基于Mallat算法的動(dòng)彈性模量測(cè)量研究*

王 磊，劉瑞安

(天津師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，天津 300387)

動(dòng)彈性模量 (Dynamic Young's Modulus)是建筑工程設(shè)計(jì)中混凝土等剛性材料的力學(xué)性能的一個(gè)重要參數(shù),反映了某段時(shí)間內(nèi)材料在外力作用下的細(xì)微形變,因此動(dòng)彈性模量的測(cè)量在建筑工程的質(zhì)量監(jiān)控與評(píng)估中有著重要的意義?；炷恋膹椥阅Ａ渴穷l率的單值函數(shù),該函數(shù)的關(guān)鍵變量是混凝土試件的共振頻率,即由試件的諧振頻率,可推算出其強(qiáng)度來(lái)。由此,混凝土的強(qiáng)度測(cè)量可以簡(jiǎn)化為先進(jìn)行動(dòng)彈諧振頻率測(cè)量,再計(jì)算動(dòng)彈性模量的過(guò)程[1]。

當(dāng)前剛性材料的動(dòng)彈性模量測(cè)量方法有掃頻法、快速傅里葉變換法(FFT)等。在掃頻法中,先由激振器從低頻到高頻依次發(fā)射振動(dòng)波到待測(cè)試件表面,迫使其產(chǎn)生非平穩(wěn)、瞬態(tài)的反饋振動(dòng)波形,通過(guò)不同頻率間反饋波形幅值的比較,掃描出諧振頻率點(diǎn)。而FFT法是在數(shù)字電路快速發(fā)展的背景下,由數(shù)字處理器對(duì)反饋波形進(jìn)行快速離散傅里葉變換,計(jì)算出功率譜中的峰值頻率作為諧振頻率。在FFT算法中,消除了掃頻法中激振器在不同頻率下激振波振幅的誤差影響。而FFT算法在有限的采樣點(diǎn)下,其低頻精度較低(頻譜范圍為 20 kHz時(shí),誤差在±20 Hz以上)。為此,本文將小波變換中的多分辨分析方法引入到動(dòng)彈性模量的測(cè)量中來(lái),可在現(xiàn)有傳感器硬件電路基礎(chǔ)上,通過(guò)在DSP平臺(tái)上的Mallat算法實(shí)現(xiàn)高精度的頻譜計(jì)算,提高諧振頻率測(cè)量精度,消除因傳感器不一致所導(dǎo)致的誤差影響,從而提高動(dòng)彈性模量測(cè)量的準(zhǔn)確度。

1 Mallat算法的頻譜分析原理

1.1 Mallat算法原理及分解過(guò)程

Mallat算法是小波信號(hào)處理中最常用的小波快速算法。連續(xù)小波變換是指：把某一被稱為基本小波(亦稱母小波或基波)的函數(shù)Ψ(t)作位移τ后,在不同尺度α下再與待分析信號(hào) x(t)作內(nèi)積[2]。

Mallat算法主要是用基于多分辨分析的多采樣濾波器組來(lái)分解信號(hào),可以把信號(hào)分解為離散平滑分量和離散細(xì)節(jié)分量。這些離散分量間的關(guān)系可用濾波器組的形式表現(xiàn)。Mallat算法的小波分解公式：

其中k=0,1,2,…,N-1,N表示輸入采樣序列的個(gè)數(shù)；和分別是第j級(jí)小波分解后的低頻平滑分量與高頻細(xì)節(jié)分量；j的最大值為log2N,j=0時(shí),是原始輸入信號(hào)的離散序列；hk-2n是多分辨分析的尺度系數(shù)；gk-2n是多分辨分析的小波系數(shù)。從濾波器角度理解,尺度系數(shù)與小波系數(shù)可分別視作分解過(guò)程中的低通濾波器系數(shù)和高通濾波器系數(shù)[3]。

式(4)中,f(l)是濾波器系數(shù),無(wú)論是低頻系數(shù)Lo_D還是高頻系數(shù)Hi_D,都需從其第1個(gè)數(shù)開始計(jì)算,即l從0開始,其范圍是l=0,1,2,…,lmax。由此,離散小波分解過(guò)程可簡(jiǎn)化為：

1.2 Mallat算法的波形重構(gòu)及頻譜細(xì)化

重構(gòu)算法是分解算法的反演,以得到特定頻域段的低頻系數(shù),其利用相鄰兩級(jí)的低頻與高頻系數(shù)復(fù)原出上一級(jí)信號(hào)。離散小波算法的重構(gòu)公式為:

其中x1(n)和x2(n)分別為波形信號(hào)x(n)的偶數(shù)序列與奇數(shù)序列,WN=,k=0,1,2,…,N-1。

對(duì)不同尺度下的波形信號(hào)進(jìn)行重采樣和離散傅里葉變換后得到的頻譜,再經(jīng)過(guò)組合疊加即是所求的細(xì)化后的頻譜。

2 動(dòng)彈性模量測(cè)量原理

上式中，Edt為橫向動(dòng)彈性模量,單位為 Pa；G是試件質(zhì)量,單位為 kg；fmax是在外力作用下試件諧振時(shí)的峰值頻率；l、b、h分別對(duì)應(yīng)試件的長(zhǎng)、寬和高,單位為 mm；R是取決于試件邊長(zhǎng)及泊松比的修正系數(shù),對(duì)于l/h=4、泊松比大約為1/6的混凝土試件,R取1.5。在混凝土等硬質(zhì)材料的動(dòng)彈性模量的測(cè)量中,當(dāng)溫度與濕度等外界環(huán)境因素穩(wěn)定時(shí)，式(8)中其他變量的測(cè)量誤差較小，難點(diǎn)是非平穩(wěn)狀態(tài)的測(cè)試波形的頻譜計(jì)算。每個(gè)試件因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)的差異及縫隙的存在,其共振頻率都有若干個(gè),稱其為共振頻率帶,在力學(xué)測(cè)量中,建筑力學(xué)設(shè)計(jì)中的動(dòng)彈性模量測(cè)試只研究其低頻段(≤20 kHz)內(nèi)的共振頻率。

測(cè)量過(guò)程硬件框圖如圖2所示,激振器由密封在鋼制圓柱體內(nèi)腔的大功率動(dòng)圈揚(yáng)聲器構(gòu)成,垂直安裝在揚(yáng)聲器錐盆上的鋁制測(cè)桿伸出腔外3 mm。拾振器構(gòu)造與激振器類似,但揚(yáng)聲器由靈敏度較高的壓電陶瓷片替換。在測(cè)量前,首先將激振器正對(duì)混凝土試件側(cè)面的中心位置,拾振器則放置在試件同一面的側(cè)邊沿,保持激振器和拾振器的測(cè)桿都輕輕地接觸在混凝土試件表面上(測(cè)桿與試件的接觸面涂抹一薄層耦合介質(zhì))。

測(cè)量過(guò)程中,首先由DSP調(diào)制出PWM信號(hào),通過(guò)可編程運(yùn)放(PGA)調(diào)整波形幅度后,再經(jīng)功放電路功率放

根據(jù)胡克定律(Hooke's law)定義：材料在彈性形變范圍內(nèi),力與形變成正比,其比例系數(shù)稱為彈性模量,而根據(jù)測(cè)試方向分為橫向動(dòng)彈性模量和縱向動(dòng)彈性模量。在建筑工程中,混凝土的彈性模量測(cè)試以橫向外力作用測(cè)試為主,簡(jiǎn)稱為橫向動(dòng)彈性模量,下面列出了橫向動(dòng)彈性模量計(jì)算式：大后連接到激振器的正負(fù)極。激振器的測(cè)桿將激勵(lì)信號(hào)施加到混凝土試件中間點(diǎn),試件在外力作用下振動(dòng)。由于壓電效應(yīng),拾振器中的壓電陶瓷片將試件因受迫振動(dòng)而產(chǎn)生的機(jī)械波轉(zhuǎn)換為電壓信號(hào)(Vp-p＜1 mV),該非平穩(wěn)電壓信號(hào)經(jīng)低通濾波器濾除高頻干擾后送至由LM833構(gòu)成的單端運(yùn)放電路放大1 000倍,其濾波放大電路如圖3所示。

放大的電壓信號(hào)接入DSP的ADCINA0管腳,DSP以固定的采樣頻率對(duì)該電壓信號(hào)進(jìn)行模數(shù)轉(zhuǎn)換,所得的數(shù)組x(n)作為Mallat算法的原始處理數(shù)據(jù)源(每次算法的采樣點(diǎn)數(shù)N=1 024)。當(dāng)激勵(lì)源的激勵(lì)頻率接近于試件的固有頻率時(shí),產(chǎn)生共振效應(yīng),試件強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅及功率達(dá)到最大,通過(guò)算法計(jì)算出的峰值頻率fmax作為試件的共振頻率。

3 Mallat算法測(cè)量諧振頻率過(guò)程分析

3.1 DSP中Mallat算法的程序設(shè)計(jì)方法

在動(dòng)彈性模量測(cè)量中,Mallat算法是基于TMS320F2808型32位定點(diǎn)數(shù)字信號(hào)處理器(DSP)平臺(tái)實(shí)現(xiàn)的?；诠鹂偩€結(jié)構(gòu)的F2808型DSP最高運(yùn)算速度為100 MIPS,其內(nèi)置的12位ADC模塊最小轉(zhuǎn)換時(shí)間為160 ns。針對(duì)剛性材料的共振頻率低頻段分布的特點(diǎn),由Nyquist抽樣定理可知模數(shù)轉(zhuǎn)換單元的最小采樣頻率為40 kHz,但為了減小能量泄漏及幅值失真,采樣頻率fs設(shè)定為采樣點(diǎn)數(shù)N的整數(shù)倍,即fs=40.96 kHz。

程序中設(shè)置16位的ePWM模塊作為激振器的信號(hào)源：首先將來(lái)自系統(tǒng)的時(shí)鐘信號(hào)通過(guò)PLL(鎖相環(huán))預(yù)分頻到10 kHz,修改周期寄存器TyPR以改變輸出PWM方波的頻率。

在DSP程序設(shè)計(jì)中,為了提高系統(tǒng)運(yùn)算效率,Mallat算法操作通過(guò)C語(yǔ)言嵌套匯編語(yǔ)言實(shí)現(xiàn):在C函數(shù)的框架中,匯編語(yǔ)句通過(guò)動(dòng)態(tài)參數(shù)傳遞的形式進(jìn)行調(diào)用,并且對(duì)相應(yīng)C語(yǔ)句進(jìn)行優(yōu)化,以減少函數(shù)的調(diào)用次數(shù)。DSP中,當(dāng)RPT流水線啟動(dòng)后,通過(guò)循環(huán)尋址指令間接地在RAM空間構(gòu)造的循環(huán)緩存區(qū)中調(diào)用采樣序列x(n),DSP可在單指令周期內(nèi)通過(guò)硬件乘法器實(shí)現(xiàn)快速乘加操作,以便迅速完成卷積、濾波等小波運(yùn)算。

波形信號(hào)分解過(guò)程中,根據(jù)采樣數(shù)組x(n),針對(duì)式(5)中的n,從尺度n=1開始循環(huán)計(jì)算,求出濾波器系數(shù)與剩余系數(shù)的加權(quán)和,分別得到和。當(dāng)濾波器系數(shù)序列與x(n)作乘法運(yùn)算時(shí),各個(gè)系數(shù)依次相乘然后累加即為的值。依次循環(huán),再將濾波器系數(shù)序列向右移兩位,再與輸入信號(hào)相乘。最后剩下兩個(gè)值時(shí)再?gòu)牡谝粋€(gè)位置繼續(xù),從而構(gòu)成循環(huán),得到最后的與。最終獲得不同尺度下的分解波形信號(hào)[5]。

對(duì)小波分解出的低頻波形信號(hào)再重采樣后,為減小系統(tǒng)程序開發(fā)難度,DSP調(diào)用TI提供的FFT庫(kù)進(jìn)行1 024點(diǎn)的FFT變換,以進(jìn)行頻譜計(jì)算操作。

3.2 頻譜細(xì)化中頻率混淆的改進(jìn)

由于小波實(shí)際濾波器的非理想截止特征,信號(hào)卷積后各頻帶混入了相鄰頻帶成分,且各尺度的隔點(diǎn)采樣不滿足采樣定理,Mallat算法進(jìn)行頻譜計(jì)算過(guò)程易產(chǎn)生頻率混淆。

為此在重建過(guò)程中,DSP程序中引入了單子帶重構(gòu)改進(jìn)算法,即利用FFT和 IFFT(快速傅里葉逆變換)消除各重構(gòu)后的子帶信號(hào)中多余的頻率成分,以最終消除頻率混淆。對(duì)于小波分解出的信號(hào)，在以fs/2j+1為對(duì)稱中心,半徑小于fs/2j+1的頻率范圍內(nèi),會(huì)因頻譜折迭而造成虛假頻率成分。以消除取得過(guò)程中的頻率混淆為例進(jìn)行說(shuō)明：對(duì)與hk-2n卷積后的結(jié)果先 進(jìn) 行 FFT,對(duì)FFT結(jié)果中頻率大于fs/2j+1部分的譜值置零,再對(duì)置零后的結(jié)果進(jìn)行IFFT,最后對(duì)IFFT的結(jié)果進(jìn)行隔點(diǎn)采樣,將采樣后的結(jié)果作為真正的作進(jìn)一步分解[6]。圖 4為改進(jìn)后的分解過(guò)程圖。

4 試驗(yàn)分析及結(jié)果

為驗(yàn)證測(cè)試系統(tǒng)中算法的精確度,在試驗(yàn)電路中：DSP的 PWM周期定時(shí)器設(shè)定值 FT從 50 Hz～1 kHz范圍內(nèi)以 0.25 Hz/ms增加,當(dāng) FT達(dá)到 1 kHz后，以 1 Hz/ms增加到5 kHz為止；為了減小激振器中電磁線圈的溫漂,將PWM的脈寬調(diào)制為0.3,激振器輸出平均功率PT=5 W；功率譜計(jì)算時(shí)間平均為3.2 ms；圖5是標(biāo)準(zhǔn)試件頻譜圖的打印輸出結(jié)果。

由圖5可知,峰值頻率fmax=1.502 kHz,即該試件的諧振頻率為1.502 kHz,符合一般情況下混凝土的諧振頻率分布。對(duì)于l=400 mm、b=h=100 mm的標(biāo)準(zhǔn)試件,當(dāng)其質(zhì)量G=10.0 kg時(shí),由式(8)計(jì)算出動(dòng)彈性模量Edt為 20.90 GPa。

由于通常制備的混凝土試件的共振頻率分布不均勻且難以預(yù)測(cè)[7]。試驗(yàn)中,為了測(cè)試系統(tǒng)的計(jì)量準(zhǔn)確度,使用了函數(shù)信號(hào)發(fā)生器來(lái)模擬激振波形：信號(hào)源輸出不同中心頻率下峰值為0.5 mV的sinx/x周期函數(shù)波形,利用DSP硬件平臺(tái)測(cè)試FFT算法與Mallat算法在同樣采樣點(diǎn)數(shù)下的諧振頻率測(cè)量的相對(duì)誤差,結(jié)果如表1所示。

由表1可知,測(cè)試平臺(tái)在20 kHz量程時(shí),FFT算法的低頻段相對(duì)誤差較大,在高頻段與Mallat算法相同,而Mallat算法測(cè)量頻譜的相對(duì)誤差始終小于0.3%。所以,兩種算法相對(duì)于量程的精度相同,而由于Mallat算法的多尺度分析等特點(diǎn),其在低頻段內(nèi)諧振頻率測(cè)量值的可信度更高,相對(duì)于常規(guī)FFT算法有效提高了動(dòng)彈性模量的測(cè)量精度。

表1 20 kHz范圍的FFT與Mallat算法比較

本文通過(guò)在DSP平臺(tái)上實(shí)現(xiàn)Mallat算法,運(yùn)用離散小波變換的多分辨率分析方法對(duì)非平穩(wěn)的諧振波形進(jìn)行頻譜分析。利用其多尺度測(cè)量由粗至細(xì)提取出激振信號(hào)的局部頻域特征,再通過(guò)小波改進(jìn)算法去除頻率混淆,可快速準(zhǔn)確地掃描出其中的功率峰值點(diǎn)以作混凝土等剛性材料的動(dòng)彈性模量計(jì)算。

通過(guò)Mallat算法的多分辨率分析方法,保證了測(cè)試系統(tǒng)在20 kHz量程內(nèi)相對(duì)誤差小于0.3%,重復(fù)性誤差小于0.5%,滿足了建筑工程設(shè)計(jì)中混凝土動(dòng)彈性模量測(cè)量的精度需求。在利用Mallat算法研究聲信號(hào)頻譜的基礎(chǔ)上,可通過(guò)超聲波定位精度高、穿透能力強(qiáng)等特點(diǎn)來(lái)進(jìn)行混凝土結(jié)構(gòu)件的探傷定位等無(wú)損檢測(cè)研究。

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