一種檢驗GNSS相位模糊度整周解算有效性的方法

陽仁貴,劉根友,柴艷菊

(中國科學院測量與地球物理研究所動力大地測量學開放研究實驗室,湖北武漢430077)

0 引 言

GNSS高精度快速相對定位需要利用高精度的載波相位觀測值,載波相位觀測值存在著初始的整周數(shù)偏差,即初始模糊度,該模糊度是未知的,只有正確地確定了模糊度后,載波相位才能轉化為精確的偽距進行精密定位計算。雙差相位模糊度具有整數(shù)特性,這是提高定位效率和精度的前提條件。

但是相位模糊度整數(shù)周計算沒有直接解算算法,常用的方法是依據(jù)不同的優(yōu)化準則,在設定的整數(shù)空間通過合適的搜索算法實現(xiàn)的。在模糊度的搜索算法中,最簡單的算法是在搜索空間內遍歷所有的模糊度整數(shù)組合,通過比較計算,選取使得模糊度殘差帶權2范數(shù)最小的整數(shù)組合為模糊度的固定解,該方法又簡稱枚舉法。顯然它的搜索效率是最低的,因為它完全忽略了模糊度之間的一些確定性的先驗信息。為了提高模糊度的解算效率,國內外許多學者做了大量的研究工作,提出了一些高效的模糊度整數(shù)周固定算法,如基于坐標域的模糊度函數(shù)法(AFM);基于模糊度協(xié)方差陣的快速模糊度解算法[1](FARA)、最小二乘搜索法[2](LSAST)、Cholesky分解算法、快速模糊度搜索濾波(FASF)、最小二乘降相關法[3](LAMBDA);另外還有用約束方程解模糊度法(ARCE)、附加模糊度參數(shù)的卡爾曼濾波法[4]、局部最小值法、模糊度解算新方法[5-6]等。

在模糊的整數(shù)集空間內依據(jù)搜索準則固定模糊度為整數(shù)周時,當觀測值中不包含任何隨機性和系統(tǒng)性的誤差時,搜索固定的模糊度就是正確的模糊度,不需要任何檢驗過程。但實際上,在進行GNSS觀測的過程中,必然會受到各種誤差源的影響,從而導致觀測量中包含多種誤差,這些誤差雖然已經經過合適的處理,但其殘余誤差仍然會導致估計結果為有偏的,從而導致模糊度解的不確定性。對精密的快速定位和導航來說,必須保證模糊度整數(shù)解的正確性,所以需要采取一定的措施在最大程度上抑制估計結果的有偏和不確定性。

為了驗證模糊度整數(shù)解的可靠性,需要對模糊度固定結果進行合適的假設檢驗?，F(xiàn)在采用的假設檢驗方法,主要基于兩種類型的信息:載波相位觀測量的殘差和來自偽距的測站位置解,在一定程度上能確保模糊度解的可靠性。

模糊度整數(shù)解的檢驗[11-13]是模糊度解算的關鍵內容之一。只有通過各項檢驗,才能確認模糊度的整數(shù)解是可靠的,才能回代入原方程重新解算基線分量。否則,說明模糊度解算失敗,需要增加新的觀測數(shù)據(jù),重新搜索固定模糊度。

本文在此新的檢驗方法的基礎上,提出了一種模糊度候選值再分析方法,可有效提高模糊度整數(shù)解確定的成功率。

1 相位整周模糊度搜索計算

忽略電離層和對流層等系統(tǒng)誤差的影響,GNSS相位觀測值相對定位雙差方程線性化形式可如下表示:

式中:A為基線分量設計陣;B為模糊度參數(shù)系數(shù)陣;x為基線向量參數(shù);a為雙差模糊度參數(shù);W為雙差觀測值權陣。

如果選用等權觀測,那么雙差權陣W可以表示為

式中:n表示觀測衛(wèi)星個數(shù);i和j分別表示矩陣的行、列號。

由最小二乘原理,可解得基線分量和模糊度浮點解為

用平差因子陣JA生成等價方程后,可直接解算出模糊度的實數(shù)解和誤差方差陣為

式中,JA=I-A(ATWA)-1ATW.

同理,可得消除模糊度后的基線分量的估計值和協(xié)方差陣為

式中,JB=I-B(BTWB)-1BTW

依據(jù)正交分解方法,有如下的二次目標函數(shù)分解形式[2]:

式(6)右邊的第一項是最小二乘估計后觀測量殘差加權平方和,它是常數(shù)。第三項中因Qx⌒(a)為正定陣,而x為實數(shù)解。由于目標函數(shù)的最小值是在第二項為最小時取得的,故模糊度的優(yōu)化準則為

2 Ratio值檢驗的改進

在模糊度的檢驗中,用得最多也最簡單直觀的方法是Ratio顯著性檢驗。

建立Ratio顯著性檢驗如下

限值threshold根據(jù)經驗預先給定。一般實踐中,設定范圍為2～3。有的研究者稱上述Ratio為F-ratio,即F假設檢驗。

另外還有W檢驗[11],其表達式為

式中:Qd是d的協(xié)因子陣;σ2為協(xié)方差因子;TW服從學生氏t分布,可以設定合適的置信區(qū)間,判斷模糊度的可靠性。

以上的Ratio值檢驗法只是簡單地判斷模糊度整數(shù)解與實數(shù)解殘差賦權最小2范數(shù)。式(6)右邊實際包含有三項,而 Ω(a)只是代表了其中的第二項,雖然其優(yōu)化結果一樣,但是進行Ratio檢驗時,其比值有差異。依據(jù)最小二乘優(yōu)化準則,應該兼顧基線分量部分的范數(shù)以及觀測值殘差范數(shù)的大小。

因此,改進原來的Ratio值計算如下:

式(13)表示的Ratio,其threshold值的取值范圍可先驗地定為 1.5～3。只有當 Ratio大于threshold,才認為模糊度是可靠的,否則,模糊度是不可靠的,還需要運用新的方法提高模糊度的解算成功率。

3 模糊度候選值再分析法

對于快速定位的模糊度解算問題,因存在多路徑效應誤差和其它的殘余誤差的影響,當僅僅用模糊度的整數(shù)解與實數(shù)解的加權平均和來確定模糊度時,其Ratio檢驗將可能通不過,或者通過檢驗也不一定是正確,故需要應用新的判別準則進行再分析,以促進模糊度可靠性和成功率的提高。

由優(yōu)化準則搜索模糊度,在輸出的模糊度候選值中,有可能是范數(shù)次小、或者范數(shù)次次小等對應的模糊度整數(shù)解是正確的整數(shù)解。這時,Ratio值檢驗一般都通不過。但我們可以輸出多組模糊度解,然后用新的檢驗準則對輸出的多個候選值進行驗證,以甄別出正確的模糊度整數(shù)解,這就是候選值再分析方法。

對同一組模糊度的整數(shù)組合進行兼容性驗證。在搜索輸出的幾組模糊度向量中,把模糊度分為主模糊度組和從模糊度組,主模糊度組中模糊度個數(shù)為3個以上。假設主模糊度搜索固定正確,可以用它推導出從模糊度組中的模糊度。這時,推導出的從模糊度組也接近整數(shù)值,從而可以通過直接取整得到。因此,我們可以利用該方法檢驗輸出的候選模糊度組內部是否統(tǒng)一,即由其中的多個模糊度(3個以上),計算同組中其它的模糊度,看計算出的模糊度與前面用搜索算法輸出的模糊度整數(shù)解是否一致,如果一致,說明模糊度組中的模糊度是兼容的,尋找所有兼容的模糊度候選值作為“準模糊度整數(shù)解”。

對多個兼容的“準模糊度整數(shù)解”,回代入原來的法方程,計算模糊度固定為整數(shù)的基線分量解和然后對的大小進行排序,以式(13)表示的方式,如果比值大于上述給定的下限值(threshold),可初步判定最小范數(shù)對應的整數(shù)組合為正確的固定解。另外,“準模糊度整數(shù)解”回代入原方程,并重新進行最小二乘估計,可以得到新的基線分量解,再計算模糊度固定后的基線解與固定前的實數(shù)解之間的差值的加權平均和(權為基線分量協(xié)方差陣的逆陣),即計算基線向量的偏噪率。

基線的偏噪率(BNR)的計算公式如下:

當“準模糊度整數(shù)解”通不過Ratio值檢驗時,可以根據(jù)計算的BNR進行排序,選最小的偏噪率對應的模糊度整數(shù)解為最終的模糊度整數(shù)解,這樣能顯著提高模糊度的成功率。后面用數(shù)值算例驗證了這些思路。

4 算例分析

4.1 模糊度整數(shù)解檢驗

實驗基線數(shù)據(jù)為200個歷元的靜態(tài)單頻數(shù)據(jù)(L1),數(shù)據(jù)采樣間隔為1 s,基線長度約為3 km。兩測站的共視衛(wèi)星為6顆,它們組成的5個衛(wèi)星對分別為27-11,27-8,27-31,27-28,27-7。數(shù)據(jù)預處理結果顯示,相位沒有發(fā)現(xiàn)周跳現(xiàn)象,模糊度的正確值為a=[-10 -8 11 -37 -25]T。

分別利用不同的歷元的觀測值進行最小二乘模糊度實數(shù)解估計,然后應用搜索算法進行整周模糊度搜索,輸出最終確定的5個模糊數(shù)殘差范數(shù)最小的整數(shù)組合,同時也輸出相應的范數(shù)和基線向量偏噪率,并用改進前和改進后的兩種Ratio檢驗方法進行可靠性檢驗。

下面只列舉用歷元號為22、24、30、40、120計算結果,浮點解用選權擬合解法估計[8]。表1為不同歷元進行模糊度解算的結果。

其中模糊度范數(shù)根據(jù)式(6)右邊第二項計算。兩種Ratio檢驗方法的計算方式為

基線分量的偏噪率(BNR)的計算公式為

表1顯示,歷元22、24、30、120的計算結果中,模糊度Ratio1的值均大于2.0,但是僅僅歷元120最小模糊度范數(shù)對應的模糊度整數(shù)組合為正確的整數(shù)解,其它的均不是最小范數(shù),歷元22的正確模糊度范數(shù)排在倒數(shù)第四位,歷元24的正確模糊度范數(shù)排在倒數(shù)第三位,而改進的模糊度Ratio2,僅歷元120大于1.5,所以該歷元的模糊度整數(shù)解是可靠的,其它歷元模糊度是不可靠的,這證明了Ratio1檢驗方法的不可靠,而改進的第二個Ratio檢驗反映了模糊度整數(shù)解可靠性。

在模糊度解算不可靠時,即Ratio2小于1.5時,要么是增加觀測數(shù)據(jù)重新解算模糊度整數(shù),要么是應用新的模糊度確定準則來判定模糊度正確值。本文研究了依據(jù)基線分量的偏噪率(B NR)來確定模糊度的整數(shù)解。表1表示,正確的整數(shù)解對應的基線分量的偏噪率均為最小值,因此依據(jù)該準則,可以很容易地從候選多組模糊度整數(shù)解中選出已經存在的正確的整數(shù)組合。表1是每個歷元模糊度候選值都輸出范數(shù)最小的5組,如歷元22,依據(jù)偏噪率BNR值,可以選定第4組為最終整數(shù)解,而歷元24是選擇第2組為最終整數(shù)解。結果顯示,依據(jù)該準則,顯著地提高了正確模糊度整數(shù)解解算成功率。

表1 不同歷元號的模糊度解算結果

4.2 模糊度整數(shù)候選值再分析法確定整數(shù)解

從以上算例的結果分析可知,如果模糊度檢驗通不過,也并不意味著模糊度解算完全失敗,我們還可以通過“模糊度候選值再分析法”,在候選值中尋找正確的模糊度整數(shù)解。由上述算例可知,模糊度正確值在候選模糊度組中的順序與最小的BNR值所在的位置對應,故采用“候選值再分析法”能提高模糊度計算的成功率。依據(jù)該思路優(yōu)化快速定位實時解算的算法,可以實現(xiàn)快速定位高效實時解算的功能。

本實驗利用了多條GPS基線實測數(shù)據(jù)進行計算和分析。由于篇幅有限,這里只簡單介紹對2003年2月18日觀測的一條長約3 km基線的GPS靜態(tài)觀測數(shù)據(jù)進行單歷元解算一些情況。該數(shù)據(jù)的采樣間隔為2 s,共有2443個可用的觀測歷元。計算時以PRN31衛(wèi)星作為參考衛(wèi)星。

應用全部觀測歷元數(shù)據(jù)用計算的L1和L2相位雙差整周模糊度為[-2 -5 -4 -3 -5 3 1 2 2 2]T。固定的模糊度整數(shù)解代入原方程,求得基線分量參數(shù)的估計值為[-0.1543 0.5527 0.6189]T,與伯爾尼軟件利用全部數(shù)據(jù)計算的實數(shù)解[-0.1569 0.5505 0.6155]基本一致,說明計算結果是可靠的。

對全部2443個歷元進行單歷元解算,采用P碼與相位組合的方法避免秩虧問題。計算結果顯示,單歷元模糊度候選值再分析法確定的整數(shù)解的成功率達到100%。

圖1為1000個單歷元解與正確整數(shù)解的差值的變動范圍和趨勢。水平方向為歷元號,縱方向為基線分量解的差值,單位m。結果顯示,單歷元解的精度在2 cm以內。

圖1 單歷元定位獲得的基線分量與全部歷元計算結果差值

5 結 論

相位模糊度整數(shù)周解算的第二步和第三步是固定模糊度值為整數(shù)和整數(shù)解的檢驗,這也是模糊度分離算法的關鍵內容。好的搜索算法有助于實現(xiàn)模糊度高效搜索,好的檢驗方法可以保證模糊度整數(shù)解的可靠性和成功率。本文主要針對模糊度最終整數(shù)解的確定,分析了已有模糊度Ratio檢驗方法的不足,提出了一種更可靠的Ratio檢驗方法。實驗結果顯示,該檢驗方法能可靠地判定最小模糊度范數(shù)對應的模糊度整數(shù)組是否為可靠的模糊度整數(shù)解。

同時,考慮到模糊度檢驗通不過的情況,為避免直接判定模糊度解算失敗,設計了一種“模糊度候選值再分析法”,在模糊度范數(shù)較少的幾組候選值中尋找正確的模糊度整數(shù)解,以達到提高模糊度解算成功率的目的。實驗結果顯示,應用該方法能顯著地提高模糊度整數(shù)解確定的成功率,從而促進了實時高精度定位的實現(xiàn)。

[1] Frei E,Beutler G.Rapid static positioning based on the fast ambiguity resolution approach“FARA”,theory and first results[J].M anuscripta Geodaetica,1990(15):325-356.

[2] Teunissen P J G,Odijk D.Rank-defect integer estimation and phase-only modernized GPS ambiguity Resolution[J].Journal of Geodesy,2003,76(9-10):523-535.

[3] 陳小明.高精度GPS動態(tài)定位理論與實踐[D].武漢:武漢測繪科技大學,1997.

[4] Hatch R,Sharpe T.A computationally efficient ambiguity resolution technique[J].ION GPS-2001,2001:1558-1564.

[5] Ou J K,WANG Z J.An improved regularization method to resolve integer ambiguity in rapid positioning using single frequency GPS receivers[J].Chinese Science Bulletin,2004,49(2):196-200.

[6] Zhu J,Ding X,Chen Y.Maximum likelihood ambiguity resolution based on bayesian principle[J].Journal of Geodesy,2001,75(4):175-187.

[7] Han S,Rizos C.Improving the computational efficiency of the ambiguity function algorithm[J].Journal of Geodesy,1996(70):330-341.

[8] 陽仁貴,歐吉坤.提高GPS單頻相位模糊度解算成功率的新方法[J].南京航空航天大學學報,2005,37(3):280-283.

[9] 杜春花,袁 信,范勝林.基于白噪聲濾波技術及零空間約束的單頻 GPS模糊度解算方法[J].GPS World of China,2002,27(2):1-6.

[10] 劉根友,朱耀仲,韓保民.GPS單歷元定位的阻尼LAMBDA算法[J].武漢大學學報.信息科學版,2004,29(3):195-197.

[11] 陳永奇.一種檢驗GPS整周模糊度解算有效性的方法[J].武漢測繪科技大學學報,1997,22(4):342-345.

[12] Wang J,Satirapod C,Rizos C,et al.Stochastic assessment of GPS carrier phase measurements for precise static relative positioning[J].Journal of Geodesy,2002,76(2):95-104.

[13] Tiberius C C J M,Kenselaar F.Estimation of the stochastic model for GPS code and phase observables[J].Survey Review,2000,35(277):441-454.