基于相關(guān)系數(shù)AR模型的陀螺隨機(jī)漂移分析方法

劉成瑞，徐 春，王治華

（1北京控制工程研究所，北京100190；2北京航空航天大學(xué)航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京100191）

基于相關(guān)系數(shù)AR模型的陀螺隨機(jī)漂移分析方法

劉成瑞1，徐 春1，王治華2

（1北京控制工程研究所，北京100190；2北京航空航天大學(xué)航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京100191）

陀螺漂移序列的均值和方差隨時(shí)間不斷變化，不屬于傳統(tǒng)的相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)序列，因此采用傳統(tǒng)的平穩(wěn)序列分析方法對(duì)其處理必然導(dǎo)致較大的誤差.通過(guò)對(duì)大量陀螺漂移數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)陀螺漂移序列的相關(guān)系數(shù)并不隨時(shí)間的平移而變化，是時(shí)間間隔的單變量函數(shù)，因此，它們屬于相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)序列.在此基礎(chǔ)上，建立了基于相關(guān)系數(shù)AR模型的陀螺漂移分析方法.該方法首先對(duì)陀螺漂移數(shù)據(jù)是否屬于相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)序列進(jìn)行判別，然后采用相關(guān)系數(shù)AR模型建模并給出模型參數(shù)的估計(jì)方法，最后可根據(jù)得到的相關(guān)系數(shù)AR模型對(duì)陀螺漂移進(jìn)行估計(jì)和補(bǔ)償.由于相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)序列能夠?qū)ν勇萜菩蛄械谋举|(zhì)特征進(jìn)行描述，因此較傳統(tǒng)方法具有更高的建模精度和補(bǔ)償精度.

陀螺漂移；相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)序列；相關(guān)系數(shù)AR模型；建模

陀螺儀是慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中的核心部件，陀螺漂移信號(hào)是影響慣性導(dǎo)航系統(tǒng)精度的主要因素.因此，建立準(zhǔn)確的陀螺漂移模型對(duì)提高慣導(dǎo)精度具有重要意義.但是，由于陀螺漂移數(shù)據(jù)的均值和方差都可隨時(shí)間復(fù)雜變化，即它屬于非平穩(wěn)時(shí)間序列，因此傳統(tǒng)平穩(wěn)序列分析方法無(wú)法對(duì)其進(jìn)行精確建模.目前，常用的方法是通過(guò)預(yù)處理（如趨勢(shì)項(xiàng)提取法、趨勢(shì)項(xiàng)剔除法等）將陀螺漂移數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為近似平穩(wěn)的序列.但這種處理方法常常帶來(lái)原始數(shù)據(jù)所沒(méi)有的偽信號(hào)，必然影響分析效果，甚至得出錯(cuò)誤的系統(tǒng)特性［1-2］.

通過(guò)大量對(duì)陀螺漂移信號(hào)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)盡管其均值和方差往往都隨時(shí)間變化，但相關(guān)系數(shù)卻只是時(shí)間間隔的單變量函數(shù)，即它們屬于相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)序列［3］.相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)序列是從非平穩(wěn)序列中分離出來(lái)的一類(lèi)實(shí)際問(wèn)題中常見(jiàn)且便于研究的時(shí)間序列，它的均值和方差都可隨時(shí)間變化，傳統(tǒng)平穩(wěn)序列只是它的一個(gè)特例，因此，相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)序列能夠更好地描述陀螺漂移序列，進(jìn)而可以建立準(zhǔn)確的陀螺漂移模型，并在此基礎(chǔ)上對(duì)陀螺漂移進(jìn)行高精度的估計(jì)和補(bǔ)償.本文首先介紹了相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)序列的基本概念和模型，然后提出了陀螺漂移序列的相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)性的判別方法、模型參數(shù)估計(jì)方法，最后給出了一個(gè)陀螺漂移的分析實(shí)例.

1 陀螺隨機(jī)漂移的相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)序列分析方法

1.1 基本概念與模型

式中 η=（η1，η2，…，ηp）′為自回歸系數(shù)， εt為高斯白噪聲（ t=1，2，…，n ），且

相關(guān)系數(shù)AR（p）模型可以將均值和方差都可隨時(shí)間變化的陀螺漂移序列轉(zhuǎn)化為統(tǒng)計(jì)特性不變的白噪聲序列，從而可利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)中現(xiàn)有方法對(duì)其進(jìn)行處理，使問(wèn)題大大簡(jiǎn)化.在此基礎(chǔ)上，還可根據(jù)模型漂移對(duì)未來(lái)值進(jìn)行預(yù)測(cè).

1.2 陀螺漂移的相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)性判別方法

其中，xjk=x（j-1）m+k（j=1，2，…，l；k=1，2，…，m）.對(duì)于n/l不能整除的情況，可將去除 l段子序列后剩余的部分作為第 l+1個(gè)子序列，即

則認(rèn)為 Ri，k和 Rj，k之間存在顯著差異，拒絕序列為相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)序列的假設(shè)，否則接受原假設(shè)，即認(rèn)為序列是相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)序列.上式中u1-α/2為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上 α/2分位點(diǎn)，Rj，k為第 j個(gè)子序列的第 k階相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值，σ（Rj，k） 為 Rj，k的理論標(biāo)準(zhǔn)差，可如下計(jì)算

1.3 陀螺漂移序列相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)建模方法

經(jīng)上述平穩(wěn)性檢驗(yàn)，若陀螺漂移序列為相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)序列，則可基于相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)AR模型建立陀螺漂移序列的描述模型，并估計(jì)模型參數(shù) a，b，η和 σε.

對(duì)式（11）求偏導(dǎo)，得到求解a，b，η和 σε似然方程如下

式中

聯(lián)立求解上述極大似然方程組可得到模型參數(shù)a，b，η和 σε.式（12） ～式（15）需迭代計(jì)算，若采用擬牛頓迭代法、梯度法等傳統(tǒng)計(jì)算方法，則往往容易發(fā)散或收斂很慢，甚至導(dǎo)致不同的初值，收斂于不同的點(diǎn).所以，建議采用文獻(xiàn)［8］中方法求解.

此外，可通過(guò)白噪聲檢驗(yàn)準(zhǔn)則、似然比檢驗(yàn)、AIC準(zhǔn)則或偏相關(guān)系數(shù)準(zhǔn)則來(lái)對(duì)陀螺漂移序列模型的適應(yīng)性進(jìn)行檢驗(yàn)［7］.

2 應(yīng)用舉例

圖1 某型陀螺隨機(jī)漂移測(cè)試數(shù)據(jù)

2.1 相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)性檢驗(yàn)

首先采用本文方法判別該陀螺隨機(jī)漂移序列是否為相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)序列.把該序列 { xk}均勻分成4段，每段1000個(gè)數(shù)據(jù)，記為.根據(jù)文獻(xiàn)［6］方法分別估計(jì)各段的趨勢(shì)項(xiàng) μ（tjk）和標(biāo)準(zhǔn)差 σ（tjk），由式（6）計(jì)算得到歸一化的子序列再由式（8）和式（9）分別求得序列（j=1，2，…，4）的前五階相關(guān)函數(shù) Rj，k（k=1，2，…，5） 及其相應(yīng)的均方差 σ（Rj，k），結(jié)果列于表 1.取置信水平為 α=0.05，由假設(shè)檢驗(yàn)可知，任意兩個(gè)子序列之間的相關(guān)函數(shù)均不滿(mǎn)足式（7），即未落在拒絕域，因此可以認(rèn)為該陀螺隨機(jī)漂移序列為相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)序列.

表 1 各子序列的相關(guān)函數(shù) Rj，k及其均方差 σ（Rj，k）

2.2 參數(shù)估計(jì)

根據(jù)文獻(xiàn)［6］對(duì)圖1所示陀螺隨機(jī)漂移序列的均值和方差隨時(shí)間的變化情況進(jìn)行分析，可知其均值 μ（tk）（k=1，2，…，n）隨時(shí)間線(xiàn)性變化，標(biāo)準(zhǔn)差函數(shù) σ（tk）（k=1，2，…，n）為頻率為 0.05 和 0.0833的周期函數(shù)，函數(shù)形式如下所示：

其中，tk=t0+Δt·k，t0=0，b0=1.

根據(jù)式（10）可得到求解陀螺隨機(jī)漂移模型參數(shù)的極大似然方程組，在此基礎(chǔ)上，通過(guò)求解方程組，便可得到圖1所示陀螺隨機(jī)序列的模型為：

根據(jù)陀螺隨機(jī)漂移原理，可采用上面確定的模型對(duì)該型陀螺的隨機(jī)漂移進(jìn)行補(bǔ)償.

3 結(jié) 論

（1）通過(guò)對(duì)大量陀螺隨機(jī)漂移數(shù)據(jù)分析研究發(fā)現(xiàn)，盡管隨機(jī)漂移序列的均值和方差隨時(shí)間變化，但大多數(shù)的相關(guān)系數(shù)是時(shí)間間隔的單變量函數(shù)，即大多數(shù)陀螺隨機(jī)漂移序列屬于相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)序列；

（2）給出了陀螺隨機(jī)漂移序列是否屬于相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)序列的判別方法，在利用相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)序列方法對(duì)隨機(jī)漂移序列進(jìn)行分析和模擬之前，應(yīng)首先判斷其是否滿(mǎn)足相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)性；

（3）建立了陀螺隨機(jī)漂移序列的相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)序列模型，給出了模型參數(shù)的估計(jì)方法，在此基礎(chǔ)上可以對(duì)陀螺隨機(jī)漂移進(jìn)行補(bǔ)償.

［1］ 吳少敏，萬(wàn)德鈞，周百令，等.陀螺隨機(jī)漂移時(shí)間序列的辨識(shí)［J］.應(yīng)用科學(xué)學(xué)報(bào)，1995，13（4）：452-456

［2］ Kitagawa G，Gersch W.A smoothness priors time-varying AR coefficientmodeling of nonstationary covariance time series［J］.IEEE Transactions on Automatic Control， 1985， 30（1）： 48-56.

［3］ 傅惠民，劉成瑞，馬小兵.相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)過(guò)程時(shí)頻分析方法［J］.航空動(dòng)力學(xué)報(bào)，2002，17（5）：505-512nalysis of wheeled-legged rover over 3D surface with posture adaptation［C］.The 12thIFToMM World Congress， Besancon， June 18-21， 2007

［4］ Farritor S，Hacot H，Dubowsky S.Physics-based planning for planetary exp loration［C］.IEEE International Conference on Robotics and Automation，Leuven， Belgium，May 16-20， 1998

［5］ Iagnemma K，Dubowsky S.Traction control of wheeled robotic vehicles in rough terrain with application to p lanetary rovers［J］.The International Journal of Robotics Research， 2004， 23（10-11）： 1029-1040

［6］ Lamon P，Ambroise K，M ichel L，et al.Wheel torque control for a rough terrain rover［C］.IEEE International Conference on Robotics and Automation， New Orleans，LA，USA，April 26-May 1，2004

［7］ Kenneth JW，Muhammad E A.An optimal traction control scheme for off-road operation of robotic vechicles［ J］.IEEE/ASME Transactions on Mechatronics，2007，12（2）： 126-133

［8］ Iagnemma K，Dubowsky S.Vehicle wheel-ground contact angle estimation：with application to mobile robot traction control［C］.The 7thInternational Symposium on Advances in Robot Kinematics，July 2000

Analysis M ethod of Gyro Random Drift Based on Correlation Coefficient AR m odel

LIU Chengrui1， XU Chun1， WANG Zhihua2
（1.Beijing Institute of Control Engineering ， Beijing 100190，China；2.Institute of Solid Mechanics， Beijing University of Aeronautics and Astronautics， Beijing 100191，China）

The gyro drift series does not belong to the traditional stationary time series because itsmeans and variances vary with time generally.Therefore，analyzing the gyro drift series by means of the traditional stationary seriesmethod must bring large error.It is found that correlation coefficients ofmost gyroscope drift series don’t vary with time and are just the function of time interval after a great amount of analysis of their statistical characteristics.Hence they belong to correlation coefficient stationary series.The analysismethod of gyro drift series based on correlation coefficient AR model is established in this paper.Firstly，the testmethod for the correlation coefficient stationarity of gyro drift series is presented.And then the modeling method and the estimation method ofmodel parameters for the gyroscope drift series are given based on the correlation coefficient AR model.and the correlation coefficient stationary series is adopted to describe the essential characteristics of the gyro drift series，and themodeling and compensating accuracies of the presented method are greatly improved.

gyro drift； correlation coefficient stationary series； correlation coefficient AR model；modeling

V249

A

1674-1579（2011）04-0031-05

10.3969/j.issn.1674-1579.2011.04.006

2011-04-06

劉成瑞（1978—），男，河北人，博士后，高級(jí)工程師，研究方向?yàn)榉瞧椒€(wěn)信號(hào)處理、故障診斷、可靠性（e-mail：liucr@bice.org.cn）.