混合流體對(duì)流中擾動(dòng)的成長(zhǎng)

周倩，寧利中，張淑蕓，李國(guó)棟

（西安理工大學(xué)水利水電學(xué)院，西安710048）

在一個(gè)封閉的表面溫度恒定，下表面加熱的空腔內(nèi)，對(duì)底部流體加熱使其膨脹，因?yàn)槠渖喜繙囟认鄬?duì)下部溫度較低，密度較小，下部流體在上升中接觸溫度較低的流體時(shí)能量消耗，密度變大，溫度變低，繼續(xù)加高底部溫度，當(dāng)某些底部流體的溫度足夠大，密度足夠小時(shí)，能夠上升到頂部，也不至于消耗全部能量，這樣形成溫度差，導(dǎo)致腔體內(nèi)流體運(yùn)動(dòng)的流動(dòng)現(xiàn)象即為Rayleigh-Benard對(duì)流現(xiàn)象[1-3]。

自1980年以來，混合流體在溫度梯度作用下Soret效應(yīng)的影響下，研究者發(fā)現(xiàn)了混合流體的Rayleigh-Benard對(duì)流出現(xiàn)了許多不同于純流體對(duì)流運(yùn)動(dòng)的斑圖形成過程和現(xiàn)象。當(dāng)表征流體非線性特性的參數(shù)——分離比（separation ratio）鬃＞0時(shí)的混合流體，對(duì)流系統(tǒng)出現(xiàn)了類似于純流體時(shí)的分叉情況，失穩(wěn)后的對(duì)流斑圖也是定常的[4]；而當(dāng)鬃＜0時(shí)，對(duì)流系統(tǒng)超過某個(gè)臨界值之后，對(duì)流系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)行進(jìn)波對(duì)流斑圖。因此，許多學(xué)者針對(duì)這些獨(dú)特的現(xiàn)象開展了大量的研究工作。Rayleigh-Benard對(duì)流模型已經(jīng)成為研究非平衡對(duì)流耗散系統(tǒng)的動(dòng)力特性、時(shí)空結(jié)構(gòu)（時(shí)間、空間上的變化）以及斑圖（Pattern）形成的典型模型之一[5]。本文在分離比鬃=－0.4情況下，討論了瑞利數(shù)對(duì)小擾動(dòng)的傳播特性的影響，并且分析了相應(yīng)的對(duì)流斑圖結(jié)構(gòu)。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 流體力學(xué)基本方程組[6-11]

布辛涅克斯（Boussinesq）近似假設(shè)中，認(rèn)為在由浮力誘導(dǎo)的流體運(yùn)動(dòng)中，當(dāng)溫度足夠小時(shí)，僅考慮在浮力項(xiàng)中密度的變化。在混合流體中，如果所有的長(zhǎng)度用空腔高度d,時(shí)間由d2/v，速度場(chǎng)由v/d,溫度由，濃度由，壓力由無因次化，其中k有量綱，琢為無量綱的量綱為1。則考慮了Soret效應(yīng)的流體力學(xué)基本方程組可表示為：

式中，琢和茁分別為熱引起的體積膨脹系數(shù)和濃度變化引起的體積膨脹系數(shù)。

其中，不論是液體還是氣體，溫度升高時(shí)密度都會(huì)減小，而始終琢躍0，所以琢的作用是單調(diào)的。研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)茁躍0時(shí)，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)局部行進(jìn)波、行進(jìn)波以及定常流動(dòng)狀態(tài)；當(dāng)茁約0時(shí)，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)定常流動(dòng)，這類似于純流體的情況，由此可以看出茁的作用是不一樣的。

如果擾動(dòng)量定義為瞬時(shí)值與傳導(dǎo)狀態(tài)之差的話，

這里，u=（u,0,w）,將上述方程代入基本方程，則擾動(dòng)方程為：

式中u，w分別為水平方向和垂直方向的流速。

1.2 邊界條件和初始條件

為了求解控制方程，我們需要為u，茲，濁設(shè)定邊界條件.在z=0，1處，我們強(qiáng)加一個(gè)無滑動(dòng)的，不可穿透的壁面。由于濃度流濁在無滑動(dòng)的壁面上是純擴(kuò)散的，那么

以避免濃度流透過壁面。無滑動(dòng)壁面就被寫作

溫度在壁面上就是等溫的，擾動(dòng)后溫度的邊界條件就是

當(dāng)z=0,1時(shí)，茲=0

因?yàn)榛旌狭黧w被限制在一個(gè)矩形的腔體內(nèi)，則在x=0，祝處的側(cè)邊界條件就是速度上沒有滑動(dòng)，隔熱的，濃度流在壁面上是不可穿透的，即為：

數(shù)值模擬中假定波長(zhǎng)為2倍腔體高度的平行滾動(dòng)為初始流動(dòng)，從峰值稍微偏離腔體中心的高斯分布的小擾動(dòng)開始計(jì)算滾動(dòng)微小振幅的包絡(luò)線。

1.3 數(shù)值計(jì)算方法

這里采用MAC法數(shù)值求解偏微分方程。時(shí)間導(dǎo)數(shù)利用向前差分法，空間導(dǎo)數(shù)使用中心差分法；時(shí)間步長(zhǎng)為△t=0.000 5，空間均勻網(wǎng)格的分辨率。這里。這里△t，△x，△z都用無量綱表示。由連續(xù)方程和動(dòng)量方程推導(dǎo)出來的壓力方程具有泊松方程的形式。壓力方程使用ICCG（不完整的喬里斯基共軛梯度法）方法求解。

本次數(shù)值模擬取祝=30，鬃=原0.4，Pr=13.8，L=0.01。

2 數(shù)值模擬結(jié)果

2.1 小擾動(dòng)的線性成長(zhǎng)

圖1為分離比鬃=原0.4時(shí)不同的瑞利數(shù)r下溫度場(chǎng)線性變化階段的成長(zhǎng)情況。r=1.9時(shí)，溫度場(chǎng)線性變化階段需要的時(shí)間t=172.5；r=2.0時(shí)，t=125；r=2.1時(shí)，t=95；r=2.3時(shí)，t=42.5；r=2.4時(shí)，t=41；r=2.5時(shí)，t=40；r=2.6時(shí)，t=27.5。

由圖1可以看出，r越小，線性變化階段所需要的時(shí)間越長(zhǎng)，r越大，線性變化階段所需要的時(shí)間越短，最大振幅在這個(gè)階段上茲max邑exp(酌mt)，最大振幅的成長(zhǎng)率是r的函數(shù)。

圖2為分離比鬃=原0.4的成長(zhǎng)率酌m隨r的變化情況，從圖中可以看出，不同的瑞利數(shù)r保持著不同的成長(zhǎng)率酌m。成長(zhǎng)率酌m隨著瑞利數(shù)r的增大而呈現(xiàn)增長(zhǎng)的趨勢(shì)。由此可見，成長(zhǎng)率酌m可以擬合為：

圖1 不同r時(shí)溫度隨時(shí)間的變化情況

圖2 成長(zhǎng)率酌m隨相對(duì)瑞利數(shù)r的變化

2.2 過渡階段的對(duì)流斑圖結(jié)構(gòu)

圖3為r=1.9，t=100～300時(shí)經(jīng)過小擾動(dòng)線性成長(zhǎng)以后的對(duì)流斑圖結(jié)構(gòu)，圖中橫軸為腔體的長(zhǎng)度方向，縱軸為時(shí)間長(zhǎng)度。從圖中可以看出，小擾動(dòng)在t=0～172.5一直是處于溫度場(chǎng)線性變化階段；從172.5開始，才開始出現(xiàn)非線性變化，行進(jìn)波都是向下游傳播，沒有改變對(duì)流傳播方向。剛開始出現(xiàn)非線性變化時(shí)，行進(jìn)波以緩慢的速度向下游傳播，在到達(dá)t=230左右時(shí)，行進(jìn)波的傳播速度開始加快，一直到穩(wěn)定狀態(tài)。而從x=12～18時(shí)，在t=220～260時(shí)，出現(xiàn)了3個(gè)缺陷，此后就一直處于穩(wěn)定的行進(jìn)波狀態(tài)。

當(dāng)r=2.0時(shí)過渡階段的對(duì)流斑圖結(jié)構(gòu)如圖4所示。從圖中可以清楚地看出小擾動(dòng)線性階段后的過渡狀態(tài)。當(dāng)t=125時(shí)，溫度場(chǎng)開始進(jìn)入非線性變化階段，擾動(dòng)在x=13開始，速度迅速地分別向上游和下游傳播，腔體內(nèi)出現(xiàn)了有缺陷的對(duì)傳波,行進(jìn)波方向從缺陷向兩邊傳播。這是從線性階段向非線性轉(zhuǎn)化的第2種過渡形式。

圖3 r=1.9時(shí)溫度場(chǎng)隨時(shí)間變化

圖4 r=2.0時(shí)溫度場(chǎng)隨時(shí)間變化

圖5 r=2.1時(shí)溫度場(chǎng)隨時(shí)間變化。

當(dāng)r=2.1時(shí)，出現(xiàn)了第3種過渡過程，如圖5所示。從圖中可以看到對(duì)流行進(jìn)波的擺動(dòng)過程。腔體內(nèi)小擾動(dòng)是從t=95開始進(jìn)入非線性變化階段，這時(shí)，行進(jìn)波在x=11～14處開始有了缺陷，傳播到t=200時(shí)，缺陷變小了，但一直存在著。缺陷左側(cè)的行進(jìn)波向下游傳播，而缺陷右側(cè)的行進(jìn)波卻向上游傳播。行進(jìn)波的傳播方向始終沒有發(fā)生改變。這類似文獻(xiàn)[10]的觀測(cè)結(jié)果。

3 結(jié)語(yǔ)

本文通過二維流體力學(xué)擾動(dòng)方程的數(shù)值模擬，發(fā)現(xiàn)成長(zhǎng)率酌m是隨著瑞利數(shù)r的增大而增大的，可表示為酌m=0.039 8 r7.8061。小擾動(dòng)從線性階段向非線性的轉(zhuǎn)化過程可分為3種類型。小擾動(dòng)的成長(zhǎng)是依賴于瑞利數(shù)r的。

[1]寧利中，原田義文，八幡英雄.二成分混合流體Rayleigh-Benard 對(duì)流[J].西安理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，20（4）：356-360.

[2]ASSENHEIMER M，STEINBERG V.Transition Between Spiral and Target States in Rayleigh-Benard Convection[J].Nature，1994，367：345-347.

[3]NING Lizhong.Rayleigh-Benard Convection in a Binary Fluid Mixture with and Without Lateral Flow[M].Xi’an：Northwest A&F University Press，2006：1-11.

[4]CHANDRASEKHAR S.Hydrodynamics and Hydromagnetic Stability[M].Oxford University Press，1961：1-71.

[5]CROSS M C,HOHENBERG P C.Pattern Formation Outside of Equilibrium[J].Rev Mod Phys,1993,65（3）:851-1 112.

[6]YAHATA H.Dynamics of Convection in Binary Fluid Mixtures[J].Prog Theor Phys,Supplement,1989,99:493-501.

[7]NING Lizhong.Traveling Wave Convection in Binary Fluid Mixtures[M].Tokyo:A Bell and Howell Company,1999.1-138

[8]BARTEN W,LUCKE M,KAMPS M,et al.Convection in Binary Fluid Mixtures I.Extended Traveling Wave and Stationary States[J].Phys Rev 1995,E51（6）:5636-5661

[9]NING Lizhong,HARADA Y,YAHATA H.Modulated Traveling Waves in Binary Fluid Convection in an Intermediate-Aspect-Ratio Rectangular [J].Prog Theor Phys,1997,97（6）:831-848.

[10]NING Lizhong,HARADA Y,YAHATA H.Formation Process of the Traveling Wave State with a Defect in Binary Fluid Convection[J].Prog Theor Phys 1997,98（3）:551-566.

[11]NING Lizhong,HARADA Y,YAHATA H.Dynamics of Localized Traveling Wave in Binary Fluid Mixtures[J].J Hydrodyn 1998,B10（2）:29-39.