一個(gè)切換多渦卷混沌系統(tǒng)的研究及其電路仿真

周武杰,翁劍楓,周 揚(yáng)

(1.浙江科技學(xué)院 信息與電子工程學(xué)院,杭州310023;2.寧波大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院,浙江寧波 315211)

混沌在數(shù)學(xué)、信息科學(xué)及其他工程領(lǐng)域獲得了國(guó)內(nèi)外廣泛的重視,成為了非線性學(xué)科的一個(gè)熱點(diǎn)課題[1-3]。近20年來,國(guó)內(nèi)外在這一領(lǐng)域的研究已經(jīng)取得了許多重要的成果,并提出了能產(chǎn)生混沌與多渦卷混沌吸引子的多種方法[4-7]?？汕袚Q混沌系統(tǒng)具有更復(fù)雜的動(dòng)力性行為,在混沌保密通信有著廣泛的應(yīng)用。文獻(xiàn)[8]構(gòu)建了一類可切換的三維自治混沌系統(tǒng),文獻(xiàn)[9]構(gòu)建了一類關(guān)聯(lián)且有多種切換方式的四維超混沌系統(tǒng),Lü和Zheng分別提出了利用系統(tǒng)分段線性函數(shù)的切換[10-11],對(duì)系統(tǒng)實(shí)施反混沌控制;以上都是在單渦卷或雙渦卷混沌系統(tǒng)中的切換,而在多渦卷混沌系統(tǒng)之間切換的相關(guān)報(bào)道較為罕見。

筆者在文獻(xiàn)[12]提出的新混沌系統(tǒng)基礎(chǔ)上,結(jié)合文獻(xiàn)[8-11]的構(gòu)建方法,提出了一個(gè)新的多渦卷混沌系統(tǒng),對(duì)新的混沌系統(tǒng)進(jìn)行了特性分析,并設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)際可行的電路,通過開關(guān)選擇器的切換,可以觀察到2種多渦卷混沌吸引子。

1 系統(tǒng)構(gòu)成與特性分析

1.1 切換多渦卷混沌系統(tǒng)的提出和計(jì)算機(jī)仿真

文獻(xiàn)[12]提出的混沌系統(tǒng)為

其中α=4.2,β=6.7,γ=4.0,ε為控制參數(shù),f(x)為分段非線性函數(shù),當(dāng)ε=13,f(x)=x-n取3時(shí),可產(chǎn)生7渦卷混沌吸引子;當(dāng)ε=12.5,f(x)=取4時(shí),可產(chǎn)生8渦卷混沌吸引子。

在式(1)的基礎(chǔ)上,利用系統(tǒng)分段非線性函數(shù)的切換方法,得到一個(gè)切換多渦卷混沌系統(tǒng)。該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

其中α=0.122,β=0.21,ε=0.2,γ為控制參數(shù),f(z)為分段非線性函數(shù),非線性函數(shù)可以為三角函數(shù)、鋸齒函數(shù)、時(shí)滯函數(shù),本文以鋸齒函數(shù)為例進(jìn)行分析。

為使式(2)產(chǎn)生奇數(shù)個(gè)多渦卷混沌吸引子,構(gòu)造非線性函數(shù) f(z)=f 1(z),其一般數(shù)學(xué)表達(dá)式為

當(dāng)n=2,γ=1.65時(shí),對(duì)式(2)和式(3)進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真,得到5渦卷混沌吸引子如圖1(a)所示。

為使式(2)產(chǎn)生偶數(shù)個(gè)多渦卷混沌吸引子,構(gòu)造非線性函數(shù) f(z)=f 2(z),其一般數(shù)學(xué)表達(dá)式為

當(dāng)n=2,γ=1.65時(shí),對(duì)式(2)和式(3)進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真,得到6渦卷混沌吸引子如圖1(b)所示。

圖1 5渦卷和6渦卷混沌吸引子Fig.1 5-scroll and 6-scroll chaotic attractors

1.2 新系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的分析

令式(2)˙x=˙y=˙z=0,得到系統(tǒng)的平衡點(diǎn)的方程為

式(7)中α=0.122,β=0.21,ε=0.2,γ=1.65,求得特征值為λ=-0.454 3或0.127 2±0.865 7i滿足Shilnikov定理。

1.3 新系統(tǒng)的分岔圖和Lyapunov指數(shù)

以5渦卷和6渦卷混度系統(tǒng)為例,對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析。隨著參數(shù)γ的變化,系統(tǒng)從倍周期分岔進(jìn)入混沌狀態(tài)。因此,γ是生產(chǎn)多渦卷混沌吸引子的重要參數(shù)。一般參數(shù)的取值范圍為γ=1.5～2.3。圖2為新系統(tǒng)的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)圖。

圖2 分岔圖和李氏指數(shù)Fig.2 Bifurcation diagram and Lyapunov exponent

2 電路的分析及設(shè)計(jì)

基于上述用切換非線性函數(shù)產(chǎn)生多渦卷混沌吸引子的工作原理。根據(jù)式(1)～(4),可設(shè)計(jì)多渦卷混沌吸引子的電路如圖3～4所示。當(dāng)開關(guān)K11打到2處,調(diào)節(jié)電阻參數(shù)可得式(1)混沌系統(tǒng),當(dāng)開關(guān)K11打到1處,調(diào)節(jié)電阻參數(shù)可得式(2)混沌系統(tǒng)。

根據(jù)式(3)和式(4)的有關(guān)參數(shù),設(shè)計(jì)了鋸齒函數(shù)序列的電路如圖3所示。它由4部分構(gòu)成:反向比較器、壓縮器、反向器和反向加法器。由圖3可得由鋸齒函數(shù)序列所產(chǎn)生的總電流i3為

式(8)中S0,S-1,S1,S-2,S2為比較器的比較電壓,為運(yùn)算放大器的輸出飽和電壓值13.5 V,K 21,K22,K23為聯(lián)動(dòng)開關(guān)。當(dāng)聯(lián)動(dòng)開關(guān)處于不同的狀態(tài),可以產(chǎn)生具有偶數(shù)個(gè)或奇數(shù)個(gè)渦卷的多渦卷混沌吸引子。

對(duì)式(1)和式(2)的狀態(tài)方程進(jìn)行電路整體的設(shè)計(jì),整個(gè)電路由反相加法器、積分器和反相器三大模塊構(gòu)成,電路結(jié)構(gòu)對(duì)稱。令τ=t/(R0C0),其中1/R0C0為時(shí)間尺度變換因子,同時(shí)也是圖4中積分器的積分常數(shù)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖5 產(chǎn)生混沌吸引子的硬件仿真結(jié)果Fig.5 Hardware simulation results of causing chaotic attractors

根據(jù)圖3～4所示的電路圖和參數(shù),采用美國(guó)國(guó)家儀器(NI)有限公司的Multisim電路仿真軟件進(jìn)行硬件仿真實(shí)驗(yàn),硬件仿真結(jié)果如圖5所示。

當(dāng)開關(guān)K 22和K 23閉合,K 21打開,K 11打到1處,S-1=-1 V,S+1=+1 V,S-2=-3 V,S2=3 V,可產(chǎn)生5渦卷混沌吸引子,硬件仿真結(jié)果如圖5(a)所示;當(dāng)開關(guān)K 21、K 22、K 23閉合,K 11打到1處,S-1=-2 V,S+1=+2 V,S-2=-4 V,S2=4 V,可產(chǎn)生6渦卷混沌吸引子,見圖5(b)。

4 結(jié) 語(yǔ)

通過非線性函數(shù)的切換,提出了一個(gè)新的多渦卷混沌吸引子的構(gòu)造方法,該方法具有一定的普適性。計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬和電路仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果,證實(shí)了這一方案的可行性。系統(tǒng)間切換方便,變化多樣,是原來混沌系統(tǒng)的補(bǔ)充和擴(kuò)展。系統(tǒng)各相平面的混沌吸引子差異較大,渦卷的個(gè)數(shù)可控,從而提高了對(duì)系統(tǒng)預(yù)測(cè)重構(gòu)的難度,實(shí)現(xiàn)這類系統(tǒng)切換混沌同步和基于這類系統(tǒng)切換混沌同步的保密通信,具有廣闊的應(yīng)用前景和使用價(jià)值。

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