矩陣最小奇異值下界的一種估計

張 叢，馬麗賓，匡德勝

（重慶大學(xué) a.數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院;b.通信工程學(xué)院;重慶 400044）

1 基礎(chǔ)知識

此處在黃廷祝利用分塊矩陣求奇異值下界的估計的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，得到了一個更精確的界值估計.

采用如下一系列符號:其中N表示自然數(shù)集;Mn（C）表示n×n階復(fù)矩陣集合;λ（A）表示A的特征值;σn（A）表示A的最小奇異值;A*代表A的共軛轉(zhuǎn)置;‖·‖表示向量范數(shù)誘導(dǎo)的矩陣范數(shù).A奇異值用）表示.

將A的n個奇異值按降序排列，即σ1（A）≥σ2（A）≥…≥σn（A）.此外，設(shè)A=（aij）∈Mn（C），根據(jù)文獻(xiàn)［3］將A分塊為:

，則稱A為對角占優(yōu)矩陣，將具有這類性質(zhì)的一切矩陣的集合記為A∈Ω.

2 主要結(jié)果

引理 2［3］設(shè)A∈Mn（C）分塊如式（1），若A∈Ω，Aii（i∈K）為M陣，則 Reλ（A）＞0.

定理1 設(shè)A∈Mn（C）分塊如式（1），若數(shù)α滿足:

定理2 設(shè)A∈Mn（C）分塊如式（1）.若數(shù) α滿足:存在x=（x1，x2，…，xk）T＞0，使得:

3 數(shù)值算例

由文獻(xiàn)［3］的結(jié)果為σ2（A）≥1.500 0.由此處可得σ2（A）＞1.500 0.

由文獻(xiàn)［3］的結(jié)果為σ2（A）≥1.500 0.由此處可得，σ2（A）＞1.750 0.

顯然此處的估計要比文獻(xiàn)［3］中的估計更精確些.

［1］VARAH J M.A lower bound for the smallest singular value［J］.Linear Algebra，1975（2）:3-5

［2］JOHNSON C R.A Gersgorin-type lower bound for the smallest singular value［J］.Linear Algebra Appl，1989，112:1-7

［3］黃廷祝，游兆永.矩陣最小奇異值下界的估計［J］.計算數(shù)學(xué)，1997（4）:359-364

［4］LI H B，HUANG T ZH，LIU X P，et al.Singularity，Wielandt’s lemma and singular values［J］.J Comput Appl Math，2010，234:2943-2952