股票價(jià)格遵循O-U過程的幾何型亞式期權(quán)定價(jià)*

劉兆鵬，張?jiān)隽?/p>

（宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽宿州 234000）

亞式期權(quán)是當(dāng)今金融衍生品市場上交易最為活躍的新型期權(quán)之一。它與標(biāo)準(zhǔn)的歐式期權(quán)不完全相同，其在期權(quán)到期日的收益不僅取決于標(biāo)的資產(chǎn)到期日的價(jià)格，還依賴于在整個(gè)期權(quán)有效期內(nèi)原生資產(chǎn)所經(jīng)歷的價(jià)格平均值。一種為算術(shù)平均;另一種為幾何平均。亞式期權(quán)是一種強(qiáng)路徑有關(guān)期權(quán)，相對于標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)，亞式期權(quán)比較便宜，對某些公司更有吸引力，它在許多金融領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，因此其定價(jià)也具有重要意義［1－3］。此處選擇能反映股票預(yù)期收益率波動變化的指數(shù)O－U過程來刻畫股票價(jià)格的變化規(guī)律，利用等價(jià)鞅測度法，給出了具有固定執(zhí)行價(jià)格的幾何型亞式期權(quán)的精確定價(jià)公式。

1 亞式期權(quán)定價(jià)模型

考慮一個(gè)連續(xù)時(shí)間無套利的完備金融市場，假定市場存在兩種資產(chǎn):一種是無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，如債券;另一種是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（或股票）。給定一個(gè)滿足通常條件濾子流{Ft}t≥0的完備概率空間（Ω，F(xiàn)，（Ft）t≥0，P）。

股票價(jià)格過程S（t）遵循廣義O-U過程:

其中σ（t）為股票的波動率，μ（t）為股票的期望回報(bào)率，μ（t）和σ（t）充分光滑使得方程（1）有嚴(yán)格唯一正解，并且S＞0，α 為常數(shù)。{W（t），0≤t≤T}是定義（Ω，F(xiàn)，（Ft）t≥0，P）在上的標(biāo)準(zhǔn) Brown 運(yùn)動。

測度Q下WQ（t）是一個(gè)Brown運(yùn)動，且股票的價(jià)格過程S（t）滿足

1981年Harrison.J.M和Pliska引進(jìn)了自籌資復(fù)制的概念，證明了如果等價(jià)鞅測度存在且唯一，則市場是完備的無套利市場，這時(shí)市場的任何衍生證券都可由市場上用于交易的基礎(chǔ)證券的自籌資投資組合完全復(fù)制，并且任何衍生證券都有唯一的合理價(jià)格，該合理價(jià)格為衍生證券的貼現(xiàn)收益關(guān)于等價(jià)鞅測度的數(shù)學(xué)期望［5－7］。對指數(shù)O-U過程模型，可以證明市場模型是完備的無套利市場［8］。

2 指數(shù)O-U過程模型下幾何型亞式期權(quán)的鞅定價(jià)

定理1 具有固定執(zhí)行價(jià)格的幾何平均亞式看漲期權(quán)的定價(jià)公式為:

最后一個(gè)等式是通過交換二重積分的積分順序而得到的。所以

可以用同樣的證明方法得到如下定理。

其中

3 結(jié)束語

在假定股票價(jià)格服從指數(shù)O-U過程模型的條件下，用鞅方法得出幾何型亞式期權(quán)定價(jià)公式，結(jié)果是對經(jīng)典Black-Scholes模型的推廣，使得定價(jià)模型更符合現(xiàn)實(shí)的金融市場，為衍生品市場參與各方投資決策提供科學(xué)的理論依據(jù)。同時(shí)，也為金融市場的不斷創(chuàng)新開辟新的思路，符合當(dāng)前證券市場發(fā)展的需要，對提升證券公司經(jīng)營的競爭力和風(fēng)險(xiǎn)管理水平具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

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