考慮交易對(duì)手違約相關(guān)的脆弱期權(quán)定價(jià)

陳 正 聲， 秦 學(xué) 志

（1.大連理工大學(xué) 工商管理學(xué)院，遼寧 大連 116024；2.大連銀行 風(fēng)險(xiǎn)管理部，遼寧 大連 116001）

0 引 言

脆弱期權(quán)（vulnerable option）為含有信用風(fēng)險(xiǎn)的金融衍生產(chǎn)品，即含有信用風(fēng)險(xiǎn)的期權(quán)，期權(quán)的賣方可能違約，從而可能導(dǎo)致期權(quán)得不到履行[1].金融交易過(guò)程中，大多數(shù)交易均在場(chǎng)外市場(chǎng)完成.場(chǎng)外交易的優(yōu)點(diǎn)是合約的內(nèi)容不受交易所限制，交易雙方可以自由商談達(dá)成對(duì)雙方都有利的合約；缺點(diǎn)是會(huì)產(chǎn)生交易對(duì)手風(fēng)險(xiǎn)（也就是交易對(duì)手存在不履行合約的可能），而交易所內(nèi)的交易幾乎不可能觸發(fā)對(duì)手信用風(fēng)險(xiǎn).在金融市場(chǎng)上交易的場(chǎng)外期權(quán)，由于沒(méi)有諸如清算中心等第三方的擔(dān)保，均屬脆弱期權(quán)，而類似于保險(xiǎn)合約這樣的眾多合約同脆弱金融衍生工具面臨著相同的問(wèn)題.通常具有期權(quán)的支付形式，并且沒(méi)有信用中介擔(dān)保的私人合約均屬于脆弱期權(quán)[1].另外，場(chǎng)外市場(chǎng)交易的期權(quán)會(huì)受到標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)值的變動(dòng)和利率風(fēng)險(xiǎn)的影響，信用風(fēng)險(xiǎn)則隨著期權(quán)交易對(duì)手方違約概率的變化而變化.2008～2009年美國(guó)華爾街金融危機(jī)的爆發(fā)再次說(shuō)明，場(chǎng)外市場(chǎng)交易的衍生產(chǎn)品存在嚴(yán)重的潛在對(duì)手風(fēng)險(xiǎn)，而對(duì)場(chǎng)外衍生產(chǎn)品市場(chǎng)缺乏有效的監(jiān)管使得一些信用衍生產(chǎn)品和證券化產(chǎn)品對(duì)金融危機(jī)的出現(xiàn)和擴(kuò)散起到了推波助瀾的作用.因此，準(zhǔn)確定價(jià)在場(chǎng)外市場(chǎng)中交易的各類期權(quán)，對(duì)于有效抵御金融危機(jī)的發(fā)生并配合場(chǎng)外市場(chǎng)的監(jiān)管有著重要的意義.

近年來(lái)，國(guó)外部分學(xué)者對(duì)相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行了研究.文獻(xiàn)[2～4]在簡(jiǎn)約化模型框架下，采用Cox過(guò)程對(duì)違約強(qiáng)度進(jìn)行建模，并考慮了相關(guān)的衍生證券定價(jià)問(wèn)題，但其模型忽視了交易對(duì)手風(fēng)險(xiǎn)因素的存在.Jarrow等[5]在上述簡(jiǎn)約化模型的基礎(chǔ)上，提出了關(guān)于強(qiáng)度的違約相關(guān)模型，進(jìn)一步從交易對(duì)手的角度完善和推廣了先前的簡(jiǎn)約化模型.Leung等[6]在文獻(xiàn)[5]工作的基礎(chǔ)上，探討了具有交易對(duì)手風(fēng)險(xiǎn)的CDS（信用違約互換）定價(jià)問(wèn)題，但其忽視了利率風(fēng)險(xiǎn)的存在對(duì)交易雙方違約強(qiáng)度的影響.Collin－Dufresne等[7]以簡(jiǎn)約化模型為基礎(chǔ)采用了絕對(duì)連續(xù)的測(cè)度變換的方法對(duì)違約證券給出了一般性的定價(jià)公式，并對(duì)相關(guān)的衍生產(chǎn)品進(jìn)行了實(shí)例研究.Johnson等[8]首次探討了含有信用風(fēng)險(xiǎn)的期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，并引進(jìn)脆弱期權(quán)這個(gè)術(shù)語(yǔ)定義含有交易對(duì)手違約風(fēng)險(xiǎn)的期權(quán).Kang等[9]同樣關(guān)注了Jarrow 等[5]的工作，將其方法應(yīng)用于定價(jià)浮動(dòng)利息票據(jù)（floating－rate notes）與脆弱期權(quán)，但其探討的上述兩個(gè)問(wèn)題并沒(méi)有考慮到交易對(duì)手間的環(huán)形違約相關(guān)情形.

本文在以上研究工作的基礎(chǔ)上，考慮交易對(duì)手間信用風(fēng)險(xiǎn)狀況的相互影響與市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)因素共存時(shí)，脆弱歐式期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題.

1 模 型

考慮在市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)因素影響下，構(gòu)建兩個(gè)公司（B、C）間違約強(qiáng)度模型.刻畫(huà)公司B違約時(shí)間的隨機(jī)變量記為τB，公司C違約時(shí)間的隨機(jī)變量記為表示公司i的違約示性函數(shù)：在發(fā)生違約時(shí)公司i的示性函數(shù)的值為1，否則為0.在概率空間上，存在用來(lái)描述無(wú)違約期限結(jié)構(gòu)變化的經(jīng)濟(jì)狀態(tài)變量Xt，如利率rt.

式中：Ei表示相互獨(dú)立的單位指數(shù)隨機(jī)變量表示強(qiáng)度過(guò)程.因此，公司i的條件存活概率，即違約時(shí)間τi的分布為

對(duì)于期限為T(mén)的風(fēng)險(xiǎn)折現(xiàn)債券D（t，T），設(shè)τ為違約時(shí)間，R為違約時(shí)的回收率，由文獻(xiàn)[2、3]知，t時(shí)刻債券的價(jià)格為

由文獻(xiàn)[2、5]有

到期日支付為Z的風(fēng)險(xiǎn)債券價(jià)格為

Ong[10]指出：“度量信用風(fēng)險(xiǎn)的完美模型應(yīng)該包含交易對(duì)手風(fēng)險(xiǎn)和市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)因素，對(duì)于違約強(qiáng)度的建模同時(shí)應(yīng)考慮市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)因素.”因此，本文考慮當(dāng)交易對(duì)手風(fēng)險(xiǎn)與市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)因素共存時(shí)，違約強(qiáng)度模型的構(gòu)造.針對(duì)存在交易對(duì)手關(guān)系的公司B、C，若公司B的違約概率很大程度上受到公司C的影響，另外，如果公司C又持有公司B發(fā)行的大量債券，此時(shí)便形成了環(huán)形違約相關(guān)情形，兩公司B、C的信用狀況對(duì)其間違約相關(guān)性的影響至關(guān)重要，其實(shí)質(zhì)為兩公司間違約強(qiáng)度的相互影響，具體表現(xiàn)為違約時(shí)強(qiáng)度表現(xiàn)出的跳躍.則關(guān)于公司B與C的違約強(qiáng)度模型：

其中α、β、σ均為正數(shù)，W1（t）為維納過(guò)程.隨機(jī)微分方程（3）的閉式解為

設(shè)V（t，T）為在T時(shí)刻具有1美元收益的無(wú)違約折現(xiàn)債券在t時(shí)刻的價(jià)格，由 Vasicek[11]與Shreve[12]的結(jié)論，有

其中

命題1 違約強(qiáng)度模型滿足式（2）時(shí)，違約時(shí)間隨機(jī)向量（τBτC）∈ [0，T]×[0，T]的聯(lián)合違約密度函數(shù)f（t1，t2）為

證明 設(shè)公司B與C的違約時(shí)間隨機(jī)向量（τBτC）的聯(lián)合違約概率密度函數(shù)為f（t1，t2）.在此采用由文獻(xiàn)[7]中提出的測(cè)度變換方法，對(duì)聯(lián)合違約密度函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，定義測(cè)度變換為

其中Pi（i＝B，C）為新的概率測(cè)度，在[0，τi]上關(guān)于Q絕對(duì)連續(xù)，在[τi，＋∞）上幾乎處處為0.在新的測(cè)度Pi下，EB、EC分別為測(cè)度PB、PC下的期望，違約強(qiáng)度分別記為由以上結(jié)論，在t1＞t2時(shí)得到

其中

同理得到t1≤t2時(shí)，f（t1，t2）的表達(dá)式.故命題成立.

2 脆弱歐式看漲期權(quán)的定價(jià)

2.1 模型的建立

Johnson等[8]和 Klein等[13、14]分別探討 了含有信用風(fēng)險(xiǎn)的期權(quán)定價(jià)問(wèn)題.本節(jié)采用文獻(xiàn)[13、14]中提出、在文獻(xiàn)[9]中應(yīng)用的含有交易對(duì)手風(fēng)險(xiǎn)的脆弱期權(quán)定價(jià)公式，并在Kang等[9]采用的文獻(xiàn)[5]提出的違約強(qiáng)度模型的基礎(chǔ)上，考慮期權(quán)的持有者同期權(quán)的開(kāi)立者之間形成的環(huán)形違約相關(guān)情形.

采用非線性環(huán)形違約強(qiáng)度模型式（2），其中公司B為期權(quán)的持有者，公司C為期權(quán)的開(kāi)立者，公司B的違約強(qiáng)度同公司C及利率相關(guān).

在等價(jià)鞅測(cè)度Q下，脆弱歐式看漲期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格S（t）服從

其中W2（t）為標(biāo)準(zhǔn)的維納過(guò)程，利率rt滿足式（3），并且協(xié)方差cov（σSdW2，σdW1）＝ωσσSdt，σ、σS、ω均為正常數(shù).由式（1）知，脆弱歐式看漲期權(quán)在時(shí)刻t的價(jià)格為

其中S（T）為標(biāo)的資產(chǎn)到期時(shí)的價(jià)格，K為執(zhí)行價(jià)格.得到如下命題.

命題2 設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格S（t）服從式（4），利率 服 從 式 （3），且 滿 足 cov（σSdW2，σdW1）＝ωσσSdt，其中σ、σS、ω均為正常數(shù).違約強(qiáng)度模型取為式（2）.則在交易對(duì)手違約相關(guān)及市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)因素共同作用下，脆弱歐式看漲期權(quán)價(jià)格為

其中R為回收率，N（·）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，

證明 設(shè)公司B為期權(quán)的持有者，公司C為開(kāi)立者，由命題1得到，違約時(shí)刻的隨機(jī)向量（τBτC）∈ [0，T]×[0，T]的聯(lián)合違約密度函數(shù)為f（t1，t2）.

對(duì)于式（6）的計(jì)算，首先

進(jìn)一步得到

由利率rt滿足的隨機(jī)微分方程（3）的顯式解得到

2.2 定價(jià)結(jié)果對(duì)比分析

為同文獻(xiàn)[9]中的結(jié)果進(jìn)行比較，本文采用文獻(xiàn)[9]中參數(shù)的設(shè)置，即對(duì)于脆弱期權(quán)的持有者公司B，其違約強(qiáng)度表達(dá)式中的參數(shù)取為b0＝0.038，b1＝0.5，b2＝－0.1.并取c1＝0.5，c2＝－0.1，α＝0.04，β＝0.8，σ＝0.03，ω＝0.6，T－t＝0.5，利率的初值為r0＝0.04.經(jīng)過(guò)數(shù)值計(jì)算得到的結(jié)果見(jiàn)表1～3.

表1 對(duì)應(yīng)不同回收率的脆弱歐式看漲期權(quán)價(jià)格（S＝100，K＝90）Tab.1 The price of vulnerable European call option for different recovery rate（S＝100，K＝90）

表2 對(duì)應(yīng)不同回收率的脆弱歐式看漲期權(quán)價(jià)格（S＝100，K＝100）Tab.2 The price of vulnerable European call option for different recovery rate（S＝100，K＝100）

表3 對(duì)應(yīng)不同回收率的脆弱歐式看漲期權(quán)價(jià)格（S＝100，K＝110）Tab.3 The price of vulnerable European call option for different recovery rate（S＝100，K＝110）

分別對(duì)脆弱期權(quán)的實(shí)值、平值和虛值3種狀態(tài)進(jìn)行比較.從表1～3的對(duì)比結(jié)果發(fā)現(xiàn)，對(duì)于給定的回收率，由于環(huán)形違約相關(guān)的存在，隨著期權(quán)賣方違約概率的增加，脆弱期權(quán)的價(jià)格逐漸降低，這一點(diǎn)同文獻(xiàn)[9]的結(jié)果相一致.本文模型得到的脆弱期權(quán)的價(jià)格要低于文獻(xiàn)[9]的對(duì)應(yīng)價(jià)格，表明采用了非線性環(huán)形違約強(qiáng)度模型式（2）的期權(quán)定價(jià)模型揭示出合約蘊(yùn)含著更高的違約風(fēng)險(xiǎn).另外，由表1～3可見(jiàn)，對(duì)于不同的回收率，采用非線性環(huán)形違約強(qiáng)度模型式（2）的定價(jià)模型對(duì)脆弱期權(quán)價(jià)格的影響要強(qiáng)于文獻(xiàn)[9]中的定價(jià)模型（對(duì)于回收率的不同取值，其定價(jià)模型的結(jié)果僅以0.001或0.01為單位變化，而本文模型結(jié)果以1或0.1為單位變化），說(shuō)明本文模型對(duì)于回收率的敏感性要強(qiáng)于文獻(xiàn)[9]中的模型.

表4中回收率R＝0.6.由分析結(jié)果可以看到：在給定對(duì)手方的違約概率時(shí)，隨著標(biāo)的資產(chǎn)收益率的波動(dòng)率的增加，脆弱歐式看漲期權(quán)的價(jià)格逐漸增加；在給定波動(dòng)率時(shí)，隨著對(duì)手方違約概率的增加，脆弱期權(quán)的價(jià)格逐漸降低.由此可知，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)的收益率的波動(dòng)率上升時(shí)，脆弱歐式看漲期權(quán)的價(jià)格上升，但脆弱期權(quán)的持有者在到期前還面臨著賣方形成的信用風(fēng)險(xiǎn)，使得隨著違約風(fēng)險(xiǎn)的逐漸提升，脆弱期權(quán)的價(jià)格將逐漸降低.

表4 對(duì)應(yīng)不同標(biāo)的資產(chǎn)波動(dòng)率的脆弱歐式看漲期權(quán)價(jià)格Tab.4 The price of vulnerable European call option for different volatility of underlying asset

表5中回收率R＝0.6.從結(jié)果可以看到，對(duì)于給定的回收率與相關(guān)系數(shù)，隨著期權(quán)開(kāi)立者違約概率的增加，脆弱期權(quán)的價(jià)格逐漸降低.相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越大，則利率與標(biāo)的資產(chǎn)間的相互影響就越大.從其變化趨勢(shì)可知，對(duì)于給定對(duì)手方的違約概率，隨著利率與標(biāo)的資產(chǎn)間變化趨勢(shì)的同向性逐漸增強(qiáng)，脆弱歐式看漲期權(quán)的價(jià)格將逐漸升高.

表5 對(duì)應(yīng)不同相關(guān)系數(shù)的脆弱歐式看漲期權(quán)價(jià)格Tab.5 The price of vulnerable European call option for different correlation coefficients

3 結(jié) 語(yǔ)

金融危機(jī)在全球范圍內(nèi)的傳導(dǎo)和肆虐，一再警示了信用違約相關(guān)度量及風(fēng)險(xiǎn)傳導(dǎo)機(jī)理甄別的重要性.本文在設(shè)定違約強(qiáng)度同市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)因素相關(guān)的情形下，考察了含有交易對(duì)手違約風(fēng)險(xiǎn)的脆弱歐式看漲期權(quán)定價(jià)問(wèn)題.采用簡(jiǎn)約化模型對(duì)脆弱歐式看漲期權(quán)的定價(jià)進(jìn)行了研究，定價(jià)結(jié)果對(duì)比分析表明：本文提出的非線性環(huán)形違約強(qiáng)度模型揭示了交易對(duì)手間信用狀況的相互作用對(duì)定價(jià)結(jié)果的影響，并可作為研究違約相關(guān)問(wèn)題的一種有效方法.另外，此次金融危機(jī)也暴露出與金融衍生產(chǎn)品的定價(jià)和交易過(guò)程相伴隨的嚴(yán)重的信息不對(duì)稱問(wèn)題，其對(duì)金融衍生品定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)管理的影響將成為下一步的研究?jī)?nèi)容.

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