非線性濾波算法性能對(duì)比

劉德春，譚 信

（1.阿壩師范高等?？茖W(xué)校 電子信息工程系，四川 郫縣 611741；2.電子科技大學(xué)電子 工程學(xué)院，四川 成都 611731）

現(xiàn)在多傳感器聯(lián)合目標(biāo)跟蹤已經(jīng)十分廣泛，由于被動(dòng)傳感器不發(fā)射信號(hào)，只是被動(dòng)的接受信號(hào)，因此只能測(cè)量目標(biāo)的角度信息，而不能測(cè)量距離，因此狀態(tài)方程和測(cè)量方程都是非線性的，因此非線性濾波算法得到了越來(lái)越廣泛的研究和應(yīng)用[1]。

本文中重要討論三種非線性濾波算法，一類是擴(kuò)展卡爾曼濾波，這種算法是利用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)方法將非線性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)線性濾波問(wèn)題，再用卡爾曼濾波方法進(jìn)行求解，這種算法簡(jiǎn)單方便，但是在強(qiáng)非線性和非高斯條件下濾波性能急劇變差，甚至出現(xiàn)濾波發(fā)散；另一類是不敏卡爾曼濾波[2-3]，這種算法是基于UT變換的，不需要對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行線性化，而是利用采樣點(diǎn)對(duì)狀態(tài)向量的概率密度函數(shù)進(jìn)行近似，近似后的概率密度函數(shù)仍然是高斯的；第三類粒子濾波算法[4，5]是近年來(lái)興起的非線性濾波算法，是基于蒙特卡洛仿真的最優(yōu)回歸貝葉斯濾波方法，由于是利用隨機(jī)樣本對(duì)狀態(tài)估計(jì)，因此該方法不受線性化誤差和高斯噪聲的限制，這是優(yōu)于前兩種濾波算法之處。

1 三種濾波算法簡(jiǎn)介

非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程和觀測(cè)方程如式1和式2所示。

其中，xk是目標(biāo)的狀態(tài)向量，zk是目標(biāo)的觀測(cè)向量，fk是系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，hk是系統(tǒng)的觀測(cè)矩陣，uk和vk分別是系統(tǒng)狀態(tài)噪聲和觀測(cè)噪聲，之間互不相關(guān)，協(xié)方差矩陣分別是Q和R。

1.1 擴(kuò)展卡爾曼濾波算法

擴(kuò)展卡爾曼濾波算法是一種常用的非線性濾波方法，由于狀態(tài)噪聲協(xié)方差矩陣和觀測(cè)噪聲協(xié)方差矩陣一直保持不變，因此其濾波結(jié)果好壞與過(guò)程噪聲和量測(cè)噪聲的初始估計(jì)有很大的關(guān)系，另外該算法只有當(dāng)模型線性化誤差較小時(shí)才有較好的濾波精度；相關(guān)參考文獻(xiàn)指出泰勒級(jí)數(shù)保留的階數(shù)越高，濾波的性能越好，但是計(jì)算量將大幅增大，實(shí)驗(yàn)證明，二階擴(kuò)展卡爾曼濾波器的性能要優(yōu)于一階，但是計(jì)算量要大很多，因此一般情況下只采用一階擴(kuò)展卡爾曼濾波算法。

擴(kuò)展卡爾曼濾波遞推步驟如下[1]：步驟1：狀態(tài)的一步預(yù)測(cè)為

步驟2：協(xié)方差的一步預(yù)測(cè)

步驟3：量測(cè)值預(yù)測(cè)值

步驟4：量測(cè)預(yù)測(cè)值協(xié)方差

步驟5：濾波增益

步驟6：狀態(tài)更新方程

步驟7：協(xié)方差更新

1.2 不敏卡爾曼濾波算法

當(dāng)系統(tǒng)的非線性特性比較繁雜時(shí)，擴(kuò)展卡爾曼濾波算法效果常常不能令人滿意，為了得到更好的濾波效果，Julier等人便提出了基于UT變換的不敏卡爾曼濾波算法（UKF）。該算法利用一組近似高斯分布的樣本點(diǎn)經(jīng)過(guò)UT變換傳遞后，得到對(duì)狀態(tài)分布函數(shù)的近似，該算法避免了EKF算法對(duì)非線性函數(shù)近似時(shí)引入的誤差，得到了更好的濾波效果。

首先介紹UT變換的基本思想：

1）首先計(jì)算（2nx+1）個(gè)δ采樣點(diǎn)ξi和其對(duì)應(yīng)的權(quán)值Wi

式中，κ是尺度參數(shù)，滿足κ+nx≠0。nx是狀態(tài)向量的維數(shù)。

2）χi通過(guò)非線性傳遞得到新的樣本點(diǎn)

3）y的估計(jì)均值與協(xié)方差估計(jì)如下：

不敏卡爾曼濾波的算法流程如下[6]：

3）進(jìn)行觀測(cè)值的更新

由UKF算法的流程可知，該算法不需要計(jì)算非線性函數(shù)的雅克比矩陣，從而大大節(jié)省了計(jì)算量，因此速度比EKF算法要快，并且UT變換能夠更準(zhǔn)確的估計(jì)非線性函數(shù)的均值和方差，因此濾波精度要比EKF算法要高。通過(guò)非線性函數(shù)傳遞時(shí)，對(duì)于任意非線性函數(shù)，UKF是后驗(yàn)均值和協(xié)方差都可以精確到二階的高斯濾波，EKF只能獲得一階的精度，這就使UKF可以使用于任何動(dòng)態(tài)模型。另外UKF算法對(duì)狀態(tài)向量近似化后的概率密度函數(shù)仍然服從高斯分布的，因此對(duì)非高斯系統(tǒng)的濾波將會(huì)帶來(lái)極大的誤差。

1.3 粒子濾波算法

粒子濾波的基本思想是將所關(guān)心的狀態(tài)矢量表示為一組帶有相關(guān)權(quán)值的隨機(jī)樣本，并基于這些樣本和權(quán)值計(jì)算出狀態(tài)估計(jì)值。當(dāng)隨機(jī)得到的采樣點(diǎn)足夠多時(shí)，粒子估計(jì)得到的概率密度函數(shù)趨近于真實(shí)的概率密度，粒子濾波趨于最優(yōu)貝葉斯濾波。

如果所選擇的重要性密度概率密度條件獨(dú)立，即

另外希望重要性概率密度函數(shù)只與前一個(gè)時(shí)刻有關(guān)，及滿足馬爾科夫過(guò)程，則

通過(guò)以上幾式可得權(quán)值有如下關(guān)系：

當(dāng)粒子數(shù)N→∞時(shí)，求出的后驗(yàn)概率密度函數(shù)接近于真實(shí)的概率密度函數(shù)。

粒子濾波在實(shí)際操作中存在粒子退化現(xiàn)象，即隨著采樣數(shù)的增加，許多粒子的權(quán)值會(huì)變得很小，樣本的方差會(huì)隨著時(shí)間增大。避免粒子退化現(xiàn)象可以采用兩種方法：重采樣技術(shù)和選取好的重要性密度函數(shù)。重采樣技術(shù)可能會(huì)使樣本枯竭，從而損失了粒子的多樣性，樣本枯竭問(wèn)題還有待深入研究。選取好的重要性密度函數(shù)遵循兩大原則：使重要性密度函數(shù)容易采樣和使權(quán)系數(shù)的方差最小。

2 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

2.1 仿真基本思想

仿真中系統(tǒng)采用非線性的模型[7]，系統(tǒng)狀態(tài)方程和量測(cè)方程如式26和式27所示。

式中，狀態(tài)噪聲 ν1是服從伽馬分布 G（3，2），量測(cè)噪聲 ν2是服從高斯分布N（0，1），并且相互獨(dú)立，仿真時(shí)長(zhǎng)取為50 s。進(jìn)行100此獨(dú)立的蒙特卡洛仿真，粒子濾波粒子數(shù)取為200。

仿真結(jié)果如下：

圖1 濾波航跡與真實(shí)航跡Fig.1 Filtering track and real track

圖2 三種濾波算法方差對(duì)比Fig.2 Comparison of variance of three filtering algorithm

三種濾波算法綜合比較如表1所示。

表1 非線性模型下三種算法比較Tab.1 Comparison of three algorithms in the nonlinear model

通過(guò)以上仿真結(jié)果可以看出，由于采用了強(qiáng)非線性模型并且狀態(tài)噪聲是非高斯的，EKF算法的一階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)的舍入誤差較大，產(chǎn)生了明顯的濾波發(fā)散，UKF算法也產(chǎn)生了較大的濾波偏差，而PF算法則要優(yōu)于EKF和UKF算法。由表1可以看出，由于采用了非線性模型和非高斯誤差EKF和UKF算法的方差急劇增大產(chǎn)生了發(fā)散，濾波性能急劇下降，PF算法的方差相對(duì)較小，濾波性能仍然較為良好，但是付出的代價(jià)是耗用了更長(zhǎng)的仿真時(shí)間。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)三種非線性濾波算法進(jìn)行了仿真，從計(jì)算速度角度來(lái)說(shuō)，EKF和UKF要明顯優(yōu)于PF算法；從濾波精度角度來(lái)說(shuō)，如果采用強(qiáng)非線性模型和非高斯噪聲，EKF和UKF算法產(chǎn)生了明顯的發(fā)散，而PF濾波算法性能依然良好。因此，在選擇濾波算法時(shí)，在一般的非線性高斯環(huán)境中宜采用EKF算法，當(dāng)非線性增大時(shí)可以采用UKF算法，當(dāng)系統(tǒng)處于更復(fù)雜的非高斯環(huán)境時(shí)，最好采用濾波效果更好的PF算法。并且隨著計(jì)算機(jī)能力的大幅提高，PF將具有更廣泛的應(yīng)用前景。

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