GM（1，1）模型改進算法及其應用研究

李 宏 坤， 趙 長 生， 郭 騁， 趙 利 華

（1.大連理工大學 機械工程學院，遼寧 大連 116024；2.大連理工大學 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室，遼寧 大連 116024）

0 引 言

所謂預測就是將歷史數(shù)據(jù)進行數(shù)學建模，借助數(shù)學模型進行外推，將模型的外推值作為真實值的參考的過程.而機械設備壽命預測是指根據(jù)歷史監(jiān)測結(jié)果進行分析，估計設備故障可能發(fā)生的時間，以便主動掌握設備運行狀況.設備壽命預測對于減少設備維修成本和提高生產(chǎn)效益具有重要實際意義.

目前，機械設備壽命預測方法主要包括損傷積累法和特征參數(shù)法.影響機械設備壽命的因素不但較多而且變化復雜，且損傷積累預測方法的分散性較大[1]，所以損傷積累預測方法在機械設備壽命預測中難以實現(xiàn).特征參數(shù)預測方法是壽命預測的研究方向之一，其關鍵是特征提取和參數(shù)的建模方法.特征參數(shù)預測方法較多，如灰色理論預測、模糊預測、神經(jīng)網(wǎng)絡預測、混沌預測、回歸預測、時間序列預測等.可以說，沒有一種方法能夠預測所有序列，每一種預測方法都有各自的適用范圍和局限性[2].

GM（1，1）模型是灰色預測理論中最具有代表性的基礎內(nèi)容，具有貧信息、高精度、簡機理等建模特點，已在機械設備壽命預測[3、4]等各個方面得到廣泛應用并取得了不錯的效果[5、6].但是傳統(tǒng)GM（1，1）預測模型也并非完美，其最大不足就是預測偏差大，適用范圍窄.為了提高此方法在機械設備預知維修中的實用性，本文對GM（1，1）的預測模型進行改進算法研究.

1 GM（1，1）模型建模機理

設滿足建模條件的原始序列為X（0）＝｛x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）｝，則 1－AGO（一 次累加生成）序列為

求解方程（2）并將其解在離散情況下描述：

觀察式（3）可知，只有解出C、a和u方可得到序列的預測值.

將式（2）在區(qū)間 [k，k＋1]積分得

取背景值

則式（5）可以表示為

其中

通過分析發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)GM（1，1）模型推導過程存在三點不足.一是未對原始序列做預處理.分析式（9），GM（1，1）模型序列具有指數(shù)發(fā)展規(guī)律，故原始序列的發(fā)展趨勢對GM（1，1）模型的擬合及預測精度具有一定的影響.二是背景值的求解方法有待進一步完善.事實上，原始序列間隔越小、1－AGO變化越平緩，誤差就會越小.當原始序列速度增長較快時，則會產(chǎn)生較大的滯后誤差.三是初始值選取不合理也是傳統(tǒng)GM（1，1）建模過程產(chǎn)生誤差的根源之一[7]，并且沒有考慮參數(shù)x（1）（1）對參數(shù)a、u的影響.通過分析式（6）發(fā)現(xiàn)，如何確定x（1）（1）的值也會影響后續(xù)的預測精度.

2 一種新的GM（1，1）模型的提出

對于不滿足要求的原始序列，采取加權預處理.經(jīng)研究，改善原始序列光滑度和構(gòu)造更為合理的背景值均可減少滯后誤差，對于背景值構(gòu)造過程中的誤差改進，許多文獻已給出卓有成效的改進方法[8～10]，考慮到根式變換方法簡單易行，并且其逆變換具有還原誤差的獨立性，本文選擇根式變換方法減少滯后誤差帶來的影響.對于初始值＾x（1）（1）的選擇，本文在文獻[7、11]的基礎上，充分考慮x（1）（1）對參數(shù)C、a、u的影響，給出一種基于最小平均相對誤差的GM（1，1）改進算法，新的求解方法如下.

將式（10）代入式（9）得

假定

求出令S達到極小值的參數(shù)m，進行式（4）～（9）步驟.綜上，改進GM（1，1）預測模型步驟如下：

（1）原始序列預處理；

（2）1－AGO獲得生成列；

（3）對生成列做根式變換；

（5）還原并檢驗.

3 實例分析

3.1 指數(shù)型增長序列

取指數(shù)型增長序列為X（0）＝ ｛1.34986，1.82212，2.45960，3.32012，4.48169｝，由于數(shù)據(jù)為指數(shù)型增長數(shù)據(jù)，直接進行步驟（2）～（5）.改進算法與文獻[7、8]方法對比結(jié)果見表1.

分析表1，改進算法（Ⅱ）的結(jié)果是最好的.可以驗證，對于指數(shù)型增長數(shù)據(jù)，隨著根式節(jié)次的增大，改進算法的誤差將會進一步減小.

3.2 一般型增長序列

為便于說明，原始序列取文獻[12]中1972～1982年全國電視機產(chǎn)量數(shù)據(jù).經(jīng)分析，原始序列為一般增長規(guī)律的序列，且最后一個數(shù)據(jù)不符合整體增長趨勢.但對于預測來說，新信息是最有價值的，本文將1979～1981年的產(chǎn)量數(shù)據(jù)分別乘以權重2/3做加權預處理.傳統(tǒng)GM（1，1）建模方法的平均誤差高達263.17%，改進算法、文獻[8]和文獻[12]方法結(jié)果見表2.

表1 指數(shù)型增長序列Tab.1 Exponential increasing series

表2 一般型增長序列Tab.2 General increasing series

與普通序列相比，改進算法（Ⅱ）對于指數(shù)規(guī)律較強的序列尤為有效，對于非指數(shù)規(guī)律序列，可以在實際應用中擇優(yōu)建模.不管使用哪種方法，其精度都要遠高于傳統(tǒng)模型.同時，改進算法的最后幾個數(shù)據(jù)和實際的數(shù)據(jù)擬合程度較高，對后續(xù)的預測具有較高的指導意義，因為對于預測來說，最有價值的信息就是新數(shù)據(jù).改進算法（Ⅰ）的預測效果見圖1.

3.3 機械設備壽命預測

數(shù)據(jù)來自某工廠磨床設備軸承座1995－01－05至1995－07－05連續(xù)7個月的振動加速度測試，儀器選用大連理工大學振動工程研究所PDM2000數(shù)據(jù)采集儀，采樣頻率為1280 Hz，采樣時間為4 s，1～6月份的測量結(jié)果見圖2.

提取加速度的均方根值作為特征參數(shù)，原序列X（0）＝ ｛10.02，10.76，10.87，13.28，14.89，17.55，19.80｝.根據(jù)文獻[5]，均方根值符合灰色預測數(shù)據(jù)內(nèi)涵特點，可以將其作為灰色預測序列.將前6個月數(shù)據(jù)建模，7月份數(shù)據(jù)作為對比.基于最小二乘法的二次、三次函數(shù)擬合的平均相對誤差分別為1.944%和2.009%，改進算法（Ⅰ）（2月份數(shù)據(jù)除以權重系數(shù)C＝1.06，m＝3.391）的相對平均誤差為1.717%，顯然改進算法的預測效果是較理想的.7月份的預測值為20.23 mm/s2，預測相對誤差為2.184%，經(jīng)灰色檢驗，關聯(lián)度符合要求，預測精度級別為很好.預測效果見圖3.若設備的報警值為19 mm/s2，則根據(jù)預測規(guī)律計算該設備報警的時間為6月21日.

圖1 1972～1982年全國電視機產(chǎn)量改進算法（Ⅰ）預測Fig.1 Prediction of improved algorithm （Ⅰ）for nationwide TV quantity in 1972－1982

圖2 1～6月份加速度幅值Fig.2 Amplitude of acceleration from January to June

圖3 機械設備壽命預測Fig.3 Mechanical equipment life prediction

4 結(jié) 語

通過分析傳統(tǒng)GM（1，1）模型推導過程，指出原始序列規(guī)律、1－AGO序列光滑度及其初始值是影響傳統(tǒng)GM（1，1）模型預測精度的主要因素.本文在已有改善序列光滑度方法的基礎上，指出了對原始數(shù)據(jù)做加權預處理的必要性；在確定最佳初始值時，綜合考慮初值對預測參數(shù)C、a、u的影響，給出了一種基于加權和最小平均相對誤差的改進算法.該改進算法不但可以較大幅度地提高擬合及預測精度，而且擴展了傳統(tǒng)GM（1，1）模型的適用范圍.為驗證改進算法的有效性，將改進算法用于機械設備的預知維修中，取得了不錯的效果，促進了設備故障預知維修的發(fā)展.新信息對于預測是最有價值的，當獲得新的測量數(shù)據(jù)時，利用GM（1，1）新陳代謝模型可以進一步提高預測精度.改進算法對于指數(shù)規(guī)律的序列很有效，對于不滿足要求的原始序列數(shù)據(jù)需嘗試不同權重，如何給不滿足要求的原始序列數(shù)據(jù)分配最佳權重有待進一步研究.

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