兩個(gè)包含近似偽 Smarandache函數(shù)的漸近公式

高 麗，謝 瑞，趙 琴

（延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000）

兩個(gè)包含近似偽 Smarandache函數(shù)的漸近公式

高 麗，謝 瑞，趙 琴

（延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000）

利用初等方法研究了近似偽 Smarandache函數(shù)分別與兩個(gè)特殊數(shù)論函數(shù)的復(fù)合函數(shù)在簡(jiǎn)單數(shù)序列中的均值性質(zhì)，并給出了兩個(gè)有規(guī)律的漸近公式。

近似偽 Smarandache函數(shù)；簡(jiǎn)單數(shù)；復(fù)合函數(shù)；漸近公式

0 引言及結(jié)論

在文獻(xiàn)［1］中，Vyawahare定義了一個(gè)新的函數(shù)K(n)，即：對(duì)任意的正整數(shù)n，K(n)＝m，這里i＋k是使n能整除m的最小正整數(shù)。稱這個(gè)函數(shù)K (n)為近似偽 Smarandache函數(shù)。在文獻(xiàn)［2］第23個(gè)問題中，如果一個(gè)正整數(shù)n的真因子的乘積不超過n，就稱n為簡(jiǎn)單數(shù)。令A(yù)表示所有簡(jiǎn)單數(shù)的集合，即有A＝｛2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，13，14，15，17，19，21，…｝。容易看出，n有4種情形，即n＝p，或 n＝p2，或 n＝p3，或 n＝pq，這里 p，q是不同的素?cái)?shù)（證明參見文獻(xiàn)［3］）。令 pd(n)表示n的全部正因子的乘積，即表示n的全部真因子的乘積，即本文利用初等數(shù)論方法研究了K(pd(n))和K(qd(n))的均值性質(zhì)，并給出了兩個(gè)有規(guī)律的漸近公式，即證明了下面的定理（下文中出現(xiàn)的n，如無特殊說明，均為奇數(shù)）。

定理1 對(duì)任意的實(shí)數(shù) x＞1，有漸近公式

其中 A1為可計(jì)算的常數(shù)。

1 引理及證明

為了得到上述定理的證明，需要下面的兩個(gè)引理：

引理1 設(shè)n為任意正整數(shù)，則有

證明 參見文獻(xiàn)［1］。

引理2［4］設(shè)k≥0及 x≥3是實(shí)數(shù)，p，q是兩個(gè)素?cái)?shù)，B是一可計(jì)算的常數(shù)，有漸近公式

證明 應(yīng)用 Abel恒等式[]5，并注意到 π()x ＝得到

應(yīng)用同樣的方法我們還可以得到

應(yīng)用（5）式以及熟知的分拆恒等式可得

當(dāng)m≥2時(shí)，有

應(yīng)用同樣的方法可得

從（7）（9）（10）式容易得到

于是完成了引理2的證明。

2 定理的證明

本節(jié)來完成2個(gè)定理的證明。由引理1，引理2中（1）（2）（3）式，n∈A時(shí)n的四種情形及 pd()n的定義知

這就完成了定理1的證明。用同樣的辦法可以證明定理 2。由qd()n的值我們有

這就完成了定理2的證明。

［1］Vyawahare A W.Near pseudo Smarandache function［J］Smarandache Notions Journal，2004（14）：42－61.

［2］Smarandache F.Only problems，not solutions［M］.Chicaga：Xiquan Publishing House，1993.

［3］劉紅艷.關(guān)于簡(jiǎn)單數(shù)序列的均值性質(zhì)［J］.寧夏大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2004，24（1）：28－30.

［4］朱敏慧.一個(gè)新的算術(shù)函數(shù)和它的漸近公式［J］.紡織高?；A(chǔ)科學(xué)學(xué)報(bào)，2007，20（4）：357－360.

［5］Apostol T M.Introduction to analytic number theory［M］. New York：Spinger－Verlag，1976.

［責(zé)任編輯 賀小林］

Two Arithmetical Functions Involving Near Pseudo Smarandache Notions and Their Asymptotic Formulas

GAO LI，XIE RUI，ZHAO QIN
（College of Mathematics and Computer Science，Yan an University，Yan an 716000，China）

By using elementarymethod，the article will study themean value properties of function of functions involving near pseudo smarandache notions and two special arithmetical functions on simple numbers respectively，a series of regular results are obtained.

near pseudo Smarandache notions；simple numbers；function of functions；asymptotic formula

O156.4

A

1004-602X（2011）02-0001-03

2011 -04 -15

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10291093）；陜西省教育廳專項(xiàng)科研計(jì)劃項(xiàng)目（07JK430）

高麗（1966—），女，陜西綏德人，延安大學(xué)教授，碩士。