空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)連續(xù)倒塌分析的瞬時(shí)移除構(gòu)件法

丁 陽(yáng)，葛金剛，李忠獻(xiàn)

(1. 天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津 300072；

2. 濱海土木工程結(jié)構(gòu)與安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(天津大學(xué))，天津 300072)

結(jié)構(gòu)的連續(xù)倒塌是指結(jié)構(gòu)在意外荷載(如地震、爆炸、撞擊、火災(zāi)等)作用下局部產(chǎn)生損傷，導(dǎo)致產(chǎn)生結(jié)構(gòu)單元失效的一系列連鎖反應(yīng)，繼而發(fā)生局部或整體倒塌[1]．關(guān)于連續(xù)倒塌，學(xué)者們提出了很多分析方法和設(shè)計(jì)建議，并編制了分析與設(shè)計(jì)規(guī)程，如英國(guó)標(biāo)準(zhǔn)[2]、歐洲規(guī)范[3]、美國(guó) GSA 和 DoD 發(fā)布的相關(guān)規(guī)程[4]等．在連續(xù)倒塌分析方法中，多傳遞路徑法(又稱拆除構(gòu)件法)由于簡(jiǎn)單直接被廣泛采用．多傳遞路徑法主要過(guò)程為拆除結(jié)構(gòu)中部分構(gòu)件，模擬構(gòu)件失效，分析剩余結(jié)構(gòu)強(qiáng)度，判斷結(jié)構(gòu)是否發(fā)生連續(xù)倒塌；如發(fā)生連續(xù)倒塌，則通過(guò)增強(qiáng)拆除后的剩余構(gòu)件強(qiáng)度來(lái)避免連續(xù)倒塌，從而提高結(jié)構(gòu)抗連續(xù)倒塌能力[5]．

構(gòu)件的失效過(guò)程是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過(guò)程，在瞬間失效期間剩余結(jié)構(gòu)將進(jìn)行內(nèi)力、變形和剛度的重分布，產(chǎn)生明顯的動(dòng)力效應(yīng)．同時(shí)連續(xù)倒塌伴隨著強(qiáng)烈的幾何非線性和材料非線性，因此考慮動(dòng)力效應(yīng)和雙重非線性的動(dòng)力分析被認(rèn)為是較為合理準(zhǔn)確的研究結(jié)構(gòu)連續(xù)倒塌的分析方法．文獻(xiàn)[6]針對(duì)單自由度分析模型，提出了 3種動(dòng)力反應(yīng)分析思路：瞬時(shí)剛度退化法、瞬時(shí)加載法及初始條件法．

無(wú)論使用多傳遞路徑法還是文獻(xiàn)[6]中提出的 3種方法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行連續(xù)倒塌分析，均需首先假定結(jié)構(gòu)失效構(gòu)件位置和失效構(gòu)件數(shù)量．與框架結(jié)構(gòu)相比，大跨度空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，其桿件數(shù)量眾多，通過(guò)移除某根或某幾根桿件可能并不會(huì)引起結(jié)構(gòu)的連續(xù)倒塌；且在地震等動(dòng)力荷載作用下，桿件失效位置并不確定，隨動(dòng)力作用方向和大小的變化而變化．因此使用多傳遞路徑法對(duì)大跨度空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)進(jìn)行連續(xù)倒塌分析將導(dǎo)致計(jì)算量龐大且效率較低．另外，多傳遞路徑法未能考慮動(dòng)力彈塑性效應(yīng)、初始平衡態(tài)(初始應(yīng)力、變形、剛度)對(duì)結(jié)構(gòu)受到局部破壞后的影響以及偶然荷載作用對(duì)剩余結(jié)構(gòu)構(gòu)件造成的損傷，單純只是移除構(gòu)件來(lái)模擬失效，與實(shí)際情況存在明顯差異．

為此，筆者采用顯式中心差分法，以損傷累積為構(gòu)件破壞準(zhǔn)則，提出了實(shí)時(shí)刪除失效構(gòu)件的瞬時(shí)移除構(gòu)件法．此方法無(wú)需假定構(gòu)件失效位置及失效時(shí)刻，考慮了動(dòng)力荷載作用下結(jié)構(gòu)的幾何非線性和物理非線性以及構(gòu)件瞬時(shí)失效對(duì)剩余結(jié)構(gòu)的動(dòng)力效應(yīng)．

1 破壞準(zhǔn)則

采用合理的破壞準(zhǔn)則是進(jìn)行連續(xù)倒塌分析的前提．結(jié)構(gòu)和構(gòu)件的破壞準(zhǔn)則目前主要有強(qiáng)度破壞準(zhǔn)則、變形破壞準(zhǔn)則、能量破壞準(zhǔn)則、基于低周疲勞的破壞準(zhǔn)則、基于最大變形和滯回耗能雙重指標(biāo)的破壞準(zhǔn)則等[7-9]．文獻(xiàn)[10]基于低碳鋼試件在一維循環(huán)荷載作用下的滯回曲線和能量損傷理論，提出了預(yù)測(cè)鋼結(jié)構(gòu)及構(gòu)件在地震作用下的損傷演化規(guī)律及計(jì)算方法．文獻(xiàn)[11]在此基礎(chǔ)上提出三維應(yīng)力狀態(tài)下鋼材的損傷累積模型，即損傷

式中： pm為循環(huán)過(guò)程中最大等效塑性應(yīng)變；pi為第i個(gè)加載半周期的等效塑性應(yīng)變；為極限塑性應(yīng)變；β為損傷權(quán)值；Rv為三軸應(yīng)力因子，反映了三軸應(yīng)力比的影響；ν為泊松比；σm為平均主應(yīng)力；σij為應(yīng)力張量．

隨著材料損傷的不斷累積，鋼材的彈性模量ED、屈服強(qiáng)度σs,D也不斷降低，可分別表示為[10]

式中：ED和 E0分別為損傷變量值等于D和0時(shí)對(duì)應(yīng)的彈性模量值；s,Dσ和s0σ分別為損傷變量值等于D和0時(shí)對(duì)應(yīng)的屈服強(qiáng)度；ξ1和ξ2分別為材料系數(shù)．

該損傷累積模型以試驗(yàn)為基礎(chǔ)，同時(shí)考慮了最大塑性應(yīng)變和循環(huán)滯回耗能的影響．筆者通過(guò)編寫(xiě)程序?qū)⒋四Ｐ鸵氲讲牧媳緲?gòu)模型中，并以此模型作為構(gòu)件的破壞準(zhǔn)則．

2 瞬時(shí)移除構(gòu)件法

結(jié)構(gòu)的連續(xù)倒塌屬大變形動(dòng)力非線性問(wèn)題，使用隱式積分法求解存在收斂困難，因此基于顯式積分法，提出了以損傷累積作為構(gòu)件破壞準(zhǔn)則，并實(shí)時(shí)刪除失效構(gòu)件，釋放其內(nèi)力的瞬時(shí)移除構(gòu)件法．此方法考慮了構(gòu)件瞬時(shí)失效對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力效應(yīng)，初始平衡態(tài)對(duì)結(jié)構(gòu)受到局部破壞后的影響，偶然荷載作用對(duì)剩余結(jié)構(gòu)其他構(gòu)件造成的損傷．

根據(jù)有限單元法可知，節(jié)點(diǎn)處動(dòng)力學(xué)平衡方程為[12]

瞬時(shí)移除構(gòu)件法以中心差分法為基礎(chǔ)，其主要過(guò)程如下所述．

(2) 根據(jù)中心差分法對(duì)式(7)進(jìn)行積分，得

(3) 由式(9)可得單元應(yīng)變?cè)隽縟ε，對(duì)于失效單元設(shè)置其應(yīng)力σ=0，未失效單元根據(jù)考慮損傷累積的本構(gòu)關(guān)系計(jì)算單元積分點(diǎn)處應(yīng)力，即

(6) 設(shè)置時(shí)間t為t+Δt，返回步驟(1)．

3 方法驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文中提出的瞬時(shí)移除構(gòu)件法的正確性，分別應(yīng)用本文方法和文獻(xiàn)[6]提出的瞬時(shí)剛度法、瞬時(shí)加載法及初始條件法對(duì)圖 1(a)所示雙桿模型進(jìn)行動(dòng)力非線性分析，并對(duì)比節(jié)點(diǎn) a的豎向位移．由于應(yīng)用瞬時(shí)加載法及初始條件法時(shí)均需移除失效桿件，因此本文應(yīng)用這兩種方法進(jìn)行對(duì)比分析時(shí)所用模型為圖1(b)所示的懸臂梁．

圖1 結(jié)構(gòu)計(jì)算模型Fig.1 Model for calculation of structure

有限單元法中空間梁?jiǎn)卧Ｐ投x空間梁質(zhì)量平均分配于兩端節(jié)點(diǎn)，為使模擬條件相同，在懸臂梁自由端施加集中質(zhì)量，數(shù)值為豎向桿件質(zhì)量的1/2．對(duì)比分析過(guò)程可簡(jiǎn)述為：①應(yīng)用瞬時(shí)移除構(gòu)件法對(duì)雙桿模型進(jìn)行分析，如圖 1(a)所示，逐漸增大豎向荷載，直至豎向桿件失效并被移除，確定豎桿失效時(shí)所施加的荷載 F0、加載時(shí)間 t0及節(jié)點(diǎn) a的豎向位移x0；②應(yīng)用瞬時(shí)剛度法以圖 2所示力的加載方式對(duì)雙桿模型進(jìn)行分析，當(dāng)施加的荷載為 F0時(shí)，將豎桿剛度設(shè)置為0；③應(yīng)用瞬時(shí)加載法以圖2所示力的加載方式對(duì)懸臂梁進(jìn)行分析，當(dāng)施加的荷載為 F0時(shí)，在懸臂梁自由端施加與 F0大小相等、方向相反的豎向荷載；④應(yīng)用初始條件法，以圖 3所示位移的加載方式在懸臂梁自由端施加豎直向下的位移荷載，當(dāng)所施加位移荷載為 x0時(shí)，瞬時(shí)移除所施加的位移荷載．采用以上4種分析方法分析節(jié)點(diǎn)a的位移，不同方法所得節(jié)點(diǎn) a位移時(shí)程對(duì)比如圖 4所示．對(duì)雙桿結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析時(shí)，為使豎向桿件先于橫向桿件失效，橫桿選取較大截面，豎桿選取較小截面，桿件截面分別為Φ245 mm×12 mm和Φ32 mm×2.5 mm．材料本構(gòu)模型選用等向強(qiáng)化本構(gòu)，桿件材料性能參數(shù)如表 1所示．阻尼采用 Reileigh阻尼，阻尼比取 0.02．應(yīng)用本文方法分析時(shí)，豎桿損傷值變化如圖5所示．

圖2 力的加載方式Fig.2 Loading model of force

圖3 位移的加載方式Fig.3 Loading model of displacement

圖4 節(jié)點(diǎn)a位移對(duì)比Fig.4 Comparison of displacement on node a

表1 桿件材料性能Tab.1 Material properties for member

由圖 4可知，應(yīng)用本文方法和文獻(xiàn)[6]提出的瞬時(shí)剛度法、瞬時(shí)加載法及初始條件法分析時(shí)，節(jié)點(diǎn) a位移最大值和衰減規(guī)律一致．由于文獻(xiàn)[6]提出的分析方法未能考慮模型中豎桿損傷累積效應(yīng)的影響，使得應(yīng)用文獻(xiàn)[6]提出的分析方法所得節(jié)點(diǎn) a振動(dòng)初相位滯后于應(yīng)用本文方法所得結(jié)果．由圖 4和圖 5可知，應(yīng)用本文方法分析時(shí)，加載過(guò)程中，豎桿經(jīng)歷損傷的不斷累積，當(dāng)損傷累積至一定程度后，損傷值 D突然增大，豎桿剛度迅速降低．當(dāng)豎桿損傷值 D＝1時(shí)，豎桿失效并被“移除”，節(jié)點(diǎn) a有阻尼自由振動(dòng)，位移逐漸衰減．

圖5 豎桿損傷值Fig.5 Damage of vertical member

通過(guò)分析可知，采用本文提出的瞬時(shí)移除構(gòu)件法能夠很好地模擬桿件失效后結(jié)構(gòu)的動(dòng)力行為，且能夠考慮桿件損傷累積對(duì)周?chē)鷹U件的影響．

4 空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)算例分析

4.1 圓鋼管穩(wěn)定判別條件及恢復(fù)力模型

不考慮桿件失穩(wěn)效應(yīng)將高估結(jié)構(gòu)承載力．本文中采用國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織[13]根據(jù)大量圓鋼管試驗(yàn)結(jié)果歸納出的空間受力圓鋼管的穩(wěn)定判別方程，即

試驗(yàn)研究[14]表明，桿件受壓失穩(wěn)后承載力降低，反向加載未拉直前不能完全工作．Marshall模型[15](圖 6)是根據(jù)圓鋼管試驗(yàn)所得滯回曲線總結(jié)而成，描述了包含初始缺陷的非彈性桿件的滯回性能以及受壓失穩(wěn)后軸向剛度的下降．本文采用此模型模擬桿件失穩(wěn)后的性能．

圖6 Marshall模型Fig.6 Marshall model

計(jì)算過(guò)程中假定桿件截面面積不變，則圖6所示的 Marshall模型中軸向力與軸向應(yīng)變的關(guān)系可轉(zhuǎn)變?yōu)檩S向應(yīng)力與軸向應(yīng)變的關(guān)系．將圓鋼管穩(wěn)定判別公式和轉(zhuǎn)變后的 Marshall模型通過(guò)編寫(xiě)程序引入到考慮損傷累積的材料本構(gòu)模型中，從而模擬圓鋼管失穩(wěn)及失穩(wěn)后行為．

4.2 算例分析

為檢驗(yàn)瞬時(shí)移除構(gòu)件法在空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)連續(xù)倒塌分析中的適用性，考慮桿件失穩(wěn)效應(yīng)影響，應(yīng)用瞬時(shí)移除構(gòu)件法對(duì)地震作用下單層柱面網(wǎng)殼進(jìn)行連續(xù)倒塌分析．網(wǎng)殼長(zhǎng)度為27,m，寬度為15,m，矢寬比為1/3，屋面均布荷載為2.0,kN/m2，桿件截面取Φ89,mm×4,mm 和 Φ140,mm×6,mm，斜桿選用較大截面，縱桿和端桿選用較小截面．支座形式為四邊支承．桿件材料性能如表1所示．《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB50011—2001)[16]規(guī)定，設(shè)防烈度為 8度(0.30,g，g 為重力加速度)罕遇地震時(shí)，時(shí)程分析所用地震波加速度幅值取510,cm/s2，選用時(shí)長(zhǎng)為20,s的El-Centro (1940)波，按8度(0.30,g)罕遇地震設(shè)防烈度調(diào)整地震波幅值．地震波采用三向輸入，輸入比值為1∶0.85∶0.65．

由計(jì)算可知，地震作用起始階段，由于地震加速度較小，網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)桿件均處于彈性狀態(tài)，未發(fā)生損傷．隨地震作用的不斷增強(qiáng)，網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)中桿件受力逐漸增大，部分受壓桿件發(fā)生失穩(wěn)．在地震作用的第7.42,s，網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)中首次出現(xiàn)失穩(wěn)桿件(197號(hào)桿件)，所在位置如圖 7所示(數(shù)字為桿件編號(hào))．由于地震作用的不斷變化，失穩(wěn)桿件位置及數(shù)量也在不斷變化．由于桿件在受壓失穩(wěn)及受拉屈服后均產(chǎn)生塑性變形，發(fā)生損傷，因此桿件的損傷值也由二者疊加而成，且損傷程度隨地震的不斷作用而增加．在地震作用的第13.07,s，網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)首先出現(xiàn)損傷變量D＝1的桿件(182號(hào)桿件)，所在位置如圖 7所示．根據(jù)瞬時(shí)移除構(gòu)件法，當(dāng)桿件損傷變量 D＝1時(shí)，其應(yīng)力將被設(shè)置為 0，此時(shí)桿件被“移除”，其所承擔(dān)的內(nèi)力突然釋放，結(jié)構(gòu)內(nèi)力和剛度將進(jìn)行重分配．隨著地震作用時(shí)間的增加，損傷區(qū)域以失效桿件為中心，逐漸向周?chē)鷶U(kuò)大，失效桿件數(shù)量增多．不同桿件失效時(shí)刻如表2所示，失效位置如圖7所示．

圖7 網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)桿件失效位置Fig.7 Location of member failure in reticulated shell

表2 桿件的失效順序Tab.2 Order of member failure

為觀察桿件失效時(shí)的應(yīng)力變化及桿件失效對(duì)其相連節(jié)點(diǎn)的影響，給出了164號(hào)桿件軸向應(yīng)力時(shí)程曲線和與其相連的67號(hào)節(jié)點(diǎn)位移時(shí)程曲線，如圖 8和圖9所示．

由圖8和圖9可知，當(dāng)164號(hào)桿件損傷變量D＝1時(shí)，其應(yīng)力將被設(shè)置為 0，以模擬桿件失效．由于164號(hào)桿件的突然失效，與其相連的 67號(hào)節(jié)點(diǎn)由于所受合力的改變，位移也將發(fā)生跳躍．隨后由于與67號(hào)節(jié)點(diǎn)相連的其他桿件無(wú)法繼續(xù)承擔(dān)地震的繼續(xù)作用，67號(hào)節(jié)點(diǎn)位移發(fā)散．

由表2和圖7可知，地震作用下，單層柱面網(wǎng)殼桿件失效區(qū)域主要分布于沿長(zhǎng)度方向的兩側(cè)，且單根桿件的失效并不會(huì)引起網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的倒塌．地震作用第 13.17,s時(shí)，網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)由于失效桿件過(guò)多，節(jié)點(diǎn) 12最大位移和網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能突然增大(如圖 10和圖 11所示)，網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)倒塌破壞，倒塌破壞過(guò)程中變形如圖12所示．

圖8 164號(hào)桿件軸向應(yīng)力Fig.8 Axial stress of members No.164

圖9 67號(hào)節(jié)點(diǎn)位移Fig.9 Displacement in node 67

圖10 節(jié)點(diǎn)12位移時(shí)程Fig.10 Displacement in node 12

圖11 結(jié)構(gòu)應(yīng)變能Fig.11 Strain energy of structure

由算例分析可知，以損傷累積為破壞準(zhǔn)則的瞬時(shí)移除構(gòu)件法，能夠同時(shí)考慮幾何非線性和物理非線性，在地震等動(dòng)力荷載作用下根據(jù)桿件損傷情況判斷失效桿件位置和失效時(shí)刻，且考慮了桿件瞬時(shí)失效對(duì)剩余結(jié)構(gòu)的動(dòng)力效應(yīng)，可應(yīng)用于空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的連續(xù)倒塌分析．

圖12 結(jié)構(gòu)倒塌變形Fig.12 Collapse deformation of structure

5 結(jié) 論

(1) 采用顯式中心差分法，以損傷累積為破壞準(zhǔn)則，提出了用于結(jié)構(gòu)連續(xù)倒塌分析的瞬時(shí)移除構(gòu)件法；對(duì)比相同加載方式下雙桿模型和懸臂梁節(jié)點(diǎn)位移，驗(yàn)證了本文提出的瞬時(shí)移除構(gòu)件法的正確性．

(2) 考慮材料非線性、幾何非線性、桿件失穩(wěn)及失穩(wěn)后性能，對(duì)單層柱面網(wǎng)殼進(jìn)行連續(xù)倒塌分析，結(jié)果表明瞬時(shí)移除構(gòu)件法可用于空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的連續(xù)倒塌分析．

［1］ Marjanishvili S M. Progressive analysis procedure for progressive collapse[J].Journal of Performance of Constructed Facilities，ASCE，2004，18(2)：79-85.

［2］ British Standard Institute. Structural Use of Concrete：(Part 1)：Code of Practice for Design and Construction[S]. 1997.

［3］ European Committee for Standardization. Eurocode 1：Actions on Structures[S]. 2002.

［4］ Department of Defense. Design of Buildings to Resist Progressive Collapse[S]. 2005.

［5］ 陸新征，李 易，葉列平，等. 鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)抗連續(xù)倒塌設(shè)計(jì)方法的研究[J]. 工程力學(xué)，2008，25(SupplⅡ)：150-157.

Lu Xinzheng，Li Yi，Ye Lieping，et al. Study on design method to resist progressive collapse for reinforced concrete frames[J].Engineering Mechanics，2008，25(SupplⅡ)：150-157(in Chinese).

［6］ Nanci B，Shalva M. SDOF model for progressive collapse analysis[C]//New York：Structures，ASCE，2005：2243-2254.

［7］ Sidney A G，Erber T，Stefanis J，et al. Plastic collapse，shakedown and hysteresis of multistory steel structures[J].Journal of Structural Engineering，1986，112(12)：2610-2627.

［8］ Darwin D，Nmai C K. Energy dissipation in RC beams under cyclic load[J].Journal of Structural Engineering，1986，112(8)：1829-1846.

［9］ 杜修力，歐進(jìn)萍. 建筑結(jié)構(gòu)地震破壞評(píng)估模型[J]. 世界地震工程，1991(3)：52-58.

Du Xiuli，Ou Jinping. Evaluation model of earthquake damage for building[J].World Earthquake Engineering，1991(3)：52-58(in Chinese).

［10］ Shen Zuyan，Dong Bao. An experiment-based cumulative damage mechanics model of steel under cyclic loading[J].Advances in Structural Engineering，1997，1(1)：39-46.

［11］ 宋振森. 超高層鋼結(jié)構(gòu)考慮損傷和損傷累積分析方法[D]. 上海：同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院，2004.

Song Zhensen. Research on Analysis Methods for Super High-Rise Steel Structure Considering Damage Accumulation[D]. Shanghai：College of Civil Engineering，Tongji University，2004(in Chinese).

［12］ 莊 茁，張 帆，岑 松，等. ABAQUS非線性有限元分析實(shí)例[M]. 北京：科學(xué)出版社，2005.

Zhuang Zhuo，Zhang Fan，Cen Song，et al.Examples of Nonlinear Finite Element Analysis in ABAQUS[M]. Beijing：Science Press，2005(in Chinese).

［13］ ISO10721-1 Steel Structure：Material and Design[S].1997.

［14］ Higginbotham A B，Hanson R H. Axial hysteretic behavior of steel members[J].Journal of the Structural Division，ASCE，1976，102(7)：1365-1381.

［15］ Marshall P W，Gates W E，Anagnostopoulos S. Inelastic dynamic analysis of tubular offshore structures[C]//Proceedings of Ninth Annual Offshore Technology Conference. Houston，USA，1977：235-246.

［16］ 中華人民共和國(guó)建設(shè)部. GB50011—2001 建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范[S]. 2001.

Ministry of Construction of the People's Republic of China. GB50011—2001 Code for Seismic Design of Buildings[S]. 2001(in Chinese).