一種光纖陀螺隨機(jī)噪聲時(shí)間序列建模與實(shí)時(shí)濾波方法

胡俊偉, 劉明雍, 張加全

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一種光纖陀螺隨機(jī)噪聲時(shí)間序列建模與實(shí)時(shí)濾波方法

胡俊偉, 劉明雍, 張加全

(西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院, 陜西 西安, 710072)

為了減小光纖陀螺(FOG)的隨機(jī)噪聲, 利用時(shí)間序列分析法對FOG的隨機(jī)噪聲進(jìn)行了分析與建模, 并在建立的自回歸滑動(dòng)平均(ARMA(2,1)）模型基礎(chǔ)上, 采用一種將改進(jìn)遞推增廣最小二乘(RELS)算法和Sage-Husa自適應(yīng)卡爾曼濾波算法相結(jié)合的方法, 對采集的FOG靜態(tài)輸出隨機(jī)噪聲進(jìn)行實(shí)時(shí)補(bǔ)償, 同時(shí)與標(biāo)準(zhǔn)kalman濾波算法進(jìn)行仿真對比。仿真結(jié)果表明, 該方法具有更好的補(bǔ)償效果, 可更有效地抑制FOG隨機(jī)噪聲。

光纖陀螺(FOG); 自回歸滑動(dòng)平均(ARMA)模型; 遞推增廣最小二乘法(RELS); Sage-Husa自適應(yīng)卡爾曼濾波

0 引言

光纖陀螺(fiber optic gyro, FOG)是基于Sagnac干涉原理測量載體旋轉(zhuǎn)角速度的敏感元件。以其啟動(dòng)快、耐沖擊、靈敏度高、動(dòng)態(tài)測量范圍寬、使用壽命長等突出優(yōu)點(diǎn)在慣導(dǎo)系統(tǒng)中得到廣泛的應(yīng)用。但由于材料工藝、加工工藝等條件的限制,當(dāng)前市場中絕大部分FOG都是中低精度的, 難以滿足高精度慣性導(dǎo)航的要求[1]。通過對陀螺隨機(jī)噪聲進(jìn)行補(bǔ)償來提高FOG的測量精度, 彌補(bǔ)FOG工藝質(zhì)量上的缺陷, 是進(jìn)一步提高光纖陀螺精度所面臨的主要問題。因此, 對FOG的隨機(jī)噪聲進(jìn)行建模補(bǔ)償具有十分重要的意義。

FOG隨機(jī)噪聲是一個(gè)十分復(fù)雜的隨機(jī)、時(shí)變過程, 且不易消除。靜態(tài)放置下FOG的輸出可以看成是一個(gè)隨機(jī)噪聲序列, 其特性對建模及補(bǔ)償具有重要的影響。本文采用時(shí)間序列分析法直接對FOG實(shí)測信號進(jìn)行建模, 針對利用觀測數(shù)據(jù)建立的FOG隨機(jī)噪聲自回歸滑動(dòng)平均(auto regression moving average, ARMA)模型存在一定誤差, 提出采用一種將改進(jìn)的遞推增廣最小二乘算法(recursive extended least squares, RELS)和Sage-Husa自適應(yīng)Kalman濾波算法相結(jié)合的方法, 對采集的FOG靜態(tài)輸出隨機(jī)噪聲進(jìn)行實(shí)時(shí)補(bǔ)償。仿真結(jié)果表明, 該方法具有良好的補(bǔ)償效果,可實(shí)現(xiàn)對中低精度FOG隨機(jī)噪聲的有效抑制。

1 FOG隨機(jī)噪聲ARMA建模

1.1 基于時(shí)間序列分析的ARMA模型

時(shí)間序列分析是對有序的隨機(jī)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和研究的現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)分析方法, 即將現(xiàn)在時(shí)刻的值用過去時(shí)刻的值表示, 然后預(yù)測系統(tǒng)的未來值。時(shí)間序列分析方法的基本模型是自回歸滑動(dòng)平均(auto regression moving average, ARMA) 模型, ARMA()模型可表示為[2]

ARMA)模型是針對平穩(wěn)時(shí)間序列的時(shí)序分析模型, 但中低精度光纖陀螺靜態(tài)輸出的隨機(jī)噪聲是非平穩(wěn)的時(shí)間序列, 所以在建模之前必須對數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)化處理[3]。在實(shí)驗(yàn)室條件下, 將某型低精度單軸FOG靜態(tài)水平放置, 在輸出量中減去地球自轉(zhuǎn)的天向分量, 得到一組FOG靜態(tài)隨機(jī)噪聲測試數(shù)據(jù)(見圖1)。

圖1 FOG原始隨機(jī)噪聲

對該組數(shù)據(jù)構(gòu)成的隨機(jī)噪聲序列作1階差分處理得到的時(shí)間序列如圖2所示。對差分后的序列進(jìn)行零均值、平穩(wěn)性及正態(tài)性假設(shè)檢驗(yàn), 結(jié)果符合ARMA建模要求。

圖2 1階差分后FOG隨機(jī)噪聲

建立FOG隨機(jī)噪聲的ARMA(,)模型,首先要判斷模型的階次。最終預(yù)報(bào)誤差(final rediction error, FPE)準(zhǔn)則和赤池信息量（akaike information criterion, AIC）準(zhǔn)則是判斷模型階次的常用方法。本文采用Akaike的AIC準(zhǔn)則[4], AIC定階準(zhǔn)則的定義為

式中:是擬合殘差的方差;，分別是自回歸(auto regression, AR) 模型和滑動(dòng)平均(moving average, MA)模型部分的階次;是參與估計(jì)樣本個(gè)數(shù)。

AIC準(zhǔn)則全面考慮了模型階次和殘差的相互作用, 同時(shí)將建模數(shù)據(jù)長度對模型的影響納入其中, 具有很高的準(zhǔn)確性。具體運(yùn)用時(shí), 由低到高分別計(jì)算不同階次模型的AIC值, 然后選擇AIC值最小的階次建立系統(tǒng)模型。由于FOG隨機(jī)噪聲模型的階次都較低, 一般不超過2~3階, 因此可以在模型參數(shù)數(shù)目小于3的范圍內(nèi), 取AIC最小值所對應(yīng)的模型。實(shí)際應(yīng)用中, 誤差模型通常在AR (2)，AR (3)和ARMA (2, 1)中進(jìn)行選擇[5,6]。

1.2 ARMA模型的參數(shù)遞推估計(jì)算法

對FOG隨機(jī)噪聲的補(bǔ)償是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過程, 所以樣本數(shù)據(jù)的模型參數(shù)也是動(dòng)態(tài)變化的, 把隨機(jī)噪聲模型即式(1)寫成矩陣的形式

設(shè)原ARMA()模型可以用AR()來擬合,一般取很大的值(=10～20), 則

其中,T=[-(-1),…,-(-)],T=[1,…,a], 由RLS算法可得

取2 000組FOG靜態(tài)隨機(jī)噪聲數(shù)據(jù), 用改進(jìn)的RELS算法對擬定的AR(2)、AR(3)和RMA(2,1)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì), 仿真結(jié)果見表1。從RELS估計(jì)的AIC值可以定量地說明ARMA(2,1)模型的精度更能夠反映FOG隨機(jī)噪聲的特性。

表1 FOG隨機(jī)噪聲各模型參數(shù)及AIC值

2 基于ARMA模型自適應(yīng)Kalman濾波算法

根據(jù)得到的ARMA(2,1)模型,可利用Kalman濾波對中低精度FOG的隨機(jī)噪聲進(jìn)行抑制。但Kalman濾波要求精確的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型和噪聲統(tǒng)計(jì), 不準(zhǔn)確的系統(tǒng)模型和噪聲統(tǒng)計(jì)常常引起濾波發(fā)散。由于FOG的隨機(jī)噪聲受多種因素影響, 其統(tǒng)計(jì)特性往往是時(shí)變或未知的, 利用觀測數(shù)據(jù)建立的系統(tǒng)模型參數(shù)不可避免地存在誤差。針對上述問題, 本文嘗試采用Sage-Husa自適應(yīng)Kalman濾波算法來提高FOG隨機(jī)噪聲的估計(jì)精度。

設(shè)v為ARMA(2,1)模型表示真實(shí)時(shí)間序列的估計(jì)誤差, 則系統(tǒng)的量測方程為

式中:=[1 0]為觀測矩陣；量測噪聲v和系統(tǒng)噪聲w為互不相關(guān)的白噪聲序列, 且均值分別為r和q；方差分別為R和Q。

針對式(9)和式(10)描述的帶有時(shí)變噪聲統(tǒng)計(jì)的離散系統(tǒng), 采用Sage-Husa自適應(yīng)Kalman濾波算法即可獲得FOG隨機(jī)噪聲的精確估計(jì)。該濾波算法的極大后驗(yàn)噪聲統(tǒng)計(jì)估值器為

其中:d=(1-)/(1-b+1),為經(jīng)過試驗(yàn)確定的遺忘因子。

將式（11）~式（14）與常規(guī)的Kalman濾波方程聯(lián)立即可得Sage-Husa自適應(yīng)Kalman濾波算法[8]。該算法可在線估計(jì)噪聲特性和狀態(tài)向量, 而且具有良好的收斂效果, 在工程中被廣泛采用。

3 FOG隨機(jī)噪聲實(shí)時(shí)補(bǔ)償

將改進(jìn)的RELS的算法和Sage-Husa自適應(yīng)Kalman濾波結(jié)合起來, RELS用于根據(jù)實(shí)時(shí)輸入的噪聲信號不斷的更新濾波器的系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣, 自適應(yīng)Kalman濾波可以彌補(bǔ)由于時(shí)間序列模型誤差帶來的估計(jì)精度損失。但需要注意的是, Sage-Husa自適應(yīng)Kalman濾波對濾波器的初值選取比較嚴(yán)格。而濾波開始時(shí), 改進(jìn)的RELS算法對模型的系數(shù)和方差的估計(jì)是不穩(wěn)定的, 勢必會(huì)使濾波器發(fā)散, 所以在RELS估計(jì)器的估值波動(dòng)較大時(shí), 可直接用時(shí)間序列模型的預(yù)測值作為噪聲的估計(jì)值, 不使用自適應(yīng)Kalman濾波。按上述方法對采集的FOG靜態(tài)輸出隨機(jī)噪聲進(jìn)行補(bǔ)償, 并與標(biāo)準(zhǔn)的Kalman濾波算法進(jìn)行對比, 仿真結(jié)果如圖3, 圖4以及表2所示。圖中的曲線表示濾波后的FOG隨機(jī)噪聲。表2給出了濾波前后FOG隨機(jī)噪聲的統(tǒng)計(jì)特性對比。

圖3 標(biāo)準(zhǔn)Kalman濾波后的FOG隨機(jī)噪聲

圖4 Sage-Husa自適應(yīng)Kalman濾波后的FOG隨機(jī)噪聲

表2 FOG隨機(jī)噪聲濾波前后統(tǒng)計(jì)特性比較

比較圖1、圖3和圖4可看出, 濾波后FOG的隨機(jī)噪聲明顯變小。同時(shí), 從表2也可定量地看出, 經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)Kalman濾波和Sage- Husa自適應(yīng)Kalman濾波后, 數(shù)據(jù)的均值基本沒有變化, 方差比濾波前分別減小了1個(gè)和3個(gè)數(shù)量級。這說明試驗(yàn)采用的濾波方法可在保證無偏估計(jì)的同時(shí)使數(shù)據(jù)的分散程度顯著地減小, 且Sage-Husa自適應(yīng)Kalman濾波的效果明顯優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)Kalman濾波。通過以上分析可以說明, 本文采用的Sage-Husa自適應(yīng)Kalman濾波具有更高的估計(jì)精度, 對FOG的隨機(jī)噪聲具有更好的抑制作用。

4 結(jié)束語

本文采用時(shí)間序列分析法對中低精度FOG的實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析和建模。在確定FOG隨機(jī)噪聲模型為ARMA(2,1)模型的基礎(chǔ)上, 將改進(jìn)的RELS的算法和Sage-Husa自適應(yīng)Kalman濾波相結(jié)合, 實(shí)現(xiàn)對FOG實(shí)際輸出信號的消噪處理。仿真結(jié)果表明, 采用該方法能夠有效地抑制FOG輸出信號的隨機(jī)噪聲, 對于提高慣性導(dǎo)航精度具有重要意義。

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A Time Series Modeling and Real Time Filtering Method for FOG Random Noise

HU Jun-wei, LIU Ming-yong, ZHANG Jia-quan

(College of Marine Engineering, Northwestern Polytechnical University, Xi￠an 710072, China)

In order to reduce the random noise of fiber optic gyroscope (FOG), the random noise of FOG is analyzed and modeled by time series analysis method. Based on the established auto regression moving average（ARMA）(2, 1) model, a method that combines modified recursive extended least squares (RELS) algorithm and Sage-Husa adaptive Kalman filter algorithm is proposed to compensate the static output random noise of FOG in real-time. In addition, the standard Kalman filter algorithm is used for comparison. Simulation results show that the proposed method achieves better compensation effect and more effective inhibition of the FOG random noise.

fiber optic gyroscope(FOG); auto regression moving average(ARMA) model; recursive extended least squares(RELS); Sage-Husa adaptive Kalman filter

TJ630.33

A

1673-1948(2011)01-0031-04

2010-05-20;

2010-07-05.

國家自然科學(xué)基金(50979093)，新世紀(jì)優(yōu)秀人才計(jì)劃資助(NCET-06-0877).

胡俊偉(1985-), 男, 在讀碩士, 研究方向?yàn)樗潞叫衅鲬T性導(dǎo)航與制導(dǎo).

(責(zé)任編輯: 楊力軍)