基于小波包閾值處理的GPS軟件接收機(jī)跟蹤結(jié)果降噪算法

李寅寅，徐曉蘇，劉錫祥

（東南大學(xué) 微慣性儀表與先進(jìn)導(dǎo)航技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210096）

GPS軟件接收機(jī)是為適應(yīng)各種新的導(dǎo)航信號(hào)體制以及各種新的算法，基于軟件無線電思想而提出的一種新的接收機(jī)實(shí)現(xiàn)方案。它具有靈活性的優(yōu)勢，能夠方便的通過軟件的方式對算法進(jìn)行更改，從而適應(yīng)不同的信號(hào)體制[1-2]。

GPS軟件接收機(jī)中，GPS信號(hào)經(jīng)過捕獲、跟蹤等過程后，輸出跟蹤結(jié)果，由位同步過程將其轉(zhuǎn)換成導(dǎo)航數(shù)據(jù)位傳給后續(xù)的過程，圖1所示為軟件接收機(jī)的基本框架。跟蹤結(jié)果的好壞對整個(gè)軟件接收機(jī)的性能起著決定的作用，由于跟蹤環(huán)路受到諸如熱噪聲、振動(dòng)等時(shí)變噪聲的影響，跟蹤輸出的結(jié)果不可避免的要引入相位誤差，從而影響位同步結(jié)果，進(jìn)而影響整個(gè)接收機(jī)的性能。通常采用 IIR（無線沖擊響應(yīng)）濾波器解決軟件接收機(jī)跟蹤結(jié)果的降噪問題[3]。IIR濾波是基于頻域的方法，要事先得到信號(hào)的頻率特性和噪聲特性，而這些先驗(yàn)信息是很難準(zhǔn)確獲得的，同時(shí)由于跟蹤的信號(hào)中調(diào)制有GPS導(dǎo)航數(shù)據(jù)，因此跟蹤的結(jié)果會(huì)包含有許多跳變點(diǎn)。同時(shí)由于IIR濾波器具有噪聲反饋，噪聲大，且運(yùn)算誤差大，因此對跟蹤結(jié)果的降噪不能達(dá)到理想的效果。一般認(rèn)為，對頻率復(fù)雜的信號(hào)進(jìn)行時(shí)域分析不能達(dá)到理想的效果，進(jìn)行單純的頻域分析無法檢測出時(shí)域中信號(hào)的突變點(diǎn)[4]。小波變換通過對信號(hào)進(jìn)行多尺度分析，從而能夠在時(shí)域和頻域都能表征信號(hào)的局部特征，同時(shí)也能表征信號(hào)的突變點(diǎn)。本文將基于小波包分解的理論，采用軟閾值量化并對量化后的信號(hào)進(jìn)行重構(gòu),從而達(dá)到對跟蹤結(jié)果濾波降噪的目的。

圖1 GPS軟件接收機(jī)基本框架Fig.1 Basic architecture of software GPS receiver

1 小波包消噪的原理及其步驟

利用小波包對信號(hào)進(jìn)行消噪可根據(jù)特定的準(zhǔn)則將需要的頻段信息保留，而把其余頻段的信號(hào)清零，進(jìn)而對信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，就可以達(dá)到消噪的目的。因而只要在特定的小波包基上能將信號(hào)中的特征信號(hào)與噪聲干擾分解到不同頻段上，就可以方便地進(jìn)行消噪處理。

信號(hào)f(t)可以被分解為希爾伯特空間L2(R)上的基底{βλ(t)}的線性疊加，將信號(hào)投影到空間上得到[4]：

系數(shù){aλ}中能夠直接體現(xiàn)信號(hào)的特征信息，因此可以通過處理系數(shù)aλ來代替處理信號(hào)f(t)。小波包變換將信號(hào)從時(shí)域空間分解到特定的小波包內(nèi)積空間上去，使信號(hào)的特征信息集中在少數(shù)系數(shù)上，從而使得信號(hào)的冗余度大幅減少[5]。對實(shí)信號(hào)f(t)={s(n) }，由小波包算子得小波系數(shù)為：

式中：Cj,1(n) =s(n)，n= 0 ,1,...,N-1；符號(hào)為第j層的第m個(gè)小波包基的分解系數(shù)。根據(jù)小波變換局部極大值的理論，有效信號(hào)的小波系數(shù)的模要比噪聲的小波系數(shù)的模大得多，因此只要去除白噪聲的小波變換局部極大模造成的那部分能量，就可以將大部分噪聲去除掉[5]。一般地，小波包消噪按如下步驟進(jìn)行：

第一步：選擇一個(gè)小波包基，確定所需分解的層次，然后對信號(hào)進(jìn)行小波包分解。本文選擇Harr小波包基對其進(jìn)行3層分解，其分解的樹狀結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 三層小波包分解的樹狀結(jié)構(gòu)Fig.2 Tree structure of three-layer wavelet packet decomposition

第二步：在一個(gè)給定的熵標(biāo)準(zhǔn)下(如：Shannon熵，對數(shù)能量熵等)，計(jì)算最佳樹；在默認(rèn)的Shannon熵準(zhǔn)則下計(jì)算的最佳樹結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 最佳樹結(jié)構(gòu)Fig.3 Structure of the best tree

第三步：選擇一個(gè)合適的閾值對每一層分解系數(shù)進(jìn)行量化處理。

第四步：對經(jīng)過閾值量化后的系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)。

在上述的各步中，小波包基和閾值的選取以及如何進(jìn)行閾值量化是關(guān)鍵，它們直接關(guān)系到信號(hào)消噪處理的質(zhì)量。

2 基于小波包閾值處理的跟蹤結(jié)果降噪算法設(shè)計(jì)

2.1 小波包基的選取

在對信號(hào)做小波包變換時(shí)，要求小波包在時(shí)域和頻域都具有緊支性，緊支寬度越窄，小波包變換反映的信號(hào)高頻細(xì)節(jié)的能力越強(qiáng)[6]。

針對GPS軟件接收機(jī)跟蹤模塊輸出信號(hào)來說，由于包含了導(dǎo)航數(shù)據(jù)跳變，因此瞬態(tài)特征顯著，根據(jù)前面提到的理論和實(shí)際的信號(hào)可知，小波包基需要滿足對稱性的條件，因?yàn)樾枰獙π盘?hào)中的瞬態(tài)現(xiàn)象有較好的描述，如果小波包基不具有對稱性，在信號(hào)跳變點(diǎn)處的分解是不具有對稱性的，正負(fù)兩方向的幅值大小不相等，若其中一部分因低于閾值而被清零，而另一部分被保留，則重構(gòu)的信號(hào)在這些點(diǎn)出會(huì)有變形，引起信號(hào)的失真；同時(shí)，本文所研究的信號(hào)是不考慮高頻部分的，將所有的高頻部分作為噪聲去處理，因此對小波包基的消失矩沒有很高的要求，具有一階消失矩就可以了；而消失矩的要求減少，自然就可以選擇較窄的支撐寬度[7]。

綜合上述分析，結(jié)合小波基選擇中正交性、緊支性、對稱性、平滑性與消失矩階數(shù)等一般性要求，本文選擇Haar小波包基(也即db1小波包基)，作為小波包消噪的小波包基。在所有正交緊支撐小波包中，Haar小波包是唯一具有對稱性的小波包，同時(shí)它的支撐長度又是最短的。最短的支撐一方面使計(jì)算量減少，另一方面，若一個(gè)變換值被置零，在重構(gòu)的信號(hào)中它將影響到周圍最小數(shù)目的點(diǎn)[4]。

2.2 閾值的選取和量化

閾值的選取和量化是降噪處理的關(guān)鍵，閾值選的過大或是過小都會(huì)影響消噪的質(zhì)量。目前，關(guān)于閾值選取的算法主要有局部極大值法、全局單一閾值法和局部SURE多閾值法[4]。對變換系數(shù)進(jìn)行閾值量化的方法主要有硬閾值法和軟閾值法。

硬閾值消噪方法定義[4]為：

軟閾值消噪方法定義[4]為：

式中：d(j,i)為小波包分解系數(shù)；λ為閾值。

用硬閾值算法對信號(hào)進(jìn)行處理不能達(dá)到好的降噪效果，其消噪后的信號(hào)相比原信號(hào)有較大的均方誤差；而采用軟閾值法消噪后的信號(hào)在視覺上有較好的平滑性，但是會(huì)產(chǎn)生信號(hào)失真。由于小波包分解系數(shù)反映信號(hào)在不同的頻帶上的特征，因此很難找到一個(gè)統(tǒng)一的閾值對所有頻帶的系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)一的量化處理。本文采取軟閾值算法，對不同頻帶上的小波包系數(shù)采用不同的閾值進(jìn)行量化處理。具體原理如下：

采用基于 Stein無偏似然估計(jì)原理的自適應(yīng)閾值選擇算法，對高頻序列的小波包分解系數(shù)，選擇一個(gè)閾值t，對t進(jìn)行似然估計(jì)，再最小化似然t，就得到了所選的閾值。具體算法如下：

式中：median為各細(xì)節(jié)小波包系數(shù)v的中位數(shù)。

3 仿真分析

選用 GPS軟件接收機(jī)跟蹤模塊輸出的結(jié)果作為原始信號(hào)，將經(jīng)過經(jīng)典IIR濾波器輸出的結(jié)果與采用小波包消噪的濾波結(jié)果進(jìn)行比較。為了衡量消噪的效果，采用信噪比(SNR)和相對均方誤差(RMSE)作為衡量指標(biāo)，計(jì)算公式分別如下[10]：

式中：I和Id分別為原始信號(hào)和消噪后信號(hào)。

GPS軟件接收機(jī)是采用C/C++語言在VC6.0的開發(fā)環(huán)境下開發(fā)出來的，運(yùn)行效率高，便于快速獲得跟蹤結(jié)果；軟件接收機(jī)所處理的數(shù)據(jù)是NewStar210A中頻信號(hào)采樣器所采集保存的GPS L1頻段的C/A碼信號(hào)，對其中的9號(hào)和12號(hào)衛(wèi)星跟蹤得到的結(jié)果分別如圖4和圖5所示。

圖4 9號(hào)星原始跟蹤結(jié)果與兩種降噪方法降噪后的結(jié)果的比較Fig.4 Comparison of results between original and two de-noising methods for Satellite 9

表1 兩種方法消噪結(jié)果的信噪比(SNR)對比Tab.1 Comparison of two de-noising methods for signal-to-noise ratio (SNR)

表2 兩種方法消噪結(jié)果的相對均方差(RMSE)對比Tab.2 Comparison of results between two de-noising methods for relative mean square errors (RMSE)

對圖4和圖5進(jìn)行分析可以發(fā)現(xiàn)，與經(jīng)典的IIR濾波器相比，小波包的濾波效果在直觀上要優(yōu)于 IIR濾波，經(jīng)過濾波的信號(hào)疊加的高頻噪聲更少，更加平滑，分別對兩種降噪方法降噪后的信號(hào)的信噪比增益和均方誤差進(jìn)行計(jì)算，兩種消噪方法信噪比和均方誤差的計(jì)算值如表1和表2所示。

從表1和表2所列出的結(jié)果可以看出，采用小波包消噪的方法，使兩顆星跟蹤結(jié)果的信噪比分別比采用IIR濾波器的方法提高了4.2406 dB和4.5587 dB，均方誤差分別減小了0.1369和0.1557。

通過直觀的對比以及信噪比和均方誤差計(jì)算值的對比，可以得出結(jié)論，小波包的消噪效果優(yōu)于IIR無限沖擊響應(yīng)濾波器。

圖5 12號(hào)星原始跟蹤結(jié)果與兩種降噪方法降噪后的結(jié)果的比較Fig.5 Comparison of results between original and two kinds of de-noising method for Satellite 9

4 結(jié)論與展望

本文基于小波包分解與重構(gòu)的思想，提出基于小波包軟閾值降噪處理的方法，將實(shí)測的GPS軟件接收機(jī)跟蹤模塊輸出的信號(hào)進(jìn)行三層小波包分解，在小波包分解系數(shù)的基礎(chǔ)上，計(jì)算出小波包的軟閾值，通過軟閾值量化處理，剔除信號(hào)中的噪聲，然后對信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，從而達(dá)到信號(hào)消噪的目的。

我們選取了兩顆衛(wèi)星的跟蹤結(jié)果作為原始信號(hào)，仿真比較了IIR無限沖擊響應(yīng)濾波器降噪處理結(jié)果和小波包軟閾值降噪處理結(jié)果。

仿真結(jié)果表明，小波包軟閾值降噪處理在提高信號(hào)平滑度方面有較好的效果，同時(shí)能夠很好地抑制隨機(jī)噪聲。統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，小波包分解軟閾值降噪比IIR無限沖擊響應(yīng)濾波器降噪在信噪比上分別提高了4.2406 dB和4.5587 dB，在相對均方誤差上分別減小了0.1369和0.1557。

目前，本文所研究的小波包消噪算法是對離線產(chǎn)生的信號(hào)進(jìn)行后處理降噪，如何將軟閾值小波包降噪算法實(shí)時(shí)在線實(shí)現(xiàn)并將其應(yīng)用到工程實(shí)際中是將來研究的方向。

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