GM(1，1)模型改進技術在咸陽市地下水動態(tài)預測中的應用

郝健，劉俊民

(西北農林科技大學水利與建筑工程學院，陜西楊凌712100)

咸陽市位于關中平原中部，渭河北岸，九嵕山之南，市區(qū)建在渭河北岸一二級階地上。市區(qū)供水除北部黃土臺塬寶雞峽灌區(qū)有少量地表水引水灌溉以外，工業(yè)和城鄉(xiāng)生活用水全部依賴地下水。隨著經濟社會的發(fā)展，人民生活質量的不斷提高，對水的需求不斷增大，造成地下水嚴重超采，導致在市區(qū)形成城區(qū)復合漏斗、西橡地下水降落漏斗、渭河南灃東地下水降落漏斗，造成大面積的水位下降。2003年咸陽市水利局對超采區(qū)范圍進行了劃定，劃為城區(qū)地下水水超采區(qū)、西橡地下水超采區(qū)、灃東地下水超采區(qū)等3個超采區(qū)，總面積46.7 km2[1]。為了合理開發(fā)、綜合利用、科學保護地下水，必須對地下水動態(tài)進行全面研究分析[2]，并根據(jù)預測結果，結合實際情況，制定相應的防治方案與保護措施。

1 灰色GM(1，1)模型簡介

灰色預測模型(grey prediction model)簡稱GM模型，主要以“部分信息已知，部分信息未知”的“小樣本”、“貧信息”不確定性系統(tǒng)為研究對象，通過對“部分”已知信息的生成、開發(fā)，實現(xiàn)對現(xiàn)實世界的正確描述[2]，已被廣泛應用于農業(yè)、商業(yè)、工業(yè)、經濟等諸多領域。GM(1，1)模型[3]是得到廣泛應用的一種預測模型，是由一個只包含單變量的一階微分方程構成的模型，其實質是對除第一點外的原始數(shù)據(jù)序列作指數(shù)曲線擬合[4]。

1.1 GM(1，1)模型的基本原理

1.1.1 模型的建立[5-7]若原始非負等時序列

對其進行一次累加，得到累加數(shù)列

式中:

建立預測模型白化微分方程:

式中:a——發(fā)展系數(shù);u——灰色作用量。

利用最小二乘法解得a、u，用Laplace變換得到時間響應式，并將其離散性化得:

經累減，得到預測模型為

1.1.2 模型的檢驗 根據(jù)模型的計算值和以有數(shù)據(jù)的關系對預測模型進行檢驗[8]。記k時刻殘差為

原始數(shù)據(jù)方差為

小誤差概率為

C值越小越好，表明預測誤差離散性性小，原始數(shù)據(jù)離散性性大。P值越大越好，表明誤差小的概率越大，精度越高。將預測等級劃分為4等，見表1。

表1 綜合評定預測模型精度等級[9]

1.2 GM(1，1)*模型的建立

GM(1，1)模型預測具有要求原始數(shù)據(jù)少、不考慮分布規(guī)律、不考慮變化趨勢、運算方便、易于檢驗等優(yōu)點，因此得到了廣泛應用，并取得了令人滿意的效果，但是也具有一定的局限性。當原始數(shù)據(jù)變多，數(shù)據(jù)的離散性程度變大，模型預測的精度就會變差。

本文通過滑動平均法對離散性程度較大的原始序列進行改造，減弱異常值對原始序列的影響，使原始數(shù)據(jù)的變化變得緩慢，再利用改造后的序列建立灰色模型即GM(1，1)*模型，進行預測。

將原始非負等時序列改造為

式中

兩端點計算

然后建立GM(1，1)模型進行預測，得到預測序列 y(1)={y(1)(1)，y(1)(2)，…，y(1)(n)}，再對預測結果進行精度檢驗，對符合預測精度要求的預測結果進行滑動平均的逆轉化，計算方法如下:

若逆轉化后的最終結果為

式中

兩端點計算

利用線性規(guī)劃求解上述公式，得最終結果

2 咸陽市地下水動態(tài)預測

咸陽市某觀測井2001-2009年平均地下水埋深的實測資料見表2，可以看出2002-2004年地下水埋深的變化幅度較大，離散性程度比較高。為了檢驗GM(1，1)*模型的預測效果，本文利用實測資料，分別建立 GM(1，1)模型和 GM(1，1)*模型，對地下水動態(tài)進行預測研究。

表2 咸陽市地下水埋深監(jiān)測資料

2.1 建立模型

選取2001-2007年的實測資料為原始數(shù)據(jù)，分別建立 GM(1，1)模型和 GM(1，1)*模型，進行地下水埋深的擬合，結果見表3。

表3 兩種模型擬合效果對比表

由表3可知 a=0.0019，u=16.485，C=49.3%，P=85.7%，擬合的平均相對誤差為1.034%，GM(1 ，1)模型 為:?x(0)(k+1)=-8673.095e(-0.0019k)+8688.925

而a*=0.0012，u*=16.4226，C*=30.9%，P*=1，擬合的平均相對誤差為0.308%，GM(1，1)*模型為:?x(0)(k+1)=-14047.1955e(-0.0012k)+14063.1155

結合表1的后驗差方法，傳統(tǒng)GM(1，1)模型的預測精度為合格，而改進后的GM(1，1)*模型的預測精度為好，充分說明改進后的預測模型具有更好的預測效果，是切實可行的。

2.2 優(yōu)越性檢驗

為了進一步驗證GM(1，1)*模型的優(yōu)越性，利用GM(1，1)模型和GM(1，1)*模型對 2008年和 2009年的地下水埋深進行預測，并與這兩年的實測資料進行對比，結果見表4。GM(1，1)*模型的預測結果經逆轉化后，得到2008年、2009年的地下水埋深為16.34 m和16.21 m，平均相對誤差為0.526%，相對于GM(1，1)模型預測結果的平均相對誤差0.776%，更加精確。

2.3 預測結果

結合表3和表4可知，當?shù)叵滤裆铍x散性程度較大時，改進后的GM(1，1)*模型與傳統(tǒng)的相比，具有更高的預測精度和更強的可行性。采用GM(1，1)*模型對咸陽市2010-2012年的地下水埋深進行預測，分別為 16.27，16.21 ，16.20 m 。

表4 兩種模型預測結果對比

3 結論

利用GM(1，1)模型改進技術對咸陽市地下水埋深進行預測，結果科學、合理，說明在地下水動態(tài)變化離散性程度較大地區(qū)，通過滑動平均法進行改進方法可行，與傳統(tǒng)的GM(1，1)模型相比，既保持了傳統(tǒng)模型計算簡便的優(yōu)點，又具有較高的預測精度。此外，GM(1，1)模型改進技術不僅適用于地下水動態(tài)預測，還可以在水質預測、需水量預測等方面進行應用。

通過對咸陽市地下水埋深的動態(tài)預測，可以看出地下水位有逐年回升的趨勢，說明該區(qū)域地下水資源量正逐漸恢復。利用GM(1，1)模型改進技術對地下水動態(tài)變化進行預測，可以為區(qū)域地下水資源合理開發(fā)利用、地下水和地表水聯(lián)合調度等提供依據(jù)。

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