X））是R上長為n的斜循環(huán)碼。

設(shè)C是Rn＝R［X，θ］／（Xn－1）的非零左理想，記A為C中次數(shù)最小的非零斜多項式集合，顯然A是非空的。下面考慮2種情況：A中存在首一斜多項式；C中沒有首一多項式。

定理2 設(shè)C和A如上所述，那么：

（1）如果A中存在首一多項式，則C＝（g（X）），其中g(shù)（X）是A中唯一首一的多項式，g（X）是Xn－1的右因子。

（2）如果C中沒有首一多項式，則C＝（g（X）），其中其中g(shù)i∈｛1＋u，1＋u2，u＋u2｝，0≤i≤r。

證明 （1）假設(shè)f（X），g（X）∈A都是首一的，設(shè) deg（f（X））＝deg（g（X））＝r，由 于deg（f（X））－deg（g（X））＜r，可知假設(shè)矛盾，所以A中首一的多項式是唯一的。

對任意c（X）∈C，設(shè)

其中，deg（r（X））＜deg（g（X））。

而r（X）＝c（X）－q（X）g（X）∈C當(dāng)且僅當(dāng)r（X）＝0，所以c（X）＝q（X）g（X），即C＝（g（X））。

設(shè)Xn－1＝p（X）g（X）＋s（X），其中deg（s（X））＜deg（g（X））。類似可知s（X）＝0，則Xn－1＝p（X）g（X），即g（X）是Xn－1的右因子。

（2）假設(shè)C中不存在首一多項式，由環(huán)R的加法乘法規(guī)則可知任意多項式C有如下2種形式：

或者

其中，gi∈｛1＋u，1＋u2，u＋u2｝，0≤i≤r。

若?g（X）＝ （1＋u＋u2）g1（X）∈C，g1（X）∈Z2［X］。設(shè)h（X）是C中不能被g（X）右整除次數(shù)最低的斜多項式，deg（h（X））≥deg（g（X））。

設(shè)c（X）＝h（X）－Xdeg（h（X））－deg（g（X））g（X），由R乘法規(guī)則可知：

則由deg（h（X））＞deg（c（X））可知假設(shè)矛盾，所以C中沒有不能被g（X）右整除的斜多項式，即C＝（g（X））。

設(shè)h（X）是C中不能被g（X）右整除次數(shù)最低的斜多項式，deg（h（X））≥deg（g（X））。易知?a∈R，b∈I，ab∈｛0｝∪I，不妨設(shè)h（X）和g（X）的首項系數(shù)相同，設(shè)c（X）＝h（X）－Xdeg（h（X））－deg（g（X））g（X），則 由 deg（h（X））＞deg（c（X））可知假設(shè)矛盾，所以C中沒有不能被g（X）右整除的斜多項式，即C＝（g（X））。

定義2R上線性碼C如果滿足（a0，a1，…，an－1）∈C?（an－1，an－2，…，a0）∈C，則稱作可逆碼［8］。記的可逆多項式，若g（X）＝gr（X），則稱g（X）是自互反的。記

定理3C＝（g（X））是R上長為n的斜循環(huán)碼，若g（X）的首項系數(shù)和常數(shù)項都為1，則C1＝（gR（X））和C2＝（gr（X））也是R上長為n的斜循環(huán)碼。

證明 如果deg（g（X））是奇數(shù)，則存在p（X）∈R［X，θ］使得Xn－1＝p（X）g（X）。設(shè)

易知Xn－1＝pr（X）gR（X）＝pR（X）gr（X），即gR（X）和gr（X）是Xn－1的右因子。如果deg（g（X））是偶數(shù)，計算可得：

Xn－1＝pr（X）gr（X）＝pR（X）gR（X），即gR（X）和gr（X）是Xn－1的右因子。

綜上所述，由推論1可得結(jié)論。

定理4 設(shè)C＝（g（X））是R上長為n的斜循環(huán)碼，g（X）的首項系數(shù)和常數(shù)項都為1。如果deg（g（X））是偶數(shù)，C是可逆碼當(dāng)且僅當(dāng)g（X）＝gR（X）；如果deg（g（x））是奇數(shù)，C是可逆碼當(dāng)且僅當(dāng)g（X）是自互反的。

其中，bi∈R。記fr（X）是f（X）的可逆碼，如果deg（g（X））是奇數(shù)，由于｜〈θ〉｜＝2，可得fr（X）＝Br（X）gr（X）。對于Br（X）共有23（n－r）種可能，可以得到由gr（X）生成的斜循環(huán)碼，而該碼與原碼C相同當(dāng)且僅當(dāng)g（X）＝gr（X）。類似地，如果deg（g（x））是偶數(shù)，可得fr（X）＝Br（X）gR（X），則C是可逆碼當(dāng)且僅當(dāng)g（X）＝gR（X）。

2 斜循環(huán)碼的對偶碼

設(shè)x＝（x1，x2，…，xn），y＝（y1，y2，…，yn）∈Rn，記Rn中的Euclidean內(nèi)積如下：

碼C關(guān)于Euclidean內(nèi)積對偶碼C⊥如下：

如果C＝C⊥，稱C是Euclidean自對偶的，碼C關(guān)于Hermitian內(nèi)積對偶碼C＊如下：

如果C＝C＊，稱C是Hermitian自對偶的。

定理5 斜循環(huán)碼關(guān)于Euclidean和Hermitian內(nèi)積的對偶碼仍是斜循環(huán)碼。

證明 設(shè)C是R上長為n的斜循環(huán)碼，設(shè)c＝（c0，c1，…，cn－1）∈C，b＝（b0，b1，…，bn－1）∈C⊥，d＝（d0，d1，…，dn－1）∈C＊。因為C是斜循環(huán)碼，則有：

則〈ci，b〉＝0，1≤i≤n。如果i＝n—1，則i為奇數(shù)且θi（a）＝θn－1（a）＝θ（a），?a∈R。可得：

則有：

由此可知（θ（bn－1），θ（b0），…，θ（bn－2））∈C⊥，所以C⊥是斜循環(huán)碼。

類似可證C＊也是斜循環(huán)碼。

［1］MacWilliams F J，Sloan N J A.The theory of error－correcting codes ［M ］. Amsterdam： North Hoalland，1977：189－196.

［2］Wan Zhexian.Quaternary codes［M］.Singapore：World Scientific，1997：93－104.

［3］黃成寶，朱士信.環(huán)F2＋uF2＋u2F2上線性碼及其Gray象的生成矩陣［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2009，32（9）：1436－1438.

［4］Boucher D，Geiselmann W，Ulmer F.Skew cyclic code［J］.Applied Algebra in Engineering Communication and Computing，2007，18（4）：379－389，1441.

［5］Boucher D，Ulmer F.Coding with skew polynomial rings［J ］. Journal of Symbolic Computation， 2009，44：1644－1656.

［6］Boucher D，SoléP，Ulmer F.Skew constacyclic codes over Galois rings［J］.Advances in Mathematics of Communications，2008，2（3）：273－292.

［7］Ore O.Theory of non－commutative polynomials ［J］.The Annals of Mathematics，1933，34：480－508.

［8］Massey J L.Reversible codes［J］.Information and Control，1964，7：369－380.

［9］Boucher D，Ulmer F.Codes as modules over skew polynomial rings［J］.Lecture Notes in Computer Science，2009，5921：38－55.

［10］McDonald B R.Finite rings with identity［M］.New York：Marcel Dekker，1974：22－28.