輸入受限衛(wèi)星姿態(tài)的魯棒非線性鎮(zhèn)定與跟蹤控制*

孫 亮，霍 偉

（北京航空航天大學(xué)第七研究室，控制一體化技術(shù)國家級科技重點實驗室，北京100191）

輸入受限衛(wèi)星姿態(tài)的魯棒非線性鎮(zhèn)定與跟蹤控制*

孫 亮，霍 偉

（北京航空航天大學(xué)第七研究室，控制一體化技術(shù)國家級科技重點實驗室，北京100191）

研究控制輸入受限的衛(wèi)星在存在外部干擾和轉(zhuǎn)動慣量不確定性時的姿態(tài)鎮(zhèn)定和姿態(tài)跟蹤控制問題，利用雙曲正切函數(shù)的性質(zhì)分別設(shè)計了兩種有界魯棒非線性反饋控制律，并用李雅普諾夫方法證明：通過適當(dāng)選擇兩種控制律中的參數(shù)，可保證閉環(huán)系統(tǒng)角速度誤差漸近趨于零，且姿態(tài)誤差收斂到事先給定的原點小鄰域內(nèi).仿真結(jié)果表明利用所設(shè)計的控制律可在控制輸入受限情況下有效抑制外部干擾和轉(zhuǎn)動慣量不確定性的影響，達(dá)到預(yù)期控制目標(biāo).

衛(wèi)星姿態(tài)鎮(zhèn)定；衛(wèi)星姿態(tài)跟蹤；控制受限；魯棒非線性控制；雙曲正切函數(shù)

衛(wèi)星姿態(tài)系統(tǒng)是一種多變量、非線性、強耦合的復(fù)雜對象.衛(wèi)星在軌飛行時還會受到因燃料消耗和帆板展開等原因引起的衛(wèi)星質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量變化等參數(shù)不確定性的影響，以及重力梯度力矩、太陽輻射力矩、地磁力矩、衛(wèi)星內(nèi)部飛輪執(zhí)行機構(gòu)的摩擦力矩、活動部件的轉(zhuǎn)動力矩等各種非參數(shù)不確定性的影響.對高精度衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)的設(shè)計，必須考慮這些不確定性的抑制問題.設(shè)計衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)遇到的另一個重要問題是控制輸入受限.只有在控制設(shè)計時考慮執(zhí)行機構(gòu)輸出力矩的限制，才能確保實際受控姿態(tài)系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性.因此設(shè)計能抑制各種不確定性影響的輸入受限魯棒控制器對高精度衛(wèi)星姿態(tài)控制具有重要意義.

近年來已對控制輸入受限的衛(wèi)星姿態(tài)控制問題提出了不少控制器設(shè)計方法.如文獻(xiàn)［1-2］通過對控制輸入的加權(quán)不斷調(diào)整來限制控制量的幅值以消除受限問題的弊端，但這種方法沒有明確限制控制量的幅值大小，且未考慮模型不確定性的影響.文獻(xiàn)［3］采用無源化方法，在控制輸入飽和限制下設(shè)計了姿態(tài)調(diào)節(jié)控制器，但未考慮外部干擾力矩的影響.文獻(xiàn)［4］對帶有非參數(shù)不確定性的衛(wèi)星設(shè)計了輸入受限的魯棒自適應(yīng)變結(jié)構(gòu)姿態(tài)控制器，但未考慮參數(shù)不確定性影響，且所設(shè)計的是基于符號函數(shù)的控制算法，因此控制輸入是跳變的，從而可能影響姿態(tài)控制精度和姿態(tài)穩(wěn)定度.

本文針對采用修改的羅德里格參數(shù)作為姿態(tài)描述的剛體衛(wèi)星，考慮其姿態(tài)鎮(zhèn)定與姿態(tài)跟蹤兩類控制問題，基于雙曲正切函數(shù)的性質(zhì)分別設(shè)計了有界魯棒非線性姿態(tài)控制律.所設(shè)計的控制律在控制輸入受限時，能夠有效抑制上界已知的外部干擾力矩和轉(zhuǎn)動慣量不確定性，且用李雅普諾夫方法證明了兩類問題的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性.最后用文獻(xiàn)［5］中的衛(wèi)星參數(shù)進行仿真，結(jié)果表明所設(shè)計的控制律具有較好的快速性及魯棒性.

1 問題描述

1.1 衛(wèi)星姿態(tài)鎮(zhèn)定系統(tǒng)模型

剛性衛(wèi)星姿態(tài)動力學(xué)方程為

其中，ω為星體系相對慣性系的角速度，J∈R3×3為衛(wèi)星轉(zhuǎn)動慣量陣，u為作用在衛(wèi)星三軸上的控制力矩，d為作用在衛(wèi)星上的外部干擾力矩（包括重力梯度力矩、太陽光壓力矩、剩磁力矩、氣動力矩等），這些量都表示在星體系中；對 x=［x1，x2，x3］T∈ R3，相應(yīng)的叉乘矩陣為

它滿足xTx×=0；且對任意 y∈ R3滿足：x×y=-y×x；xTy×x=0.

其中，η為歐拉旋轉(zhuǎn)主軸的單位矢量，φ為歐拉旋轉(zhuǎn)角.由定義知用MRP描述的衛(wèi)星姿態(tài)運動學(xué)方程為［8］

假設(shè)衛(wèi)星姿態(tài)動力學(xué)方程（1）中控制輸入受限且外部干擾有界，即

由 det（4G（σ）） =（1+σTσ）3≥1知 G（σ） 非奇異，取變換陣P=G-1（σ）將衛(wèi)星姿態(tài)模型（1）～（2）化為

1.2 衛(wèi)星姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)模型

用σ表示衛(wèi)星姿態(tài)，用σ表示的星體系相對慣性系的方向余弦矩陣為［8］

用σd表示期望的衛(wèi)星姿態(tài)，可類似上式得到用 σd表示的期望星體系相對慣性系的方向余弦矩陣Rd.用 MRPs描述的衛(wèi)星姿態(tài)誤差［8］為

用 σe表示的方向余弦矩陣［8］為

則Re=.當(dāng)衛(wèi)星的期望角速度在慣性系中的表示記為ωd時，衛(wèi)星的角速度跟蹤誤差在星體系中的表示為ωe=ω-Reωd.

由此可推導(dǎo)出考慮控制輸入受限和外部干擾有界時的衛(wèi)星姿態(tài)跟蹤誤差運動學(xué)和動力學(xué)方程為

1.3 控制目標(biāo)

2 控制律設(shè)計

雙曲正切函數(shù)定義為

式中自變量x∈R，指數(shù)函數(shù)e∈R.由定義知它滿足：| tanh（x）| ＜1；且 tanh（x） =0的充要條件是x=0.

利用雙曲正切函數(shù)，可定義有界函數(shù) λtanh（μx）其中 μ∈R+為自變量系數(shù)因子，λ∈R+為函數(shù)幅值系數(shù)因子.顯然它滿足且x+λtanh（μx） =0的充要條件是 x=0.

引理1［9］.對于 ?x∈R和 ?y∈R+都有成立，其中 ρ是滿足方程 ρ=e-（ρ+1）的常數(shù)，即ρ=0.2785，e為自然對數(shù)的底.

引理2［10］.對任意 x∈ Rn，定義 tanh（x） =［tanh（x1），…，tanh（xn）］T，則有 xTtanh（x） ≥ 0.

引理3［11］.（Barbalat引理） 設(shè) φ是定義在［0，∞）上的一致連續(xù)函數(shù)，若則

2.1 衛(wèi)星姿態(tài)鎮(zhèn)定系統(tǒng)魯棒受限控制律設(shè)計

證明.取正定函數(shù)

將V（t）沿閉環(huán)控制系統(tǒng)軌跡對時間求導(dǎo)得

則有

由引理1知

當(dāng)選擇控制器參數(shù)kd使得成立時有（t） ≤ 0.

再由V（t）的定義可知

當(dāng)選擇控制律參數(shù) kp滿足時，因＜1，故此時

因此，只要事先給定 σi（t）的穩(wěn)態(tài)誤差指標(biāo)要求，由式（14）取相應(yīng)的控制律參數(shù) λi，即可使 σi（t）的穩(wěn)態(tài)誤差 ci（i=1，2，3）小于任意事先給定的值.

另外，由控制表達(dá)式（6）和雙曲正切函數(shù)性質(zhì)知，不論 λi（i=1，2，3） 取何值，總有

證畢.

2.2 衛(wèi)星姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)魯棒受限控制器設(shè)計

定理2.若已知期望軌跡 ωd（t） 滿足（其中 ρ1和 ρ2是已知正數(shù)），當(dāng)衛(wèi)星姿態(tài)模型（5）滿足且ρ2）時，設(shè)計狀態(tài)反饋控制律

證明.取正定函數(shù)

由 G（σe）的性質(zhì)且有又因且方向余弦矩陣故

則有

由引理1知

再由V（t）的定義可知

故此時

因此只要事先給定 σei（t）的穩(wěn)態(tài)誤差指標(biāo)要求，由（22）式取相應(yīng)的控制律參數(shù) αi，即可使 σei（t） 的穩(wěn)態(tài)誤差 bi（i=1，2，3）小于任意事先給定的值.

另外，由控制表達(dá)式（16）和雙曲正切函數(shù)性質(zhì)知，不論 αi（i=1，2，3） 取何值，總有|u滿足控制受限條件.

證畢.

3 數(shù)值仿真實例

為驗證由定理1和定理2所設(shè)計控制器的有效性，選擇滿足上述要求的衛(wèi)星參數(shù)［5］進行仿真.

取衛(wèi)星的轉(zhuǎn)動慣量為J=J0+ΔJ，其中

姿態(tài)鎮(zhèn)定系統(tǒng)的衛(wèi)星初始姿態(tài)、初始角速度為

姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)的衛(wèi)星初始誤差姿態(tài)、初始誤差角速度、期望角速度為

衛(wèi)星姿態(tài)鎮(zhèn)定系統(tǒng)仿真結(jié)果：在系統(tǒng)未加外部干擾和慣量不確定性時，其姿態(tài)、角速度和控制量變化曲線如圖1所示；系統(tǒng)加入外部干擾和慣量不確定性時的姿態(tài)、角速度和控制量變化曲線及外部干擾曲線如圖2所示.

圖1 未加外部干擾和慣量不確定性的姿態(tài)鎮(zhèn)定系統(tǒng)仿真結(jié)果

圖2 加入外部干擾和慣量不確定性的姿態(tài)鎮(zhèn)定系統(tǒng)仿真結(jié)果

衛(wèi)星姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)仿真結(jié)果：在系統(tǒng)未加外部干擾和慣量不確定性時，其姿態(tài)誤差、角速度誤差和控制量變化曲線如圖3所示；系統(tǒng)加入外部干擾和慣量不確定性時的姿態(tài)誤差、角速度誤差和控制量變化曲線及外部干擾曲線如圖4所示.

由圖1和圖2可知采用定理1所設(shè)計的控制器能實現(xiàn)衛(wèi)星的姿態(tài)及角速度鎮(zhèn)定，由圖3和圖4可知采用定理2所設(shè)計的控制器能實現(xiàn)衛(wèi)星的姿態(tài)及角速度跟蹤.仿真結(jié)果表明衛(wèi)星在完成整個姿態(tài)鎮(zhèn)定及姿態(tài)跟蹤的過程中，控制力矩連續(xù)變化且始終在預(yù)先給定的限制范圍內(nèi)，在有界外部干擾力矩和慣性不確定性都存在時，所設(shè)計的控制律均能有效克服這些不確定性，完成預(yù)期的姿態(tài)控制目標(biāo).

圖3 未加外部干擾和慣量不確定性的姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)仿真結(jié)果

圖4 加入外部干擾和慣量不確定性的姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)仿真結(jié)果

4 結(jié) 論

本文對控制輸入受限且受有界外部干擾和慣性不確定性影響的高精度衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)的姿態(tài)鎮(zhèn)定與姿態(tài)跟蹤問題分別設(shè)計了有界魯棒非線性狀態(tài)反饋控制器，均用李雅普諾夫方法證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.設(shè)計的控制器利用雙曲正切函數(shù)的有界性滿足了對控制受限的要求，由于雙曲正切函數(shù)的連續(xù)可微性使得所設(shè)計的控制律具有光滑的動態(tài)特性.另外，定理1和定理2對控制力矩和干擾力矩的有界性假設(shè)是將衛(wèi)星三軸統(tǒng)一對待，即三軸控制力矩的受限幅值相同，三軸干擾力矩的最大值相同.在姿態(tài)鎮(zhèn)定問題中，角速度ω隨時間變化趨于零，因此由定理1所設(shè)計的控制器適用于慣性系中的姿態(tài)鎮(zhèn)定和保持操作；在姿態(tài)跟蹤問題中，若取期望角速度為常值軌道角速度，則由定理2所設(shè)計的控制器可用于軌道系內(nèi)的姿態(tài)保持操作.仿真結(jié)果表明閉環(huán)系統(tǒng)能在控制受限條件下完成姿態(tài)控制任務(wù)，且具有較強的魯棒性.

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Satellite Attitude Robust Nonlinear Stabilization and Tracking Control with Constrained Inputs

SUN Liang，HUOWei
（The Seventh Research Division， National Key Laboratory of Science and Technology on Holistic Control，Beijing University of Aeronautics and Astronautics， Beijing 100191，China）

In the presence of inertia uncertainties， external disturbances and constrained control inputs，the problems of satellite attitude stabilization and tracking control are investigated in this paper.Two bounded robust nonlinear control laws are established based on properties of the hyperbolic tangent function.By using the Lyapunov’s stability theory and choosing controller parameters properly， it is proved that in the two closed-loop systems angular velocity errors tend to be zero asymptotically and attitude errors converge to the preset small neighborhoods of the origin.The simulation results demonstrate that the effects of inertia uncertainties and external disturbances can be attenuated by the proposed approaches under the condition of constrained control inputs.

satellite attitude stabilization； satellite attitude tracking； constrained inputs； robust nonlinear control；hyperbolic tangent function

V448.22

A

1674-1579（2011）04-0024-07

10.3969/j.issn.1674-1579.2011.04.005

*空間智能控制技術(shù)重點實驗室項目和北京市教育委員會共建重點學(xué)科項目專項資助.

2010-11-16

孫 亮（1986—），男，新疆人，碩士研究生，研究方向為衛(wèi)星姿態(tài)控制 （e-mail：sunliang@asee.buaa.edu.cn）.