Lévy過程驅(qū)動金融市場中最優(yōu)資產(chǎn)組合復制策略

王 巖， 馮 敬 海， 馮 恩 民

（大連理工大學 數(shù)學科學學院，遼寧 大連 116024）

0 引 言

計算歐式期權(quán)的對沖策略，即找到一個資產(chǎn)組合，使資產(chǎn)組合復制的財富過程能夠模擬期權(quán)的價值.因此找到滿足一定條件的最優(yōu)資產(chǎn)組合是金融研究中的一類重要問題.文獻[1]論述了最優(yōu)資產(chǎn)組合可以通過期權(quán)價格的鞅表示定理——Clark－Haussmann－Ocone（CHO）定理得到.

近年來，隨著白噪聲分析理論的發(fā)展，它在金融中的應用也受到了廣泛的關(guān)注.白噪聲分析是由Hida[2]首創(chuàng)的無窮維隨機分析，是一種無窮維的Schwartz型分布理論.Aase等[3]將CHO定理分別推廣到Gauss白噪聲分析和Poisson白噪聲分析框架下，用于研究布朗運動和Poisson過程驅(qū)動的金融市場，用Malliavin導數(shù)表示歐式期權(quán)的最優(yōu)復制策略.布朗運動驅(qū)動的金融市場和Poisson過程驅(qū)動的金融市場是兩個經(jīng)典的分別存在著連續(xù)型和跳躍型隨機因素的市場.

文獻[3]的思想和結(jié)果隨后被推廣到更一般的隨機過程驅(qū)動的金融市場，如文獻[4、5].隨著在理論和應用方面的蓬勃發(fā)展，Lévy過程已經(jīng)成為概率論的最熱門分支之一.用Lévy過程建立金融市場模型，尤其在描述股票的價格方面，更為貼切[6～9].Lévy過程可以分解為時間變量、布朗運動和純跳Lévy過程的線性組合[10]，因此布朗運動和Poisson過程都是Lévy過程的特例.L kka等[11]首次構(gòu)建純跳 Lévy白噪聲分析框架，并應用于隨機微分方程的求解.文獻[12]在文獻[11]的框架下，求解純跳Lévy白噪聲驅(qū)動的隨機薛定諤方程.L kka[13]利用白噪聲分析理論推導了純跳Lévy過程的CHO定理，用于研究Lévy過程驅(qū)動的金融市場的對沖問題.隨后，Di Nunno等[14]進一步構(gòu)建了純跳Lévy過程的白噪聲分析框架，引入Malliavin導數(shù)，將CHO定理推廣到純跳Lévy過程的白噪聲分析框架下，用于求解純跳Lévy過程驅(qū)動的金融市場中歐式期權(quán)的最優(yōu)復制策略.

本文研究由布朗運動和純跳Lévy過程復合的Lévy過程驅(qū)動的金融市場.此市場既有連續(xù)波動的性質(zhì)，又復合了如金融危機等重大金融事件所造成的不規(guī)則跳躍式波動，更切近現(xiàn)實中一般的市場，是文獻[3、14]中模型的一般化和復雜化.Lévy白噪聲可視為Lévy過程的廣義時間導數(shù)，因此本文研究的Lévy白噪聲是Gauss白噪聲和純跳Lévy白噪聲的復合.文獻[15]構(gòu)建了相應的Lévy白噪聲分析框架，本文將CHO定理推廣到Lévy白噪聲分析框架下，用Malliavin導數(shù)表示市場中的方差最小資產(chǎn)組合，并研究Lévy過程驅(qū)動的金融市場的固有風險.

1 Lévy白噪聲分析框架下的Clark－Haussmann－Ocone定理

令（Ω，F(xiàn)，P）為完備的概率空間，｛Ft｝t≥0為其上的濾子.Lévy過程η（t）＝η（t，ω）：[0，∞）×Ω→R為一個平穩(wěn)獨立增量過程，η（0）＝0，且滿足E[η2（t）]＜∞，對t≥0都成立.令Δη（t）表示η在t時刻的跳躍，令假 設則變換后的也為一個 Lévy過程[16].

可選取一列實數(shù)ai，j，使得為強正交鞅[16].根據(jù)Lévy－It分解定理[10]，Lévy過程η（t）可以分解為

其中a∈R，σ∈R，B（t）為布朗運動，（dt，dz）＝N（dt，dz）－ν（dz）dt為補償 Poisson隨機測度，N（dt，dz）為η（t）的Poisson隨機測度，ν（dz）為η（t）的Lévy測度，B（t）與dt，dz）獨立.

此市場既有連續(xù)型的隨機因素，又復合了如金融危機等重大金融事件所造成的不規(guī)則跳躍式波動.

Lévy白噪聲可視為Lévy過程的廣義時間導數(shù)，本文研究的Lévy白噪聲是Gauss白噪聲和純跳Lévy白噪聲的復合.文獻[15]構(gòu)建了Lévy白噪聲分析框架.

令S（Rd）為Rd上的C∞全體速降函數(shù)所組成的Schwartz空間，S′（Rd）為S（Rd）的對偶空間，μG是定義在S′（Rd）空間上的Gauss白噪聲測度.令（X）為S（Rd＋1）的商空間，X＝Rd×R0，（X）為（X）的對偶空間，μp是定義在（X）上的純跳Lévy白噪聲測度.因為本文研究的Lévy白噪聲的噪聲源是二維的——Gauss白噪聲和純跳Lévy白噪聲，故令空間Ω＝S′（Rd）×S′（X），θ＝μG×μp.

定義2 令B（Ω）為Borelσ代數(shù)，定義（Ω，B（Ω），θ）為Lévy白噪聲空間，θ＝μG×μp為Lévy白噪聲測度.

引理1[15]令α＝ （α1，α2，…）為多維數(shù)組，有限個αi非0，且表 示 多 維 數(shù) 組α＝ （α1，α2，…） 的 集 合. 令｛Hα（ω）｝α∈J和｛Kβ（ω）｝β∈J分別為平方可積的白噪聲泛函空間L2（μG）和L2（μp）中的混沌分解基.則對平方可積的Lévy白噪聲泛函f∈L2（θ），存在著空間L2（θ）中的一組混沌分解基｛Mγ｝γ∈T，使 得 其 中Mγ（ω1，ω2）＝Hα（ω1）Kβ（ω2），T＝J×J，α，β∈J，γ＝ （αβ）∈T，ω1∈S′（Rd），ω2∈（X），Cγ＝（aα，bβ），且有

為了定義f∈L2（θ）在t點對于Gauss型隨機元素ω1∈S′（Rd）和純跳 Lévy型隨機元素ω2∈（X）的Malliavin導數(shù)，首先給出分布空間的定義，Malliavin導數(shù)定義在此隨機分布空間上.

定義3 令q∈Z，對平方可積的Gauss白噪聲泛函定義范數(shù)，定義隨機分布空間為并在上配備歸納極限拓撲.另一方面，令q∈Z，對平方可積的純跳Lévy白噪聲泛函， 定 義 范 數(shù)令

定義4 對Lévy白噪聲泛函f（ω）＝f（ω1，

根據(jù)定義3，存在著包含關(guān)系L2（θ）

定義在t點關(guān)于ω2的Malliavin導數(shù)為

這里ξi（t）為 Hermite函數(shù)0 … 0），l（i，m）＝m＋ （i＋m－2）（i＋m－1）/2.

下面給出L2（θ）上的CHO定理，此定理的證明是文獻[3]中定理3.11和文獻[14]中定理4.12的平行推廣，在此不再重復.

定理1 （L2（θ）上的CHO定理）令λ表示R上的Lebesgue測度，f∈L2（θ）為FT可測的，則有L2（λθ），并且

這里E為廣義期望表示F在t點關(guān)于ω1的Malliavin導數(shù)表示F在t點關(guān)于ω2的Malliavin導數(shù)，是Lévy過程η（t）的正交冪跳過程，Y（1）（t）＝η（t），且當m≠n時，Y（m）（t）和Y（n）（t）是正交的.

2 Lévy過程驅(qū)動的金融市場模型

本文研究由一種無風險資產(chǎn)S0（t）和K（K＜ ∞）種風險資產(chǎn)S1（t），…，SK（t）組成的金融市場，交割日期為T.市場是由Lévy過程驅(qū)動的，即風險資產(chǎn)由Lévy過程來刻畫.為了簡化計算，可以將標的資產(chǎn)的價值表示為

本文討論如何選擇資產(chǎn)組合復制歐式期權(quán)F∈L2（θ）的價值，θ為Lévy白噪聲測度.在金融模型中有一個信息濾子流｛Ft｝，刻畫在每個時間點投資者所能獲取的信息總量.通常假設這個信息濾子流與風險資產(chǎn)價格過程生成的信息相一致，即假設資產(chǎn)組合過程是信息濾子流｛Ft｝適應的，稱｛Ft｝t∈[0，T]所承載的信息為完全信息.對于投資者來說，通常在決策時所獲取的信息是不完全的，即存在著一族子σ－代數(shù)｛Ht｝t∈[0，T]表示在t時刻可以獲取的信息集，對于t∈[0，T]，有HtFt.稱｛Ht｝t∈[0，T]所承載的信息為部分信息.

例1φ（t）∈Ht＝F（t－δ）＋，δ＞0為常數(shù)，表示信息流存在著δ時間的延遲，即投資者要在tδ這一時刻，參照F（t－δ）＋所包含的信息，決定t時刻的隨機過程φ（t）的取值.

定義5 令φ（t） ＝ （φ0（t），φ1（t），…，φK（t）），0≤t≤T，表示投資在Sj（t），j＝0，1，…，K上的資產(chǎn)份數(shù).如果φ（t）是Ft適應的（或Ht適應的），并且則稱φ（t）是Ft可行策略（或Ht可行策略），F(xiàn)t可行策略（或Ht可行策略）的集合記為AF（或AH）；如果存在著Ft可行策略φ（t）∈AF（或Ht可行策略φ（t）∈AH），使得

稱歐式期權(quán)F為F可復制的（或H可復制的）；如果市場中的每個歐式期權(quán)F∈L2（θ）都是F可復制的（或H可復制的），則稱此市場為F完全市場（或H完全市場）.

Lévy過程驅(qū)動的市場一般來說不是F完全市場（或H完全市場）.一方面，Lévy過程跳躍的高度是難以獲知的；另一方面，資產(chǎn)組合的選擇限制在S1（t），…，Sk（t）上，k≤K.當歐式期權(quán)不能用資產(chǎn)組合F完全復制（或H完全復制）時，投資者希望找到“最保險”的復制策略，即文獻[14]提出的方差最小復制策略.

定義6 對于平方可積的歐式期權(quán)F∈L2（θ），若存在著φ（t）∈AH（或φ（t）∈AF）使

則稱φ（t）為F的H（或F）方差最小復制策略.

3 方差最小復制策略及市場固有風險

本章用Malliavin導數(shù)表示歐式期權(quán)F的方差最小復制策略，主要理論依據(jù)是L2（θ）上的CHO定理.

定理2 在Lévy過程所驅(qū)動的市場式（5）、（6）中，歐式期權(quán)F∈L2（θ）的F方差最小復制策略ψ（t）＝ （ψ0（t），ψ1（t），…，ψk（t））表示為

證明 給定平方可積Lévy白噪聲泛函F∈L2（θ），根據(jù)L2（θ）上的CHO定理，F(xiàn)具有如下分解：

其中Bj（t）為布朗運動是Lévy過程ηj（t）的正交冪跳過程.

令ψ（t）為F的F方差最小復制策略.因為所以由ψ（t）復制的價值為

由于L2（FT，π）是 Hilbert空間，根據(jù)方差最小復制策略的定義6，即找到φ＊（t），使得

對于任意的具有下列形式的Ξ∈L2（FT，θ）都成立，這里

其中εj∈AF.將式（9）、（10）和（12）代入式（11），可得

根據(jù)Y（m）（t）的正交性[16]，上式寫為

由εj∈AF的任意性，根據(jù)式（14），可得式（8），定理得證.

由定理2和條件數(shù)學期望的性質(zhì)，可直接得到部分信息的H方差最小復制策略.

推論1 在Lévy過程所驅(qū)動的市場式（5）、（6）中，歐式期權(quán)F∈L2（θ）的H方差最小復制策略為

在Lévy過程驅(qū)動的金融市場中，當投資者對F∈L2（θ）選擇復制策略時，由于跳躍過程和資產(chǎn)選擇的限制不能實現(xiàn)對歐式期權(quán)F完全復制.這是市場本身所存在的不可規(guī)避的風險，稱之為市場固有風險.市場固有風險不包括信息缺失所帶來的風險.

定理3 在Lévy過程驅(qū)動的金融市場式（5）、（6）中，系統(tǒng)的固有風險為

證明 給定平方可積Lévy白噪聲泛函F∈L2（θ），根據(jù)L2（θ）上的CHO定理，F(xiàn)具有分解

令表示F方差最小復制策略φ（t）＝ （φ0（t），φ1（t），…，φk（t）），0≤t≤T，k≤K所復制的價值，則

將F和代入固有風險Λ＝F－的定義，可得到式（15），證畢.

推論2 如果金融市場由補償Poisson過程（t）驅(qū)動，即（t）＝（t），且k＝K，則有Λ＝0.

證明 當（t）＝（t）時，對給定平方可積Lévy白噪聲泛函F∈L2（μp），根據(jù)L2（μp）上的CHO 定 理，F(xiàn)具 有 分 解F（ω） ＝E[F]＋令 表示F方差最小復制 策 略φ（t）＝ （φ0（t），φ1（t），…，φk（t）），0 ≤t≤T，k≤K所復制的價值，則

將F和代入固有風險Λ＝F－的定義，可得Λ＝0，那么Lévy過程驅(qū)動的金融市場是完全市場.

由此，當所有的K個風險資產(chǎn)都用來組成復制策略時，Lévy過程的特例（t）＝（t）所驅(qū)動的市場是完全的.□

4 結(jié) 語

本文研究由布朗運動和純跳Lévy過程復合的Lévy過程驅(qū)動的金融市場.此市場既有連續(xù)波動的性質(zhì)，又復合了如金融危機等重大金融事件所造成的不規(guī)則跳躍式波動.白噪聲分析的方法應用于金融市場在文獻[3]和[14]中都有所研究，文獻[3]用Gauss白噪聲分析研究布朗運動驅(qū)動的金融市場，而文獻[14]用純跳Lévy白噪聲分析研究純跳Lévy過程驅(qū)動的金融市場.本文的模型是文獻[3]和[14]中模型的復合.在Gauss白噪聲和純跳Lévy白噪聲復合的Lévy白噪聲框架下，應用CHO定理，用Malliavin導數(shù)具體表示了歐式期權(quán)的方差最小復制策略和市場固有風險.因此，本文的結(jié)果包含了文獻[3]和[14]的結(jié)果，而且更貼近現(xiàn)實中一般的金融市場.

[1] KARATZAS I，OCONE D.A generalized Clark representation formula，with application to optimal portfolios [J].Stochastics and Stochastic Reports，1991，34（2）：187－220

[2] HIDA Takeyuki. White noise analysis and its applications [J]. North－Holland Mathematical Studies，1982，74：43－48

[3] AASE K， KSENDAL B，PRIVAULT N，etal.White noise generalizations of Clark－Haussmann－Ocone theorem with application to mathematical finance [J].Finance and Stochastics，2000，4（4）：465－496

[4] ELLIOTT R，VAN DER HORK J.A general fractional white noise theory and applications to finance[J].Mathematical Finance，2003，13（2）：301－330

[5] HU Y， KSENDAL B.Fractional white noise calculus and applications to finance [J].Infinite Dimensional Analysis Quantum Probability Related Topics，2003，6（1）：1－32

[6] EBERLEIN E， KELLER U. Hyperbolic distributions in finance[J].Bernoulli，1995，1（3）：281－299

[7] BARNDORFF－NIELSEN E.Processes of normal inverse Gaussian type[J].Finance and Stochastics，1998，2（1）：41－68

[8] SCHOUTENS W.Lévy Processes in Finance[M].Hoboken：Wiley Blackwell，2003

[9] CONT R，TANKOV P.Financial Modeling with Jump Processes[M].London：Chapman ＆ Hall/CRC Press，2003

[10] APPLEBAUM D.Lévy Processes and Stochastic Calculus [M].Cambridge：Cambridge University Press，2004

[11] L KKA A， KSENDAL B， PROSKE F.Stochastic partial differential equations driven by Lévy space－time white noise [J].The Annals of Applied Probability，2004，14（3）：1506－1528

[12] 馮敬海，王 巖，馮恩民.由純跳Lévy白噪聲驅(qū)動的隨機薛定諤方程[J].大連理工大學學報，2008，48（5）：769－774（FENG Jing－h(huán)ai， WANG Yan，F(xiàn)ENG En－min.Stochastic Schr dinger equation driven by pure jump Lévy white noise[J].Journal of Dalian University of Technology，2008，48（5）：769－774）

[13] L KKA A.Martingale representation of functionals of Lévy processes [J].Stochastic Analysis and Applications，2004，22：867－892

[14] DI NUNNO G， KSENDAL B，PROSKE F.White noise analysis for Lévy processes[J].Journal of Functional Analysis，2004，206（1）：109－148

[15] 馮敬海，王 巖，馮恩民.復合白噪聲驅(qū)動的輸運方程 [J].應用概率統(tǒng)計，2009，25（6）：597－610

[16] NUALART D，SCHOUTENS W.Chaotic and predictable representations for Lévy processes[J].Stochastic Processes and Their Applications，2000，90（1）：109－122