非平穩(wěn)LNQD序列部分和的精確漸近性

沈建偉

(浙江科技學(xué)院 理學(xué)院,杭州 310023)

1 引言及引理

設(shè){Xn,n≥1}是一隨機(jī)變量序列設(shè)φ(x)和f(x)均為[1,+∞)上的正值函數(shù)。引起人們較大興趣的研究方向是:當(dāng)ε↘0時(shí),形如的級(jí)數(shù)的收斂條件及其收斂速度。Heyde[1]首先對(duì)此進(jìn)行了研究,他給出當(dāng)EX2。該方向的研究被稱為精確漸近性,許多學(xué)者對(duì)此作了大量深入的研究。Gut和Spǎtaru等在這方面作出了許多貢獻(xiàn)[2-4]。Gut和Spǎtaru[2]給出了獨(dú)立隨機(jī)變量列的精確漸近性,Mi[5]給出了PA列的精確漸近性,Tan[6]給出了PA列生成線性過(guò)程的精確漸近性,趙月旭等[7]給出了強(qiáng)平穩(wěn)ρ-混合序列的精確漸近性。上述文獻(xiàn)給出的相依隨機(jī)變量序列的精確漸近性的研究結(jié)果都帶有平穩(wěn)條件的限制,而許多實(shí)際問(wèn)題中所出現(xiàn)的隨機(jī)變量序列卻大多都為非平穩(wěn)的,所以解除平穩(wěn)條件的束縛具有一定的理論與實(shí)際的意義。趙月旭[8]給出了非平穩(wěn)NA序列部分和精確漸近性的一些結(jié)果。

由于LNQD序列比NA序列更弱,故本文給出的非平穩(wěn)LNQD序列部分和精確漸近性的一些結(jié)果具有一定的意義。

定義1.1[9]稱隨機(jī)變量X和Y是NQD(negatively quadrant dependent)的,若對(duì)?x,y∈R都有

2 主要結(jié)果

定理2.1 設(shè){Xn,n≥1}為非平穩(wěn)的LNQD隨機(jī)變量序列,且EXk=0,EX2k＜∞,k∈N。且滿足以下條件:

假設(shè)正值函數(shù)g(x)是[1,+∞)上具有一階非負(fù)導(dǎo)數(shù)g′(x)的可導(dǎo)函數(shù),滿足以下條件:

又設(shè)

3 定理的證明

[1] HEYDE C C.A supplement to the strong law of large numbers[J].J Appl Probab,1975,12:173-175.

[2] GUT A,SPǎTARU A.Precise asymptoticsin the Baum-Katz and Davis law of large numbers[J].J Math Anal Appl,2000,248(1):233-246.

[3] GUT A,SPǎTARU A.Precise asymptotics in the law of the iterated logarithm[J].Ann Probab,2000,28(4):1870-1883.

[4] GUT A.Precise asymptotics for record times and the associated counting process[J].Stoch Proc Appl,2002,101(2):233-239.

[5] MI C J.Precise asymptotics in the Baum-Katz and Davis law of large numbers for positively associated sequences[J].Appl Math J Chinese Univ Ser B,2005,20(2):197-204.

[6] TAN X L,YANG X Y.A general result on precise asymptotics for linear processes of positively associated sequences[J].Appl Math J Chinese Univ Ser B,2008,23(2):190-196.

[7] 趙月旭,麻志浩,孫偉良.強(qiáng)平穩(wěn)ρ-混合序列的精確漸近性[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2008,28(7):822-832.

[8] 趙月旭.非平穩(wěn)NA序列部分和的精確漸近性[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2007,50(3):539-546.

[9] LEHMANN E L.Some concepts of dependence[J].Ann M ath Statist,1966,37(5):1137-1153.

[10] ZHANG L X.A functional central limit theorem for asymptotically negatively dependent random fields[J].Acta Math Hungar,2000,86(3):237-259.