大波動(dòng)短時(shí)公路交通流K-近鄰預(yù)測(cè)的穩(wěn)健組合方法

張 軍，王寒凝，楊正瓴，劉正光，葉劍華

(1. 天津大學(xué)電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，天津 300072；2. 天津市過(guò)程檢測(cè)與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072)

K-近鄰(K-nearest neighbor，k-NN)非參數(shù)回歸是公路短時(shí)交通流預(yù)測(cè)的可靠方法之一[1-13]．它是一種無(wú)參數(shù)、可移植、高預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率的算法，其預(yù)測(cè)誤差比較小，且誤差分布情況良好．非參數(shù)回歸預(yù)測(cè)不需要先驗(yàn)知識(shí)，只需足夠的歷史數(shù)據(jù)．該算法認(rèn)為系統(tǒng)所有因素之間的內(nèi)在聯(lián)系都蘊(yùn)涵在歷史數(shù)據(jù)里，因此直接從歷史數(shù)據(jù)中得到信息而不是為歷史數(shù)據(jù)建立一個(gè)近似模型．它未將歷史數(shù)據(jù)作平滑處理，因此，較適合在有特殊事件發(fā)生時(shí)使用[14-15]．從 1991年以來(lái)，該方法受到許多短時(shí)公路交通流預(yù)測(cè)研究者的重視，從而得到不斷的改進(jìn)[1-13]．

K-近鄰非參數(shù)回歸預(yù)測(cè)有4個(gè)主要步驟：歷史數(shù)據(jù)準(zhǔn)備，樣本數(shù)據(jù)庫(kù)生成，狀態(tài)向量定義及 K-近鄰搜索，預(yù)測(cè)算法的確定[3,10]．它在歷史數(shù)據(jù)中搜索出與當(dāng)前點(diǎn)(模式)最相似的 K個(gè)“近鄰”，并用這 K個(gè)“近鄰”預(yù)測(cè)下一個(gè)時(shí)段的流量．提高該方法效果的兩個(gè)主要途徑是改進(jìn) K-近鄰的搜索和改進(jìn)預(yù)測(cè)算法(參數(shù)調(diào)整規(guī)則)．

目前，已有的改進(jìn)工作主要有：采用定點(diǎn)的搜索來(lái)提高 K-近鄰的搜索；采用結(jié)合相關(guān)系數(shù)[9-10]、模糊理論[4]、聚類(lèi)[7,11]等方法來(lái)提高K-近鄰的質(zhì)量(與當(dāng)前點(diǎn)相似性)；采用對(duì) K-近鄰的調(diào)整技術(shù)來(lái)提高預(yù)測(cè)效果[1-3]等．但仍然存在搜索量偏大、對(duì)波動(dòng)大的交通流預(yù)測(cè)效果變差等不足．

在此基礎(chǔ)上，筆者用相關(guān)系數(shù)來(lái)替代原來(lái)的距離進(jìn)行K-近鄰的選擇；采用K-近鄰的線(xiàn)性調(diào)整技術(shù)，結(jié)合穩(wěn)健的組合預(yù)測(cè)，來(lái)改進(jìn)現(xiàn)有的 K-近鄰非參數(shù)回歸預(yù)測(cè)，以期達(dá)到提高實(shí)時(shí)性、預(yù)測(cè)可靠性等效果，特別是改善大波動(dòng)交通流的預(yù)測(cè)效果．

1 K-近鄰的穩(wěn)健組合預(yù)測(cè)方法

1.1 K-近鄰非參數(shù)回歸預(yù)測(cè)的基本方法

將觀察或測(cè)量得到的輸入-輸出時(shí)間序列對(duì)記為［X ( s), Y ( s )］，s＝1，…，n 是正整數(shù)，稱(chēng)它們?yōu)閷W(xué)習(xí)樣本．對(duì)于某給定的輸入 X ( t)、預(yù)測(cè)輸出 Y ( t) ，K-近鄰方法首先按照距離找到最靠近 X ( t)的K個(gè) X ( s)，s＝s1，…，sK．預(yù)測(cè)結(jié)果為

改進(jìn) K-近鄰預(yù)測(cè)的 2個(gè)主要熱點(diǎn)是 K個(gè)近鄰X( s)的優(yōu)選以及由 K個(gè) Y ( s)形成預(yù)測(cè)結(jié)果( t)的方法．

1.2 采用相關(guān)系數(shù)代替距離

現(xiàn)有選擇 K個(gè)近鄰 X ( s)的方法，大多數(shù)是以“距離”為標(biāo)準(zhǔn)的．這里的距離，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言講，就是一種“范數(shù)”．最常見(jiàn)的是歐幾里德距離(2-范數(shù))．以公路交通流預(yù)測(cè)為例，X ( s)可以是某些歷史的交通流數(shù)據(jù)，或者是考慮天氣、星期等的影響因子．只以距離為選擇標(biāo)準(zhǔn)，會(huì)有如下4個(gè)不足．

(1) 對(duì)于波動(dòng)大的交通流，難以找到高質(zhì)量的K-近鄰．同時(shí)需要過(guò)長(zhǎng)的歷史數(shù)據(jù)，從而使得距離小的各近鄰，由于相距時(shí)間太久帶來(lái)的交通流性質(zhì)變化，不利于提高預(yù)測(cè)效果，即難以均衡“搜索時(shí)間”和“K-近鄰的相似性”之間的矛盾．

(2) 采用標(biāo)準(zhǔn)差(方差的開(kāi)方)進(jìn)行原始交通流折算，以消除不同天的交通流波動(dòng)性[1，3]．對(duì)于樣本容量比較小的 X ( s)，方差估計(jì)的置信區(qū)間比較長(zhǎng)，即標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算的真實(shí)性不理想．

(3) 距離(范數(shù))只反映當(dāng)前點(diǎn)和 K-近鄰的“靠近性”，不直接反映它們之間的“形狀相似性”．而形狀相似性則直接反映交通流的變化發(fā)展規(guī)律．

(4) 為了提高“K-近鄰的相似性”，文獻(xiàn)[9-10]采用增加相關(guān)系數(shù)作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)．這樣雖然提高了K-近鄰的相似性，但是以增大歷史數(shù)據(jù)的搜索(降低實(shí)時(shí)性)為代價(jià)的．

具體的選擇方法有聚類(lèi)[7,11]和平衡二叉樹(shù)[13]．

本文的改進(jìn)為：只采用相關(guān)系數(shù)作為選擇 K-近鄰的標(biāo)準(zhǔn)．具體方法是將文獻(xiàn)[9-10]中的“距離”步驟跳過(guò)，只保留相關(guān)系數(shù)作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)．這樣改進(jìn)的優(yōu)點(diǎn)有 2個(gè)：①相關(guān)系數(shù)的幾何意義是 X ( t)與近鄰間“形狀的線(xiàn)性相似性”[16]，它直接反映交通流的發(fā)展規(guī)律，用最大正相關(guān)系數(shù)選擇的各 K-近鄰，在交通流的具體數(shù)值上可以有很大的差異，從而改善了“大波動(dòng)”情況下 K-近鄰的優(yōu)選，這樣就省去了用標(biāo)準(zhǔn)差折算歷史數(shù)據(jù)的預(yù)處理，提高了實(shí)時(shí)性；②由于相關(guān)系數(shù)可以將數(shù)值差異很大的 K-近鄰選擇進(jìn)來(lái)，使搜索需要的歷史數(shù)據(jù)量減少，不僅提高了實(shí)時(shí)性，還提高了 K-近鄰間的相似性，即有利于克服交通流性質(zhì)的長(zhǎng)期變化引起的不利影響．

這種方法等效于將每天的交通流標(biāo)準(zhǔn)化：用每天的交通流平均值，對(duì)全天交通流折算，消除了“大波動(dòng)”交通流按照“距離”選擇K-近鄰的困難．

1.3 采用穩(wěn)健的組合預(yù)測(cè)改進(jìn)預(yù)測(cè)效果

除了采用式(1)的直接平均外，還可以采用各種先進(jìn)方法替換式(1)以得到更好的預(yù)測(cè)效果．現(xiàn)有的方法包括當(dāng)前模式與近鄰間的歐式距離調(diào)整[1,12]、相似度調(diào)整[13]等．

本文的2類(lèi)改進(jìn)是：①采用當(dāng)前模式和 K-近鄰的歐氏距離，調(diào)整各K-近鄰對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)值，這等價(jià)于用每天交通流的平均值，再折算回實(shí)際的歷史交通流數(shù)據(jù)，它對(duì)應(yīng)組合預(yù)測(cè)策略中的簡(jiǎn)單平均法[17-18]；②采用當(dāng)前模式和 K-近鄰的方差，按照組合預(yù)測(cè)策略中的方差倒數(shù)法合成預(yù)測(cè)的結(jié)果[17-18]，具體方法見(jiàn)式(2)．

實(shí)際上，各 K-近鄰對(duì)應(yīng)的其后交通流，就是待預(yù)測(cè)交通流的一個(gè)預(yù)測(cè)值．本文采用組合預(yù)測(cè)策略代替式(1)進(jìn)行預(yù)測(cè)，與現(xiàn)有其他改進(jìn)方法相比較為簡(jiǎn)單，且預(yù)測(cè)效果好．

方差倒數(shù)法合成 K-近鄰預(yù)測(cè)的具體方法如下所述．本文只采用歷史交通流，未考慮其他影響，故Y( s)就是 X ( s)．

記K個(gè)近鄰 X ( s)對(duì)應(yīng)交通流 Y ( s)在(t+1)點(diǎn)的數(shù)值為 y ( t + 1 )，則預(yù)測(cè)值為

式中：ai是組合預(yù)測(cè)中的方差倒數(shù)法的系數(shù)[17-18]，

即組合預(yù)測(cè)中的簡(jiǎn)單平均法．進(jìn)一步，若各 bi＝0，式(3)就退化成式(1)．

2 改進(jìn)的理論分析

本文改進(jìn)的主要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)[17]和穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)學(xué)[19]．

當(dāng)近鄰 X ( s)對(duì)應(yīng)的交通流點(diǎn)數(shù)不多時(shí)，可認(rèn)為其概率密度函數(shù)近似不變(近似平穩(wěn)的)．這樣，無(wú)論是歐氏距離、方差，還是相關(guān)系數(shù)的計(jì)算，得到的只是其真實(shí)值的“點(diǎn)估計(jì)”值，即各統(tǒng)計(jì)量的真實(shí)值，是分布在該“點(diǎn)估計(jì)”值周?chē)?置信區(qū)間)．而置信區(qū)間的長(zhǎng)度，隨著樣本容量的增大而明顯變?。粲洏颖救萘繛?N，則置信區(qū)間的長(zhǎng)度可以按照1或類(lèi)似的方式減?。?/p>

特別地，實(shí)際交通流歷史數(shù)據(jù)中總存在一些outliers(離群值、異常數(shù)據(jù))，它們使統(tǒng)計(jì)量真實(shí)值和估計(jì)值的差異更明顯．增大樣本容量、采用統(tǒng)計(jì)量的穩(wěn)健估計(jì)方法是改進(jìn)估計(jì)值的 2種有效途徑．由于增大樣本容量會(huì)降低實(shí)時(shí)性，并增大交通流數(shù)據(jù)性質(zhì)變化引起的誤差，所以應(yīng)優(yōu)先采用穩(wěn)健估計(jì)方法．標(biāo)準(zhǔn)差穩(wěn)健估計(jì)的具體計(jì)算方法可參見(jiàn)文獻(xiàn)[19]，本文采用的有下面式(4)～(7)．

2.1 采用相關(guān)系數(shù)代替距離

K-近鄰的相關(guān)系數(shù)選擇方法直接解決了各天交通流大波動(dòng)的不良影響．

(1) 省去了原始交通流數(shù)據(jù)按每天“標(biāo)準(zhǔn)差”折算的預(yù)處理；

(2) 由于平均值估計(jì)的置信區(qū)間明顯比方差估計(jì)的置信區(qū)間窄[16,19]，從而有效提高了估計(jì)的準(zhǔn)確性；在下一步的預(yù)測(cè)中，采用平均值折算預(yù)測(cè)的效果會(huì)得到提高；

(3) 減小了預(yù)測(cè)必須采用的歷史數(shù)據(jù)量，降低了交通流的長(zhǎng)期變化對(duì)預(yù)測(cè)的不利影響．

2.2 采用穩(wěn)健的組合預(yù)測(cè)改進(jìn)預(yù)測(cè)效果

穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個(gè)分支，研究當(dāng)樣本數(shù)據(jù)總體假定稍有變動(dòng)及記錄數(shù)據(jù)有失誤時(shí)，統(tǒng)計(jì)方法的適應(yīng)性問(wèn)題，即主要研究對(duì)總體分布的穩(wěn)健性和對(duì)異常數(shù)據(jù)的穩(wěn)健性．交通流是復(fù)雜時(shí)間序列，其“總體分布”是隨時(shí)間變化的；且交通流含有較高的異常數(shù)據(jù)(outliers)．采用穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)方法，可以明顯抑制這些干擾的不利影響[19]．如按照定義計(jì)算σ，在 5%的干擾下，計(jì)算值會(huì)是實(shí)際值的 2倍以上．總之，樣本容量有限、預(yù)測(cè)誤差的概率分布函數(shù)不可知、異常數(shù)據(jù)這 3種影響因素決定了方差和相關(guān)系數(shù)在實(shí)際工作中不能準(zhǔn)確求出．采用穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)方法，可顯著提高方差和相關(guān)系數(shù)計(jì)算值的真實(shí)性．

預(yù)測(cè)式(2)中需要第i個(gè)近鄰 X ( si)標(biāo)準(zhǔn)差σ的估計(jì)．穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)中σ常見(jiàn)的穩(wěn)健估計(jì)方法[19]有

3 示 例

圖 1(a)是某公路 33,d的 3,min統(tǒng)計(jì)間隔交通流；圖 1(b)是按照“每天平均值”折算后的相對(duì)值．容易驗(yàn)證，按“每天平均值”折算后的相對(duì)值，比采用“標(biāo)準(zhǔn)差”的折算值更平穩(wěn)．

圖 2是該交通流最后 3天的小波周期圖．根據(jù)時(shí)間序列分析中的 Wold分解定理(1938年)和Cramer分解定理(1961年)，交通流可以分解為“復(fù)雜的信號(hào)(確定的和隨機(jī)的)+白噪聲”．其中的白噪聲形成一個(gè)目前任何科技方法都不能預(yù)測(cè)的誤差極限．目前還沒(méi)有可靠的方法來(lái)精確分離出白噪聲．

從工程角度看，采用小波去噪方法可以近似分離白噪聲．這可用于客觀地評(píng)價(jià)某預(yù)測(cè)方法的效果．

圖2 交通流最后3天的小波周期Fig.2 Wavelet transform of the latest 3 days of traffic flow

采用最后 3天每天下午 16：38—19：12(第 0.7～0.8天)共48點(diǎn)的數(shù)據(jù)作為預(yù)測(cè)對(duì)象．表1為采用小波去噪得到的預(yù)測(cè)誤差極限，即交通流中包含的白噪聲引起的預(yù)測(cè)誤差．其中 MPE是平均百分誤差(mean percentage error)，MAPE是平均絕對(duì)百分誤差(mean absolute percentage error)．

表1 小波去噪得到的預(yù)測(cè)誤差極限Tab.1 Forecasting error limits estimated by wavelet denoise

第31～33天每天上述48點(diǎn)滾動(dòng)預(yù)測(cè)采用 X ( s)的樣本容量為20，近鄰個(gè)數(shù) K＝6．采用本文改進(jìn)方法得到的預(yù)測(cè)誤差見(jiàn)表2．s、dn、MAD、df、sbi依次表示方差倒數(shù)法中標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算采用的方法，見(jiàn)公式(4)～(7).

可見(jiàn)，由于交通流的波動(dòng)性、存在離群值，簡(jiǎn)單平均法和非穩(wěn)健的方差倒數(shù)法 s預(yù)測(cè)效果不如穩(wěn)健的方差倒數(shù)法 dn、MAD、df、sbi效果好．

表2 本文方法的預(yù)測(cè)誤差Tab.2 Forecasting errors by the proposed methods in this paper

圖 3為第 33天采用 dn進(jìn)行方差倒數(shù)法預(yù)測(cè)的結(jié)果．

可見(jiàn)，預(yù)測(cè)值的波動(dòng)比實(shí)際交通流小，因?yàn)閷?shí)際交通流里包含白噪聲的瞬時(shí)值是不能預(yù)測(cè)的．

圖3 第33.7—33.8天的交通流歷史數(shù)據(jù)與預(yù)測(cè)值Fig.3 Forecasting data and the original traffic flow Fig. 3 between the 33.7 and the 33.8 days

4 結(jié) 語(yǔ)

K-近鄰非參數(shù)回歸預(yù)測(cè)是一種受到廣泛重視的公路短時(shí)交通流預(yù)測(cè)方法．本文對(duì) K-近鄰非參數(shù)回歸預(yù)測(cè)方法做了如下改進(jìn)．①直接采用相關(guān)系數(shù)進(jìn)行 K-近鄰的選擇．不僅減少了數(shù)據(jù)的預(yù)處理，還適用于大波動(dòng)的數(shù)據(jù)，減少了預(yù)測(cè)所必須的歷史數(shù)據(jù)．②K個(gè)近鄰對(duì)應(yīng)的下一點(diǎn)歷史數(shù)據(jù)，調(diào)整后就是待預(yù)測(cè)交通流的 K個(gè)預(yù)測(cè)值．采用組合預(yù)測(cè)的方差倒數(shù)法合成它們，可以得到好的預(yù)測(cè)結(jié)果．③為了降低離群值的不利影響，可以采用穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)的方法來(lái)計(jì)算各標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值．結(jié)果表明，采用穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)的方差倒數(shù)法，具有較為穩(wěn)定的預(yù)測(cè)效果，可以提高預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率1%以上．

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