爆炸載荷作用下單向加筋方板的大撓度塑性動(dòng)力響應(yīng)分析

劉敬喜，劉 堯，湯皓泉，李 威

(1.華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，武漢 430074;2.中國(guó)艦船研究設(shè)計(jì)中心，武漢 430064)

爆炸載荷作用下結(jié)構(gòu)的非彈性動(dòng)力響應(yīng)是十分復(fù)雜的。早期的研究絕大多數(shù)都是關(guān)于梁、板等簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)力響應(yīng)問題，對(duì)于工程中廣泛應(yīng)用的加筋板結(jié)構(gòu)的研究，主要是通過實(shí)驗(yàn)及數(shù)值模擬的手段研究其塑性動(dòng)力響應(yīng)［1－6］。采用理論方法研究加筋板結(jié)構(gòu)的塑性動(dòng)力響應(yīng)方面，目前主要還是采用剛塑性簡(jiǎn)化模型。1993年，Schubak等［7］采用剛塑性梁模型對(duì)爆炸載荷作用下的加筋板結(jié)構(gòu)作了較為系統(tǒng)的理論研究。1994年，劉土光和唐文勇等［8－10］采用虛功原理討論了“十字形”加筋固支方板以及矩形加筋板的剛塑性動(dòng)力響應(yīng)。1995年，吳有生等［11］采用能量法推導(dǎo)了一個(gè)計(jì)算爆炸載荷作用下艦船板架塑性變形及破損的公式，并與有關(guān)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了比較。最近，方斌等［12］采用能量法討論了水下爆炸沖擊波荷載作用下船底板架的塑性動(dòng)力響應(yīng)。

實(shí)驗(yàn)研究以及理論分析結(jié)果表明［4，13］:取決于加強(qiáng)筋的相對(duì)剛度以及爆炸載荷峰值的大小，加筋板的變形模式將呈現(xiàn)3種不同的形式:① 當(dāng)加強(qiáng)筋的相對(duì)剛度較小時(shí)，加筋板面板傳遞給加強(qiáng)筋的動(dòng)反力使加強(qiáng)筋迅速進(jìn)入機(jī)構(gòu)狀態(tài)，從而加筋板面板和加強(qiáng)筋將作為一個(gè)整體一起發(fā)生運(yùn)動(dòng);② 當(dāng)加強(qiáng)筋的相對(duì)剛度足夠大時(shí)，加筋板面板傳遞給加強(qiáng)筋的動(dòng)反力不足以使加強(qiáng)筋進(jìn)入機(jī)構(gòu)狀態(tài)。從而在整個(gè)沖擊過程中，加強(qiáng)筋始終處于近似剛性狀態(tài)，加強(qiáng)筋之間的板格將以加強(qiáng)筋為固定邊界發(fā)生運(yùn)動(dòng);③ 對(duì)于加強(qiáng)筋的相對(duì)剛度不太大的情況，當(dāng)爆炸載荷的峰值導(dǎo)致板格進(jìn)入機(jī)構(gòu)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)后，由板格傳遞給加強(qiáng)筋的動(dòng)反力同時(shí)使加強(qiáng)筋亦進(jìn)入機(jī)構(gòu)狀態(tài)。在此情況下，將發(fā)生板格的局部變形與加筋板總體變形耦合運(yùn)動(dòng)的狀況。

就船舶加筋板結(jié)構(gòu)而言，其加強(qiáng)筋的相對(duì)剛度一般較小。故爆炸載荷作用下船舶加筋板的變形模式大多歸屬于第1種變形模式，即所謂加筋板的總體變形模式?；谏鲜隼碛?，本文將限于第1種變形模式的討論，從分別列出加筋板面板以及加強(qiáng)筋的運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)［13］，詳細(xì)分析了爆炸載荷作用下單向加筋固支方板的大撓度塑性動(dòng)力響應(yīng)。首先討論了同時(shí)計(jì)及彎矩和面力(軸力)作用的解析解，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步討論了忽略彎矩影響的薄膜解，給出了爆炸載荷作用下加筋板永久變形的計(jì)算式。本文還參照文獻(xiàn)［14］和［15］給出的簡(jiǎn)化能量解法，導(dǎo)出了爆炸載荷作用下加筋板永久變形的計(jì)算式。

計(jì)算實(shí)例采用文獻(xiàn)［3］給出的單向加筋固支方板的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀＠碚摻Y(jié)果與文獻(xiàn)［3］的實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較表明，在多數(shù)情況下符合良好。

1 爆炸載荷作用下單向加筋板的理論分析模型

1.1 單根加強(qiáng)筋固支方板

討論圖1(a)所示的具有單根加強(qiáng)筋的固支方板，板的邊長(zhǎng)為2a，厚度為h，矩形截面加強(qiáng)筋的寬度為b1，高度為h1，其上承受均布爆炸載荷q(t)的作用。假定加筋板的材料是理想剛塑性的，因此不計(jì)材料的彈性以及應(yīng)變強(qiáng)化的影響。

圖1 單根加筋固支方板Fig.1 Built-in square plates with single stiffener

限于討論單根加筋固支方板的總體變形模式。在此情況下，加筋板的面板和加強(qiáng)筋作為一個(gè)整體發(fā)生運(yùn)動(dòng)，如圖1(b)所示。

假定爆炸載荷作用下單向加筋固支方板的總體變形模式與其靜載作用下的靜力總體破壞模式具有相同的形式。因此，首先應(yīng)從討論加筋板的靜力平衡著手確定單根加筋固支方板的總體破壞模式。

列出剛性板塊①和②的靜力平衡方程，最后得到:

式中，q0為加筋板的靜力極限載荷值;M0=σyh2/4，為加筋方板面板的極限彎矩;σy為材料的屈服應(yīng)力;M'0=σy/4，為加強(qiáng)筋的極限彎矩;δ為表征塑性鉸線位置的無因次參數(shù)。

聯(lián)立求解(3)、(4)兩式，最后得:

已知加強(qiáng)筋的相對(duì)剛度k，則可由上式求出確定塑性鉸線位置的δ值，再將δ值代入式(4)，便得到單根加筋固支方板的靜力極限載荷值。因此，當(dāng)爆炸載荷的初始峰值時(shí)，固支加筋方板便開始發(fā)生運(yùn)動(dòng)。

進(jìn)一步討論爆炸載荷作用下單根加筋固支方板的大撓度塑性動(dòng)力響應(yīng)。加筋板剛性板塊①的運(yùn)動(dòng)方程為:

加強(qiáng)筋的運(yùn)動(dòng)方程為:

給出q(τ)的具體形式后，就不難求得上述運(yùn)動(dòng)方程的解。

1.2 雙加強(qiáng)筋固支方板

以上討論了爆炸載荷作用下單根加筋固支方板的大撓度塑性動(dòng)力響應(yīng)。上述分析方法可以推廣至具有2根或2根以上加強(qiáng)筋的固支方板的情況。對(duì)于具有雙加強(qiáng)筋的固支方板(圖2)，參照上一小節(jié)的討論，首先確定它的靜力總體破壞模式。與單根加筋的情況相類似，已知加強(qiáng)筋的相對(duì)剛度，便可由下式確定塑性鉸線的位置:

圖2 雙根加筋固支方板Fig.2 Built-in square plates with double stiffener

進(jìn)一步討論爆炸載荷作用下雙根加筋固支方板的大撓度塑性動(dòng)力響應(yīng)。首先討論傾斜塑性鉸線未越過加強(qiáng)筋時(shí)的情形，如圖2(a)所示。加筋板剛性板塊①以及加強(qiáng)筋的運(yùn)動(dòng)方程分別為:

聯(lián)立求解(10)、(11)兩式，消去R(τ)得:

加筋板剛性板塊①以及加強(qiáng)筋的運(yùn)動(dòng)方程分別為:

聯(lián)立求解(13)、(14)兩式，消去R(τ)得:

求出q(τ)的具體形式后，就不難求得上述運(yùn)動(dòng)方程的解。

2 爆炸載荷作用下單向加筋板的能量解

限于討論固支加筋方板總體破壞模式的情形。與上一小節(jié)的解析解有所不同，固支加筋方板的撓曲面改取為二次曲面的形式［15］，如圖3所示。

式中w0表示固支加筋方板中央的永久變形值。

圖3 固支加筋方板的總體變形模式(能量解)Fig.3 The global deformation mode of build-in stiffened square plate(energy solution)

在大變形的情況下，膜力在板的塑性動(dòng)力響應(yīng)中起到了主要的作用，從而可以忽略彎矩的影響［13－15］。為了計(jì)及應(yīng)變率效應(yīng)的影響，將平均動(dòng)屈服應(yīng)力σd表示為靜屈服應(yīng)力σy乘于某一大于1的系數(shù)。即有:

由(16)式，對(duì)應(yīng)的應(yīng)變表達(dá)式為:

固支加筋方板在變形過程中所做的塑性功為:

式中，F(xiàn)為加強(qiáng)筋的橫截面面積。

固支加筋方板所承受的初始動(dòng)能為:

式中，ρ為加筋板材料的密度;I為爆炸載荷傳遞的總沖量，這里假定爆炸載荷沿加筋方板表面是均勻分布的。

根據(jù)能量原理，應(yīng)有:

將(19)、(20)兩式代入上式，經(jīng)整理后得到:

參照文獻(xiàn)［15］中的論述，在本文的計(jì)算中取α=2.80。

對(duì)于具有雙加強(qiáng)筋的固支方板，板的最大永久變形的計(jì)算式仍具有式(22)的形式，只需將Φ的計(jì)算式改寫為以下形式:

3 算例

為了驗(yàn)證本文提出的計(jì)算方法的合理性，計(jì)算實(shí)例采用文獻(xiàn)［3］給出的單向加筋固支方板的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀＜咏罘桨宓倪呴L(zhǎng)為126mm×126mm，板厚為1.6mm;加強(qiáng)筋為矩形截面梁，其寬度和高度的名義尺寸分別為3mm×3mm和3mm×7mm，加筋方板面板的厚度以及加強(qiáng)筋截面的實(shí)際尺寸列于表1中。單筋和雙筋的布置方式采用等分以及三等分方板的形式。其中單根加筋的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ凸?個(gè)，雙筋模型共2個(gè)。

加筋板的材料為軟鋼，材料的靜屈服應(yīng)力為σy=242 MPa。計(jì)算中取平均動(dòng)態(tài)屈服應(yīng)力 σd=2.8σy，即α =2.8。

在文獻(xiàn)［3］中，爆炸載荷取矩形脈沖的形式。載荷的持續(xù)時(shí)間T=14.5 μs，已知爆炸載荷的總沖量值 I，便可計(jì)算出分布爆炸載荷值其中 A=4a2，為實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷拿娣e。將它表示成無因次的形式:

對(duì)于矩形脈沖載荷的情況，單根加筋固支方板運(yùn)動(dòng)方程(8)的求解將得到很大的簡(jiǎn)化。在此情況下，加筋板的塑性動(dòng)力響應(yīng)分為兩個(gè)運(yùn)動(dòng)階段。

首先討論加筋板運(yùn)動(dòng)的第一階段(0≤τ≤τT)。此時(shí)，常數(shù)，微分方程(8)成為一個(gè)線性常微分方程。當(dāng)滿足初始條件τ=0時(shí)，，解得:

其次討論加筋板運(yùn)動(dòng)的第二階段(τT≤τ≤τf)。此時(shí)，。在滿足τ=τT時(shí)刻的角位移和角速度的連續(xù)性條件下，運(yùn)動(dòng)方程的解經(jīng)化簡(jiǎn)后為:

當(dāng)τ=τf時(shí)，，加筋板的運(yùn)動(dòng)停止。由此可確定計(jì)算τf的表達(dá)式為:

將τ=τf值代入式(24)得到，再將代入式(27)，便可求得加筋板中點(diǎn)的永久變形值。

需要指出的是:以上給出的解是在滿足正方形屈服條件(外接于精確的最大正應(yīng)力屈服條件，圖4中的實(shí)線)的前提下得到的。對(duì)應(yīng)的屈服條件可表示為:

圖4 理想塑性矩形截面的屈服曲線Fig.4 The interaction curves for rectangular section

由此得出的加筋板最大橫向永久變形值將是最大正應(yīng)力屈服條件解的上界［16］。如若采用內(nèi)接于最大正應(yīng)力屈服條件的正方形屈服條件(屈服應(yīng)力取為0.618σy，圖4中的點(diǎn)劃線)，得出的最大橫向永久變形值將是最大正應(yīng)力屈服條件解的下界［16］。研究表明［16］:對(duì)于大的永久變形，有限橫向位移的影響支配著結(jié)構(gòu)的動(dòng)力塑性響應(yīng)。亦即膜力和軸力在響應(yīng)中起到了主要的作用，從而可以完全忽略彎矩的影響，響應(yīng)由膜力單獨(dú)控制，對(duì)應(yīng)的屈服條件成為N=N0和 M=M0。由此給出的解稱之為塑性動(dòng)力分析中的薄膜解。為此，在前面導(dǎo)出的運(yùn)動(dòng)方程(8)、(12)和(15)三式中令M0=0和M'0=0，便可得到薄膜解的相關(guān)方程。

雙根加筋固支方板運(yùn)動(dòng)方程(12)和(15)式的求解類似于單根加筋固支方板運(yùn)動(dòng)方程的求解，這里不再詳述。計(jì)算實(shí)例的計(jì)算結(jié)果列于表2中，包括解析解、薄膜解以及能量解的計(jì)算結(jié)果，表中同時(shí)列出了文獻(xiàn)［3］的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

表1 計(jì)算模型的尺寸及外載荷Tab.1 Model size and the peak of load applied

表2 計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果［3］的比較Tab.2 A comparisons of the calculation results with experimental results

圖5給出了截面尺寸為3mm×3mm加強(qiáng)筋模型(A00、A13、A17和A01)的中點(diǎn)永久變形 w0與爆炸載荷峰值q0之間的關(guān)系曲線。由圖5可以看出:實(shí)驗(yàn)值全部落在滿足外接以及內(nèi)接正方形屈服條件的理論曲線之間，表明簡(jiǎn)單理論方法提供了最大永久變形的上界與下界。圖5給出的結(jié)果還表明:忽略彎曲影響的薄膜解與能量解與實(shí)驗(yàn)值相當(dāng)接近。由此證實(shí)了下述的結(jié)論:在大塑性變形的場(chǎng)合，膜力和軸力在加筋板的塑性動(dòng)力響應(yīng)中起到了主要的作用，從而可以完全忽略彎矩的影響。

分析表2給出的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，在多數(shù)情況下兩者之間符合良好。表明本文給出的簡(jiǎn)化理論分析方法能對(duì)爆炸載荷下單根加筋固支方板的永久變形做出較為合理的預(yù)報(bào)。

圖5 單根加筋固支方板的w0－q0關(guān)系曲線Fig.5 w0－ q0curve for build-in square plate with single stiffener

4 結(jié)論

通過理論推導(dǎo)和實(shí)例分析可以得到以下結(jié)論:

(1)本文提出的理論分析方法能對(duì)爆炸載荷下單根加筋固支方板的永久變形做出較為合理的預(yù)報(bào)，從而證實(shí)了本文提出的理論模型的合理性。

(2)本文提出的簡(jiǎn)化分析方法的特點(diǎn)是:分別列出加筋板的面板以及加強(qiáng)筋的運(yùn)動(dòng)方程，只考慮了面板與加強(qiáng)筋之間相互作用反力的傳遞，從而給加筋板的塑性動(dòng)力響應(yīng)分析工作帶來很大的簡(jiǎn)化。需要指出的是:上述簡(jiǎn)化假定基本上是合理的。這是因?yàn)樵诖笞冃蔚臈l件下，影響加筋板結(jié)構(gòu)變形性能的主要內(nèi)力要素是面板中面內(nèi)的膜力以及加強(qiáng)筋橫截面內(nèi)的軸力，忽略彎矩和剪力的相互傳遞不會(huì)對(duì)最終的計(jì)算結(jié)果帶來重要的影響。

(3)本文提出的簡(jiǎn)化分析方法的優(yōu)點(diǎn)是毋需復(fù)雜的數(shù)字運(yùn)算，卻能對(duì)爆炸載荷作用下加筋板結(jié)構(gòu)的塑性動(dòng)力響應(yīng)做出合理的預(yù)報(bào)。將它應(yīng)用于抗爆加筋板結(jié)構(gòu)的初步設(shè)計(jì)以及優(yōu)化設(shè)計(jì)將是很有用處的。

(4)本文將文獻(xiàn)［14］和文獻(xiàn)［15］提出的關(guān)于爆炸載荷作用下圓板的簡(jiǎn)化能量解法推廣應(yīng)用于單向加筋方板的場(chǎng)合，取得了很好的結(jié)果。但是，此種推廣僅適用于加筋板總體變形模式的情況。對(duì)于發(fā)生加筋板板格局部變形與加筋板總體變形耦合運(yùn)動(dòng)的狀況，因?yàn)樯婕暗骄植科茐哪Ｊ饺绾蜗蚩傮w破壞模式過渡的問題，能量法就顯得有些無能為力了。本文提出的從分別列出加筋板板格以及加強(qiáng)筋的運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)的簡(jiǎn)化分析方法可適用于此種情況的分析研究。

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