模糊質(zhì)量損益函數(shù)模型及其過(guò)程均值設(shè)計(jì)優(yōu)化

聶相田， 劉 晨， 郭偉杰， 劉夢(mèng)琪，3， 王 博

（1.華北水利水電大學(xué)水利學(xué)院，鄭州 450046； 2.河南省地質(zhì)礦產(chǎn)勘查開發(fā)局第二地質(zhì)礦產(chǎn)調(diào)查院，鄭州 450001；3.黃河勘測(cè)規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院有限公司，鄭州 450003； 4.水資源高效利用與保障工程河南省協(xié)同創(chuàng)新中心，鄭州 450046；5.河南省水環(huán)境模擬與治理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，鄭州 450046）

為了量化質(zhì)量波動(dòng)產(chǎn)生的損失，Taguchi［1］在1985年提出了質(zhì)量損失函數(shù)理論；Zebek等［2］針對(duì)質(zhì)量損失函數(shù)模型的無(wú)界性，提出了倒正態(tài)分布函數(shù)；張素梅［3］利用擇近原則，將模糊數(shù)學(xué)中的貼近度及隸屬度函數(shù)等與容差成本模型融合，設(shè)計(jì)出了一種模糊容差穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)的方法；曹衍龍等［4］基于模糊理論提出了模糊質(zhì)量損失的概念，建立了模糊質(zhì)量損失函數(shù)模型；趙延明等［5］利用分段理論對(duì)田口損失函數(shù)加以擴(kuò)展，建立了一種新的質(zhì)量損失函數(shù)模型；潘爾順等［6］對(duì)田口損失函數(shù)進(jìn)行了修正，建立了非對(duì)稱的田口損失函數(shù)模型；張?jiān)铝x等［7-8］提出了在不忽略一次項(xiàng)損失的情況下，二次式望小、望大特性質(zhì)量損失函數(shù)模型；劉遠(yuǎn)等［9］針對(duì)復(fù)雜產(chǎn)品多階段生產(chǎn)過(guò)程中外購(gòu)系統(tǒng)質(zhì)量特性的容差調(diào)整與修正問(wèn)題，構(gòu)建了復(fù)雜產(chǎn)品的質(zhì)量容差優(yōu)化模型.

王博等［10-12］針對(duì)質(zhì)量損失函數(shù)無(wú)法描述生產(chǎn)實(shí)踐中存在的質(zhì)量補(bǔ)償效果，將泰勒級(jí)數(shù)展開式中常數(shù)項(xiàng)定義為質(zhì)量補(bǔ)償，提出了質(zhì)量損益函數(shù)的概念，研究了質(zhì)量損益?zhèn)鬟f模型及質(zhì)量特性的容差優(yōu)化方法，并且在一次項(xiàng)損失不能忽略且補(bǔ)償量恒定時(shí)，設(shè)計(jì)了望大望小特性質(zhì)量損益函數(shù)模型. 質(zhì)量的好壞難以量化，產(chǎn)品質(zhì)量的定義與評(píng)價(jià)總是存在一定的模糊性. 在工程實(shí)際中給出質(zhì)量特性目標(biāo)值允許的范圍，當(dāng)產(chǎn)品的質(zhì)量特性目標(biāo)值在波動(dòng)范圍內(nèi)時(shí)，產(chǎn)品的質(zhì)量損失為0，若產(chǎn)品質(zhì)量特性值超出了波動(dòng)范圍，則產(chǎn)品質(zhì)量損失不為0. 例如，零件能夠承受的壓強(qiáng)為50 MPa，若壓強(qiáng)剛好為50 MPa時(shí)質(zhì)量損失為0，若壓強(qiáng)增大到50.01 MPa時(shí)就認(rèn)為存在質(zhì)量損失. 這種嚴(yán)格按照標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的原則看似絕對(duì)公正，但與工程實(shí)際不符. 因此結(jié)合模糊理論與質(zhì)量損益函數(shù)，提出了模糊質(zhì)量損益函數(shù)理論.

針對(duì)質(zhì)量損益函數(shù)的非對(duì)稱性，Springer等［13］在望目特征質(zhì)量損失函數(shù)的上下規(guī)格明確的情況下，對(duì)最優(yōu)過(guò)程均值進(jìn)行了確定；Ho等［14］在非對(duì)稱的二次質(zhì)量損失函數(shù)的基礎(chǔ)上，考慮了過(guò)程能力不足的因素，確定了最優(yōu)過(guò)程均值；Phillips等［15-16］針對(duì)過(guò)程輸出分布存在偏差的情況，建立了非線性規(guī)劃模型求最優(yōu)過(guò)程均值.

陳湘來(lái)等［17-18］在討論了非對(duì)稱質(zhì)量損失函數(shù)的基礎(chǔ)上，構(gòu)造出質(zhì)量特性目標(biāo)均值與標(biāo)準(zhǔn)差的優(yōu)選模型，進(jìn)而得到最優(yōu)目標(biāo)過(guò)程均值與標(biāo)準(zhǔn)差. 魏世振等［19］提出了過(guò)程有效偏移及質(zhì)量損失率兩個(gè)概念，討論了利潤(rùn)最大化的過(guò)程均值設(shè)計(jì)問(wèn)題；倪自銀等［20］研究了三種典型的非對(duì)稱損失的最優(yōu)過(guò)程均值設(shè)計(jì)問(wèn)題；金秋［21］研究了非對(duì)稱質(zhì)量損失的三角分布過(guò)程均值的優(yōu)化問(wèn)題.

在產(chǎn)品的生產(chǎn)和制造過(guò)程中，由于隨機(jī)因素或系統(tǒng)因素，使產(chǎn)品質(zhì)量偏離目標(biāo)值，造成損失. 例如，在零件加工中，當(dāng)加工的零件尺寸大于目標(biāo)值時(shí)，可通過(guò)加工進(jìn)一步對(duì)損失進(jìn)行補(bǔ)償，降低質(zhì)量損益；但零件的尺寸小于目標(biāo)尺寸時(shí)，則無(wú)法補(bǔ)救只能按照作廢處理，損益是非對(duì)稱的. 在這種情況下，零件加工出的產(chǎn)品均值與目標(biāo)值相等并不會(huì)使期望損益最小，要使加工的過(guò)程處于穩(wěn)定狀態(tài)就要對(duì)過(guò)程均值與容差進(jìn)行設(shè)計(jì)，使其參數(shù)處于預(yù)定的范圍內(nèi). 又如，某一產(chǎn)品的包裝上標(biāo)明其凈含量為1000 g，即產(chǎn)品的目標(biāo)值為1000 g，當(dāng)凈重量超過(guò)1000 g時(shí)，是對(duì)廠家造成了經(jīng)濟(jì)損失，當(dāng)凈重少于1000 g時(shí)，對(duì)廠家造成的是信譽(yù)上的損失，顯然，超出目標(biāo)值或低于目標(biāo)值所造成的損益不相同. 因此，過(guò)程均值設(shè)計(jì)研究具有實(shí)際意義.

1 模糊質(zhì)量損益函數(shù)模型建立

1.1 質(zhì)量損益函數(shù)

王博等［11］提出了質(zhì)量損益函數(shù)的定義，設(shè)產(chǎn)品的質(zhì)量特征值和目標(biāo)值分別為y 和y0，相對(duì)應(yīng)的質(zhì)量損益為G(y)和G(y0)，若G(y)在y=y0處存在二階導(dǎo)數(shù)，則按照泰勒級(jí)數(shù)展開有

式中，當(dāng)y=y0時(shí)，質(zhì)量損益G(y)等于極值G(y0)，即G′(y0)=0. 由于存在質(zhì)量補(bǔ)償，故G(y0)∈R. 略去二階以上的高階項(xiàng)，得到

其中，k=G″(y0)/2!為常數(shù)，G(y0)表示質(zhì)量補(bǔ)償，質(zhì)量損益函數(shù)圖像( )G(y0)＜0 如圖1所示.

當(dāng)G(y0)＜0 時(shí)，質(zhì)量波動(dòng)引起的損失小于質(zhì)量補(bǔ)償；當(dāng)G(y0)＞0 時(shí)，質(zhì)量波動(dòng)引起的損失大于質(zhì)量補(bǔ)償；當(dāng)G(y0)=0 時(shí)，質(zhì)量波動(dòng)引起的損失等于質(zhì)量補(bǔ)償. 一般可根據(jù)功能界限Δ0和喪失功能的損失A0或容差Δ和不合格損失A 確定k . 如式（3）及如圖2所示.

圖1 質(zhì)量損益函數(shù)圖像( )G(y0)＜0Fig.1 Image of quality gain-loss function(G(y0)＜0)

圖2 k的確定方法( )G(y0)＜0Fig.2 Determination of k(G(y0)＜0)

式（2）表示質(zhì)量補(bǔ)償恒定時(shí)的質(zhì)量損益函數(shù)，則當(dāng)質(zhì)量補(bǔ)償不為恒量時(shí)，可以令質(zhì)量補(bǔ)償為質(zhì)量特性y的函數(shù)，記為質(zhì)量補(bǔ)償函數(shù)g(y)，此時(shí)可記質(zhì)量損益函數(shù)為

同理可得出望小特征質(zhì)量損益函數(shù)GS(y)及望大特性質(zhì)量損益函數(shù)GL(y)分別為

1.2 模糊質(zhì)量損益函數(shù)

令望目產(chǎn)品的質(zhì)量特性最大損益值為Gmax，定義事件A：產(chǎn)品的質(zhì)量損益為G(yk)，令質(zhì)量特性y 對(duì)事件A 的隸屬度為y 的模糊質(zhì)量損益，y 對(duì)事件A 的隸屬函數(shù)作為y 的模糊質(zhì)量損益函數(shù).

若G(yk)=Gmax，G?(yk)=1；若G(yk)=Gmin，G?(yk)=0；若G?min＜G(yk)＜Gmax，G?(yk)∈(0,1).

對(duì)于不同的質(zhì)量特性應(yīng)具有不同形式的模糊質(zhì)量損益函數(shù)，設(shè)計(jì)者可根據(jù)工程實(shí)際情況選取適當(dāng)?shù)哪：龘p益函數(shù)，使其設(shè)計(jì)目標(biāo)更加接近工程實(shí)際，如梯形分布望目特性模糊質(zhì)量損益函數(shù).

質(zhì)量特性y的目標(biāo)值y0和容差Δ 存在一定的模糊性. 給定Δ1和Δ2，且0 ≤Δ1≤Δ ≤Δ2，當(dāng) ||y-y0≤Δ1時(shí)對(duì)事件A的隸屬度為0，當(dāng) ||y-y0＞Δ2時(shí)對(duì)事A的隸屬度為1，梯形分布望目特性模糊質(zhì)量損益函數(shù)如圖3所示.

圖3 梯形分布望目特性模糊質(zhì)量損益函數(shù)Fig.3 Fuzzy quality gain-loss function with trapezoidal distribution

同理，對(duì)于望大質(zhì)量特性，當(dāng)y ≥ ||y0-Δ1時(shí)，對(duì)事件A的隸屬度為0，而y ＜ ||y0-Δ2時(shí)，對(duì)事件A的隸屬度為1；對(duì)于望小質(zhì)量特性，當(dāng)y ≤ ||y0+Δ1時(shí)，對(duì)事件A 的隸屬度為0，而y ＞ ||y0+Δ2時(shí)，對(duì)事A 的隸屬度為1.梯形分布望大特性模糊質(zhì)量損益函數(shù)如圖4所示，梯形分布望小特性模糊質(zhì)量損益函數(shù)如圖5所示.

圖4 梯形分布望大特性模糊質(zhì)量損益函數(shù)Fig.4 Fuzzy quality gain-loss function with larger-the-better characteristic of trapezoidal distribution

圖5 梯形分布望小特性模糊質(zhì)量損益函數(shù)Fig.5 Fuzzy quality gain-loss function with smaller-the-better characteristic of trapezoid distribution

1.3 模糊質(zhì)量損益函數(shù)模型的特點(diǎn)

1）與質(zhì)量損益函數(shù)相比，模糊質(zhì)量損益函數(shù)具有更大的實(shí)用性和靈活性，模糊質(zhì)量損益函數(shù)定為

這時(shí)質(zhì)量損益函數(shù)與模糊質(zhì)量損益函數(shù)的圖像在區(qū)間［y0-Δ，y0+Δ］有相同的變化趨勢(shì)，但模糊質(zhì)量損益函數(shù)將模糊損益值限定在0～1之間，在區(qū)間外的模糊損益值被限定為最大值1. 因此，模糊質(zhì)量損益函數(shù)可以作為質(zhì)量損益理論的一種推廣形式.

2）由于將質(zhì)量目標(biāo)值y0和容差Δ進(jìn)行了模糊處理，質(zhì)量特性的波動(dòng)范圍被適當(dāng)放寬了，與質(zhì)量損益函數(shù)具有無(wú)窮大的情況不同，模糊質(zhì)量損益有明確的界限（介于0～1之間），因此可適當(dāng)?shù)卦黾尤莶畲笮?，降低產(chǎn)品的加工成本，也能提高產(chǎn)品的可加工性.

3）將模糊質(zhì)量損益限定在0～1的區(qū)間內(nèi)，使得各質(zhì)量特性之間具有可比性.

2 非對(duì)稱模糊質(zhì)量損益函數(shù)的過(guò)程均值設(shè)計(jì)

2.1 一次非對(duì)稱模糊質(zhì)量損益函數(shù)過(guò)程均值設(shè)計(jì)

假設(shè)產(chǎn)品的質(zhì)量特性值y 服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，在生產(chǎn)的工序過(guò)程未調(diào)整之前，其輸出均值μ 與目標(biāo)值y0一致. 根據(jù)模糊質(zhì)量損益函數(shù)定義，以梯形分布的非對(duì)稱線性模糊質(zhì)量損益函數(shù)為例，關(guān)于模糊質(zhì)量特征y的模糊質(zhì)量損益函數(shù)為

其模糊質(zhì)量損益函數(shù)的模糊期望損益為

可知F1(δ)是E[L1(δ)]歸類化簡(jiǎn)后的函數(shù)，兩者實(shí)質(zhì)是同一個(gè)函數(shù)，且具有相同的極值點(diǎn). 求F1(δ)關(guān)于δ 的一階微分，并令其等于零，可得出F1(δ)的所有極值點(diǎn).

由于E[L1(δ)]與F1(δ)有相同的極值點(diǎn)δ1，再由δ=得出μ1=δ1σ+y0，即μ1為模糊最優(yōu)均值.

當(dāng)μ1=δ1σ+y0時(shí)，模糊質(zhì)量損益的“模糊田口指數(shù)”為

其中，y0u為產(chǎn)品規(guī)格上限，y0l為產(chǎn)品規(guī)格下限；σ′2=E[(Y-Y0)2]表示產(chǎn)品特征值y偏離目標(biāo)值y0的方差的期望，有

而過(guò)程未發(fā)生偏移，即μ=y0，δ=0 時(shí)，模糊質(zhì)量損益的期望為E[L1(0)]，“模糊田口指數(shù)”為

表1 、、與δ1 關(guān)系表Tab.1 Relationships among ，and δ1

表1 、、與δ1 關(guān)系表Tab.1 Relationships among ，and δ1

R(1)k δ1 R(1)L R(1)p R(1)k δ1 R(1)L R(1)p 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2-0.025 19-0.020 16-0.015 12-0.010 08-0.005 04 0 0.005 042 0.010 083 1.161 064 5 1.166 416 2 1.171 822 9 1.177 285 4 1.182 804 0 1.188 381 5 1.194 016 9 1.199 711 7 0.999 683 0.999 797 0.999 886 0.999 949 0.999 987 1 0.999 987 0.999 949 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 0.015 122 0.020 159 0.025 194 0.030 224 0.035 251 0.040 272 0.045 287 0.050 295 1.205 466 8 1.211 283 3 1.217 162 0 1.223 104 0 1.229 110 3 1.235 182 0 1.241 319 9 1.247 525 4 0.999 885 0.999 796 0.999 683 0.999 544 0.999 379 0.999 190 0.998 976 0.998 738

2.2 二次非對(duì)稱模糊質(zhì)量損益函數(shù)過(guò)程均值設(shè)計(jì)

討論過(guò)前兩種情況后，以同樣的方法對(duì)二次非對(duì)稱模糊質(zhì)量損益函數(shù)進(jìn)行討論，假設(shè)產(chǎn)品的質(zhì)量特性值y服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，根據(jù)模糊質(zhì)量損益函數(shù)定義，在生產(chǎn)的工序過(guò)程未調(diào)整之前時(shí)，其輸出均值μ 與目標(biāo)值y0一致，將函數(shù)定義為兩側(cè)參數(shù)不同的二次函數(shù)的情況，則關(guān)于模糊質(zhì)量特征y的模糊質(zhì)量損益函數(shù)為

其函數(shù)圖像為圖6所示.

圖6 二次非對(duì)稱模糊質(zhì)量損益函數(shù)圖像Fig.6 Quadratic asymmetric fuzzy quality gain-loss function image

同樣的，對(duì)式（17）的函數(shù)求期望得出

簡(jiǎn)化后令

根據(jù)計(jì)算得知，E[L3(δ)]=F3(δ)，則F3(δ)是E[L3(δ)]歸類化簡(jiǎn)后的函數(shù)，兩者實(shí)質(zhì)是同一個(gè)函數(shù)，且具有相同的極值點(diǎn). 求F3(δ)關(guān)于δ 的一階微分，并令其等于零，可得出F3(δ)的所有極值點(diǎn).

由于E[L3(δ)]與F3(δ)有相同的極值點(diǎn)δ3，再由δ=得出μ3=δ3σ+y0，即μ3為模糊最優(yōu)均值.

當(dāng)μ3=δ3σ+y0時(shí)，模糊質(zhì)量損益的“田口指數(shù)”為

其中，y0u為產(chǎn)品規(guī)格上限，y0l為產(chǎn)品規(guī)格下限；σ′2=E[(Y-Y0)2]表示產(chǎn)品特征值Y偏離目標(biāo)值Y0的方差的期望，有

而過(guò)程未發(fā)生偏移，即μ=y0，δ=0 時(shí)，模糊質(zhì)量損益的期望為E[L3(0)]，則“模糊田口指數(shù)”為

表2 、、與δ3 關(guān)系表Tab.2 Relationship among ，and δ3

表2 、、與δ3 關(guān)系表Tab.2 Relationship among ，and δ3

R(3)k δ3 R(3)L R(3)p R(3)k δ3 R(3)L R(3)p 0 0.3 0.7 1 1.4 1.8 2.3 2.7 0.001 416 5 0.000 986 1 0.000 419 5 0-0.000 552 2-0.001 096 0-0.001 766 2-0.002 293 3 1.188 365 1 1.188 361 0 1.188 355 7 1.188 351 8 1.188 346 7 1.188 341 6 1.188 335 3 1.188 330 4 0.999 998 9 0.999 999 5 0.999 999 9 1 0.999 999 8 0.999 999 3 0.999 998 4 0.999 997 3 3.1 3.5 3.9 4.3 4.7 5.1 5.5-0.002 813 1-0.003 325 6-0.003 831 0-0.004 329 4-0.004 821 0-0.005 305 9-0.005 784 3 1.188 325 6 1.188 320 8 1.188 316 0 1.188 311 4 1.188 306 8 1.188 302 2 1.188 297 8 0.999 996 0 0.999 994 4 0.999 992 6 0.999 990 6 0.999 988 3 0.999 985 9 0.999 983 2

3 實(shí)例分析

丹江口大壩加高工程原材料、中間產(chǎn)品、設(shè)備構(gòu)配件質(zhì)量的檢測(cè)情況中，對(duì)中間產(chǎn)品質(zhì)量情況的混凝土拌和物性能進(jìn)行了抽檢. 右岸標(biāo)段施工單位在軍營(yíng)拌和樓出機(jī)口抽檢混凝土含氣量5265次，合格率95.0%～100%；抽查混凝土坍落度5611 次，合格率96.6%～100%；抽查混凝土出機(jī)口溫度8097 次，合格率94.0%～100%. 左岸標(biāo)段施工單位在小胡家?guī)X拌和物出機(jī)口抽檢混凝土含氣量8299次，合格率99.6%～99.9%；抽查混凝土坍落度15 832次，合格率97.8%～100%；抽查混凝土出機(jī)口溫度20 754次，合格率96.4%～99.5%. 監(jiān)理單位抽查檢測(cè)混凝土拌和物含氣量4175 次，合格率89.6%～100%；抽查檢測(cè)混凝土拌和物坍落度（擴(kuò)散度）4317 次，合格率90.6%～100%；抽查檢測(cè)混凝土拌和物溫度4044 次，合格率75.0%～100%. 混凝土拌和物質(zhì)量符合設(shè)計(jì)及規(guī)范要求.

根據(jù)工程實(shí)際及設(shè)計(jì)要求可知，混凝土拌和物含氣量質(zhì)量特征指標(biāo)服從正態(tài)分布為N(μ,0.52)，混凝土拌和物含氣量為望目特征，其目標(biāo)值為5%. 由于在實(shí)際施工過(guò)程中，對(duì)指標(biāo)的界定具有一定模糊性，模糊質(zhì)量損益函數(shù)為了更好地反映實(shí)際情況，我們將二次非對(duì)稱模糊質(zhì)量損益函數(shù)的參數(shù)定為k1=0.6，k2=0.1，Δ=0.4，Δ1=0.02，Δ2=0.43. 則模糊質(zhì)量損益函數(shù)為

根據(jù)二次非對(duì)稱模糊質(zhì)量損益函數(shù)的討論可知

由Rk=k1/k2=6 可得，Rk=6 時(shí)，δ=-0.032 753. 則最優(yōu)模糊過(guò)程均值設(shè)計(jì)為：μ=5+0.5×（-0.032 753）=4.983 623，此時(shí)模糊質(zhì)量損益率為1.495 517 5，模糊過(guò)程有效偏移率為0.999 46. 丹江口大壩加高工程混凝土拌和物含氣量質(zhì)量控制研究中，建立了二次非對(duì)稱模糊質(zhì)量損益函數(shù)，模糊過(guò)程均值μ=4.983 623小于目標(biāo)值y0=5，此時(shí)為最優(yōu)模糊過(guò)程均值，且得出模糊非對(duì)稱比率越大，調(diào)整的程度越小，模糊質(zhì)量損失率也越小，而模糊過(guò)程有效偏移率呈現(xiàn)增大后減小的趨勢(shì).

4 結(jié)論

由于產(chǎn)品質(zhì)量特性目標(biāo)值具有模糊性，應(yīng)用模糊理論對(duì)質(zhì)量損益函數(shù)模型進(jìn)行拓展，提出了模糊質(zhì)量損益函數(shù)的概念，并由此建立了相應(yīng)的模糊質(zhì)量損益模型. 在產(chǎn)品的質(zhì)量特征服從正態(tài)分布，模糊質(zhì)量損益非對(duì)稱的情況下，進(jìn)行了模糊過(guò)程均值的優(yōu)化. 研究了兩種典型非對(duì)稱模糊質(zhì)量損益的模糊過(guò)程均值設(shè)計(jì)問(wèn)題，根據(jù)提出的模糊有效偏移率、模糊對(duì)稱比率以及模糊質(zhì)量損益率的概念，分析探討了這三者之間的變化趨勢(shì)及規(guī)律.