月球車(chē)牽引力優(yōu)化控制

劉建軍，陳建新

(1.北京控制工程研究所，北京 100190;2.空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100190)

月球探測(cè)是人類(lèi)進(jìn)行太陽(yáng)系空間探測(cè)的歷史性開(kāi)端，大大促進(jìn)了人類(lèi)對(duì)月球、地球和太陽(yáng)系的認(rèn)識(shí)，帶動(dòng)了一系列基礎(chǔ)科學(xué)的創(chuàng)新，促進(jìn)了一系列應(yīng)用科學(xué)的新發(fā)展.美國(guó)與前蘇聯(lián)正是通過(guò)月球探測(cè)，建立和完善了龐大的航天工業(yè)和技術(shù)體系，有力地帶動(dòng)和促進(jìn)了一系列科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展.月球車(chē)是一種能夠適應(yīng)月球表面環(huán)境，攜帶各種科學(xué)儀器在月球表面移動(dòng)，完成探測(cè)、采樣等任務(wù)的行星探測(cè)機(jī)器人，它是我國(guó)探月二期工程(實(shí)現(xiàn)月球軟著陸及月面巡視勘查)的重要組成部分.月球車(chē)的工作環(huán)境極為惡劣，非結(jié)構(gòu)化地形、通訊困難、照明條件不穩(wěn)定、特殊的地質(zhì)條件導(dǎo)致車(chē)輪滑轉(zhuǎn)、下陷等等多種因素都對(duì)月球車(chē)的控制提出了嚴(yán)峻的挑戰(zhàn).

Muir等［1］于1986年提出了平面輪式移動(dòng)機(jī)器人的基于坐標(biāo)變換的通用運(yùn)動(dòng)學(xué)建模方法，之后McDermott等［2］對(duì)這種方法進(jìn)行了改進(jìn)，將其運(yùn)用到非結(jié)構(gòu)化地形的移動(dòng)機(jī)器人上，引入車(chē)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)滑移、側(cè)向滑移和縱向滑移，提出了一種通用的輪式移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型建模方法，Grand等［3］根據(jù)矢量方法，針對(duì)一種輪腿式移動(dòng)機(jī)器人，提出了一種通用的“靜運(yùn)動(dòng)學(xué)”(kineto-static)建模與分析方法，由于該方法中使用矢量來(lái)描述剛體運(yùn)動(dòng)，因而該方法可以描述相對(duì)于坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法更廣的接觸滑動(dòng)形式，例如不連續(xù)接觸以及接觸變形等等.Hacot等［4］對(duì)搖臂懸架式移動(dòng)機(jī)器人的空間力學(xué)模型進(jìn)行了詳細(xì)推導(dǎo)，根據(jù)靜力平衡得到了這種移動(dòng)機(jī)器人的準(zhǔn)靜態(tài)模型，根據(jù)這個(gè)模型提出了一種以消耗功率最小為目標(biāo)函數(shù)的牽引優(yōu)化控制方法.Iagnemma等［5］在Hacot的基礎(chǔ)上，引入了地面力學(xué)，提出了一種基于地面力學(xué)的力矩分配控制方法.此外，Lamon等［6］、Waldron 等［7］等也對(duì)輪式移動(dòng)機(jī)器人的力矩優(yōu)化控制方法進(jìn)行了深入的研究.

Hacot、Iagnemma 和 Lamon 等［4-6］的牽引力優(yōu)化控制方法的核心思想是在運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)方程的基礎(chǔ)上，根據(jù)每個(gè)車(chē)輪的所受載荷以及驅(qū)動(dòng)能力合理分配驅(qū)動(dòng)力矩，協(xié)調(diào)各個(gè)車(chē)輪的驅(qū)動(dòng)，以達(dá)到優(yōu)化某一項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)的效果.但限于車(chē)載計(jì)算資源，無(wú)法應(yīng)用較為復(fù)雜的控制方法，且某些假設(shè)過(guò)于嚴(yán)格.本文將冗余自由度機(jī)械臂的控制思想應(yīng)用到月球車(chē)的控制上，應(yīng)用基于零空間的數(shù)學(xué)方法分解準(zhǔn)靜態(tài)平衡方程，簡(jiǎn)化系統(tǒng)，并使用基于廣義逆的梯度投影法優(yōu)化牽引控制.

1 月球車(chē)運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析

本文的月球車(chē)采用6輪搖臂懸架式車(chē)體結(jié)構(gòu)，如圖1所示.該結(jié)構(gòu)由左右2個(gè)單側(cè)搖臂機(jī)構(gòu)組成，單側(cè)搖臂機(jī)構(gòu)由主搖臂和副搖臂鉸接構(gòu)成，其中主搖臂與后輪和副搖臂相連，副搖臂與中輪和前輪相連，左右2個(gè)獨(dú)立的單側(cè)搖臂機(jī)構(gòu)由橫桿以差動(dòng)方式將車(chē)體懸掛.車(chē)體的運(yùn)動(dòng)采用6輪獨(dú)立驅(qū)動(dòng)、前后4個(gè)角輪獨(dú)立轉(zhuǎn)向方式工作，車(chē)輪為彈性篩網(wǎng)輪.車(chē)體載有一套機(jī)械臂系統(tǒng)，用于抓取科學(xué)樣本.車(chē)箱上層有2塊太陽(yáng)能帆板，車(chē)廂內(nèi)還有可以展開(kāi)的桅桿、天線和立體視覺(jué)相機(jī).

在運(yùn)動(dòng)學(xué)的推導(dǎo)過(guò)程中，假設(shè)以下條件成立:

1)車(chē)輪及月面無(wú)變形;

2)不考慮車(chē)輪寬度;

3)車(chē)輪與月面的接觸為單點(diǎn)接觸，接觸點(diǎn)位于車(chē)輪與月面幾何外形的接觸點(diǎn)上;

4)車(chē)輪與地面持續(xù)接觸，即車(chē)輪從不離開(kāi)地面.

首先，定義各個(gè)相關(guān)的坐標(biāo)系:慣性坐標(biāo)系RW:原點(diǎn)位于月面上某一個(gè)定點(diǎn)(出發(fā)點(diǎn))，x軸在當(dāng)?shù)厮矫嬷赶驏|方，z軸沿當(dāng)?shù)卮咕€指天向上，形成右手坐標(biāo)系;車(chē)體坐標(biāo)系RR:原點(diǎn)為主搖臂差動(dòng)機(jī)構(gòu)橫桿的中心，x軸指向車(chē)體前方，y軸指向車(chē)體左側(cè)，z軸指向車(chē)體上方，形成右手坐標(biāo)系;輪架坐標(biāo)系RAi(i=1，2，…，6):原點(diǎn)位于車(chē)輪中心，與主、副搖臂固連(i=1，2，4，5 時(shí)與副搖臂固連，i=3，6 時(shí)與主搖臂固連)，當(dāng)車(chē)體在平坦地面上靜止不動(dòng)時(shí)，各軸與RR平行;接觸坐標(biāo)系RCi(i=1，2，…6):原點(diǎn)位于各個(gè)車(chē)輪上的輪地接觸點(diǎn)Ci，x軸沿切線指向車(chē)體前方，z軸垂直于切線指向車(chē)體上方，形成右手坐標(biāo)系，x軸與z軸均保持在車(chē)輪平面內(nèi)，見(jiàn)圖2.

輪地接觸點(diǎn)Ci位于第i個(gè)車(chē)輪上，由矢量代數(shù)的基本原理可得

由于

式中，(·)表示相對(duì)于慣性系RW的時(shí)間導(dǎo)數(shù)，(°)表示相對(duì)于車(chē)體坐標(biāo)系RR的時(shí)間導(dǎo)數(shù)表示RR相對(duì)于RW轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，即車(chē)體的姿態(tài)角速度.

代入式(2)可得

而

式中，(°)表示相對(duì)于車(chē)體坐標(biāo)系RR的時(shí)間導(dǎo)數(shù)，(△)表示相對(duì)于輪架坐標(biāo)系RAi的時(shí)間導(dǎo)數(shù)，Ai表示RAi相對(duì)于RR的轉(zhuǎn)動(dòng)速度.

將式(6)代入式(5)可得

又因?yàn)?/p>

式中，(△)表示相對(duì)于輪架坐標(biāo)系RAi的時(shí)間導(dǎo)數(shù)，(□)表示相對(duì)于接觸坐標(biāo)系RCi的時(shí)間導(dǎo)數(shù)，Bi表示RCi相對(duì)于RAi的轉(zhuǎn)動(dòng)速度.

代入式(7)可得

將式(9)表示在車(chē)體坐標(biāo)系RR下，則

式中，R為方向余弦陣，q×為反對(duì)稱(chēng)陣，ey=［010］T.

式中 JAiρ、JAiβ、JAiψ均為系數(shù)矩陣.

同理，接觸坐標(biāo)系RCi相對(duì)于慣性坐標(biāo)系RW的轉(zhuǎn)動(dòng)可以得到

寫(xiě)成矩陣形式，即

將6個(gè)車(chē)輪的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程整理成矩陣形式可得

在動(dòng)力學(xué)模型的推導(dǎo)過(guò)程中，假設(shè)以下條件成立:

1)車(chē)體質(zhì)心位于差動(dòng)機(jī)構(gòu)中心;

2)車(chē)輪與地面接觸為點(diǎn)接觸;

3)忽略主、副搖臂的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，忽略車(chē)輪的質(zhì)量.

限于篇幅，動(dòng)力學(xué)方程以及下面各節(jié)的推導(dǎo)只能以單側(cè)的搖臂懸架驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)為例說(shuō)明，整車(chē)的準(zhǔn)靜態(tài)平衡方程以及控制算法的推導(dǎo)方法與其一致，并不影響本文原理的闡述.

設(shè)車(chē)體的質(zhì)量為m，主搖臂的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，副搖臂的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Ib，車(chē)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Iw.則系統(tǒng)的動(dòng)能為

系統(tǒng)的勢(shì)能為

系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為

式中x、z為車(chē)體質(zhì)心的水平、垂直位移，φy為車(chē)體的俯仰角，β為副搖臂角，θi為車(chē)輪轉(zhuǎn)角.由拉格朗日第二方法得到

式中τi為車(chē)輪的驅(qū)動(dòng)力矩，r為車(chē)輪半徑，ai和bi分別車(chē)體結(jié)構(gòu)參數(shù)和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)量的函數(shù)，δi為輪地接觸角，F(xiàn)i為車(chē)輪的牽引力，Ni為支撐力.輪地接觸角可以參考文獻(xiàn)［8］的方法在線估計(jì)得到.

由于車(chē)體運(yùn)動(dòng)速度較低，則探測(cè)車(chē)的“準(zhǔn)靜態(tài)”平衡方程為

2 基于準(zhǔn)靜態(tài)平衡的牽引力優(yōu)化控制

由準(zhǔn)靜態(tài)平衡方程的前4行，可得

整理得

取 W1=0，W2=［mg00］T，

則有

整理可得

可得

記

由零空間的知識(shí)可得

記

則原方程組可分解為兩部分:

原方程組有6個(gè)未知力(Fi、Ni)，而只有4個(gè)方程，冗余度為2.支撐力Ni主要是由車(chē)體在當(dāng)前位姿在的重力分量以及牽引力Fi共同作用決定，很難直接對(duì)其進(jìn)行控制，而牽引力Fi在準(zhǔn)靜態(tài)時(shí)主要由車(chē)輪的驅(qū)動(dòng)力矩τi決定.因此，力矩優(yōu)化可以通過(guò)牽引力Fi的優(yōu)化來(lái)完成.

由地面力學(xué)可知，當(dāng)?shù)孛婵梢蕴峁┳銐虼蟮哪Σ習(xí)r，隨著滑轉(zhuǎn)率的增加，牽引力也隨之增大;當(dāng)牽引力接近或者達(dá)到地面所能夠提供的最大牽引力時(shí)，隨著滑轉(zhuǎn)率的增加，掛鉤牽引力將不再增大.本文所提出的牽引力優(yōu)化適用于前一階段，即每個(gè)車(chē)輪還具有一定的牽引能力余量，可以根據(jù)接觸力的分布，優(yōu)化控制輸出.如果處在后一階段，這時(shí)的移動(dòng)系統(tǒng)已經(jīng)達(dá)到或接近了最大牽引能力，再增加驅(qū)動(dòng)的能量，只會(huì)降低系統(tǒng)的效率，而無(wú)法提升移動(dòng)系統(tǒng)的牽引性能.

將車(chē)輪的牽引力與滑轉(zhuǎn)率的關(guān)系近似為線性，即

式中，ii為滑轉(zhuǎn)率，ei為系數(shù)，ei可以由實(shí)驗(yàn)擬合得到.

寫(xiě)成矩陣形式為

將式(31)代入式(29)，則

定義牽引系數(shù)為

取

則由梯度法可得

由滑轉(zhuǎn)率的定義得

控制框圖見(jiàn)圖3.

圖3 牽引力優(yōu)化控制示意圖

3 牽引力優(yōu)化控制仿真

本文使用多剛體動(dòng)力學(xué)軟件ADAMS建立月球車(chē)的機(jī)械系統(tǒng)模型，用其交互式的圖形環(huán)境和零件庫(kù)、約束庫(kù)、力庫(kù)，創(chuàng)建參數(shù)化的機(jī)械系統(tǒng)幾何模型;使用MATLAB建立了運(yùn)動(dòng)控制器以及驅(qū)動(dòng)電機(jī)模型;使用ASSTM建立了彈性篩網(wǎng)輪與松軟月壤的相互作用模型，模擬剛性車(chē)輪與松軟月壤之間復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)及力學(xué)關(guān)系.

仿真系統(tǒng)的各個(gè)主要參數(shù)如下:環(huán)境重力加速度為1.618 m/s2，車(chē)體模型總質(zhì)量約120 kg，3輪車(chē)體模型總質(zhì)量約60 kg，主、副搖臂質(zhì)量各約為3 kg，車(chē)輪質(zhì)量約為4 kg，車(chē)輪半徑約為16cm，輪寬約為20cm，驅(qū)動(dòng)及轉(zhuǎn)向電機(jī)采用 Maxon公司的EC-max 22無(wú)刷直流電機(jī)，額定轉(zhuǎn)速為7740 r/min，額定連續(xù)輸出力矩為11.9mN·m，驅(qū)動(dòng)、轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)減速比各為2500和1000，電機(jī)控制器采用獨(dú)立的PID控制器.由于目前國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)中都關(guān)月壤機(jī)械特性的研究比較少，難以滿足軟土動(dòng)力學(xué)軟件ASSTM對(duì)土壤參數(shù)的需求，故而仿真中的月壤使用ASSTM本身提供的一種松軟土質(zhì)代替.

為了對(duì)優(yōu)化的效果進(jìn)行比較，下面將牽引力優(yōu)化控制與基于運(yùn)動(dòng)學(xué)分解的PID控制、FIDO漫游車(chē)的速率同步控制進(jìn)行仿真比較，控制周期均為0.001s，仿真結(jié)果見(jiàn)圖4～6.

圖4 PID速度控制仿真結(jié)果

3組仿真結(jié)果顯示，PID控制過(guò)程較為平穩(wěn)，但存在穩(wěn)態(tài)誤差，且通過(guò)積分參數(shù)的調(diào)節(jié)難以消除，這主要是由于車(chē)輪打滑所引起的累積誤差所致.速率同步控制算法稍好一些，基本沒(méi)有穩(wěn)態(tài)誤差，過(guò)度過(guò)程與PID控制相當(dāng).本文所提出的算法穩(wěn)態(tài)誤差也比較小，而且調(diào)節(jié)時(shí)間比前兩個(gè)算法更短，這主要是由于該算法對(duì)牽引力進(jìn)行了優(yōu)化，這個(gè)從各個(gè)車(chē)輪的滑轉(zhuǎn)率分布就可以看出.牽引力優(yōu)化算法更大程度的發(fā)揮了電機(jī)的牽引能力，因而具有更強(qiáng)的引動(dòng)性能.

4 結(jié)論

本文根據(jù)非結(jié)構(gòu)化環(huán)境且輪地之間存在滑移的6輪搖臂懸架月球車(chē)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，對(duì)其進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)以及動(dòng)力學(xué)的分析，并根據(jù)其準(zhǔn)靜態(tài)平衡方程的特點(diǎn)，通過(guò)零空間優(yōu)化的思想對(duì)月球車(chē)的力矩進(jìn)行優(yōu)化配置.通過(guò)與基于運(yùn)動(dòng)學(xué)分解的PID控制和速率同步控制兩種著名的行星車(chē)控制方法進(jìn)行比較，驗(yàn)證了本文所提出的方法的有效性.本文所提出的牽引力優(yōu)化方法也適用于其他具有冗余自由度的輪式移動(dòng)機(jī)器人.

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