變速控制力矩陀螺模式調(diào)度型操縱律設(shè)計(jì)*

楊雅萍，吳 忠

(北京航空航天大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，北京 100191)

單框架控制力矩陀螺(SGCMG)由恒速旋轉(zhuǎn)的飛輪和支撐飛輪的框架組成，輸出力矩大，但力矩分辨率較低，并存在奇異問題［1-2］.飛輪則是一種轉(zhuǎn)速可變的姿態(tài)控制執(zhí)行機(jī)構(gòu)，輸出力矩分辨率高，但力矩量值較小.為在航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)中充分發(fā)揮SGCMG、飛輪各自的優(yōu)點(diǎn)，可將SGCMG的恒速飛輪改為變速飛輪，即為變速控制力矩陀螺(VSCMG).在VSCMG中，通過(guò)框架轉(zhuǎn)動(dòng)可以輸出較大的力矩，通過(guò)飛輪轉(zhuǎn)速改變可以提高輸出力矩的分辨率，并可以借助飛輪力矩回避奇異.正是由于VSCMG兼具控制力矩陀螺和飛輪的優(yōu)點(diǎn)，不但可以實(shí)現(xiàn)航天器姿態(tài)的快速機(jī)動(dòng)，而且可以實(shí)現(xiàn)航天器姿態(tài)的高精度高穩(wěn)定度控制，必將引起航天控制領(lǐng)域的廣泛關(guān)注［3-5］.

為利用VSCMG實(shí)現(xiàn)航天器姿態(tài)控制，必須為其設(shè)計(jì)性能良好的操縱律，把姿態(tài)控制需要的力矩指令分解為每一個(gè)VSCMG的框架和飛輪指令.對(duì)于VSCMG操縱律，文獻(xiàn)［6］曾針對(duì)平行構(gòu)型的VSCMG群，設(shè)計(jì)了奇異狀態(tài)下仍然可控的操縱律;文獻(xiàn)［7-8］則根據(jù)航天器的工作狀況，在操縱律的設(shè)計(jì)中考慮了CMG模式和RW模式的切換;文獻(xiàn)［9-10］則采用加權(quán)陣對(duì)CMG模式和RW模式進(jìn)行力矩分配和調(diào)節(jié)，并加入梯度型零運(yùn)動(dòng)回避奇異;文獻(xiàn)［11-12］則研究了兩種轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速均衡方法，可以避免飛輪轉(zhuǎn)速過(guò)高或過(guò)低.

在以上操縱律研究中，大都將框架和飛輪運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的力矩考慮在一起，并通過(guò)求解一個(gè)3×2N Jacobian陣的偽逆得到框架和飛輪指令，沒有充分考慮框架和飛輪的特點(diǎn).文獻(xiàn)［13］則不同，將VSCMG的工作分解為CMG模式和RW模式.在陀螺群接近奇異時(shí)，啟用RW模式來(lái)補(bǔ)償單純CMG模式下奇異魯棒逆操縱律引起的力矩誤差;在陀螺群遠(yuǎn)離奇異狀態(tài)時(shí)，啟用CMG模式來(lái)補(bǔ)償轉(zhuǎn)子儲(chǔ)能帶來(lái)的干擾力矩.實(shí)際上，在文獻(xiàn)［13］中，框架及飛輪均處于控制狀態(tài)，RW模式與CMG模式配合工作，應(yīng)為典型的VSCMG模式.

本文從力矩分配的角度出發(fā)，設(shè)計(jì)一個(gè)模式自主調(diào)度的VSCMG操縱律.通過(guò)指令力矩方向與VSCMG力矩方向之間的關(guān)系，設(shè)計(jì)一個(gè)力矩分配方案，將姿態(tài)控制需要的力矩指令分解為CMG指令(框架轉(zhuǎn)速指令)和RW指令(飛輪轉(zhuǎn)速指令).當(dāng)系統(tǒng)遠(yuǎn)離奇異時(shí)，僅以CMG模式工作，產(chǎn)生大的輸出力矩.當(dāng)系統(tǒng)接近奇異時(shí)，引入RW模式與CMG模式配合，以VSCMG模式工作，協(xié)助VSCMG回避奇異.當(dāng)處于姿態(tài)穩(wěn)定模式，需要提供精細(xì)的姿態(tài)控制力矩時(shí)，可采用單純的RW模式工作.此操縱律把一個(gè)3×2N矩陣的求偽逆問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)3×N矩陣的求偽逆問題，物理意義明顯，且易于回避奇異.

1 數(shù)學(xué)模型

假設(shè)在某剛體航天器上，安裝N個(gè)VSCMG.定義gi、si分別為第i個(gè)VSCMG的框架角速度方向和轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速方向的單位矢量，ti=gi×si為橫向方向單位矢量，si、ti為框架角 γi的函數(shù)，i=1，…，N.三者的關(guān)系可以表示如下:

由于框架角速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于飛輪的轉(zhuǎn)速，在以下推導(dǎo)過(guò)程中，忽略框架角速度對(duì)系統(tǒng)角動(dòng)量的影響.如果設(shè)Iwsi為第i個(gè)VSCMG的轉(zhuǎn)子相對(duì)其轉(zhuǎn)子軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為Ωi，則其角動(dòng)量大小為hi=IwsiΩi，角動(dòng)量矢量可以表示為 hisi.因此，N 個(gè)VSCMG的總角動(dòng)量可表示為

H相對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)即為航天器本體作用于VSCMG的力矩，這一力矩與VSCMG作用于航天器的力矩大小相等方向相反.即

寫成矩陣形式為

其中:C(γ，Ω)=［Iws1Ω1t1，…，IwsNΩNtN］ =AtIws［Ω］d;E(γ)=［Iws1s1，…，IwsNsN］=AsIws;C、E分別為CMG模式及RW模式下3×N的Jacobian陣;γ=［γ1，…，γN］T為 N 個(gè) VSCMG 的框架角，［Ω］d=diag{Ω }，Ω =［Ω1，…，ΩN］，At=［t1，…，tN］為橫向方向矩陣，As=［s1，…，sN］為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速方向矩陣.

2 操縱律設(shè)計(jì)

VSCMG操縱律設(shè)計(jì)的核心就是根據(jù)期望的力矩指令，產(chǎn)生CMG指令(框架轉(zhuǎn)速指令)和RW指令(飛輪轉(zhuǎn)速指令).如設(shè)CMG的期望力矩為TC，飛輪的期望力矩為TE，VSCMG總的期望力矩為Td，且TC+TE=Td，則可將式(4)分解為

如果針對(duì)式(5)、式(6)分別設(shè)計(jì)操縱律，同樣可以得到實(shí)現(xiàn)期望力矩Td所需要的框架和飛輪轉(zhuǎn)速指令.這樣，即可將VSCMG操縱律的設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為CMG和RW的操縱律設(shè)計(jì)，只需分別計(jì)算C、E兩個(gè)3×N矩陣的偽逆，而不用計(jì)算3×2N矩陣［C，E］的偽逆.然而，如果將操縱律分開設(shè)計(jì)，就必須考慮如何調(diào)度VSCMG的工作模式，將期望力矩Td分解為TC和TE.對(duì)于模式調(diào)度算法、CMG操縱律和RW操縱律的設(shè)計(jì)，將在以下部分逐一介紹.

2.1 模式調(diào)度算法

在VSCMG工作模式的調(diào)度中，總的原則是:當(dāng)航天器處于姿態(tài)機(jī)動(dòng)狀態(tài)時(shí)，判斷CMG是否遠(yuǎn)離奇異.如遠(yuǎn)離奇異，僅以CMG模式工作，產(chǎn)生大的輸出力矩;一旦CMG接近奇異，引入RW模式與CMG模式配合，以VSCMG模式工作，協(xié)助VSCMG回避奇異.而當(dāng)航天器處于姿態(tài)穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，可采用單純的RW模式工作，輸出精細(xì)控制力矩.

在模式調(diào)度的具體實(shí)施中，可首先判斷航天器是處于姿態(tài)穩(wěn)定狀態(tài)，還是處于姿態(tài)機(jī)動(dòng)狀態(tài).如果處于姿態(tài)穩(wěn)定狀態(tài)，直接令VSCMG進(jìn)入純RW模式工作.如果處于姿態(tài)機(jī)動(dòng)狀態(tài)，還需通過(guò)CMG奇異狀況的判斷來(lái)確定具體工作模式.對(duì)于航天器的控制狀態(tài)，可通過(guò)姿態(tài)偏差及姿態(tài)角速度的大小來(lái)判斷.如果姿態(tài)偏差及姿態(tài)角速度均較大，則認(rèn)為航天器處于姿態(tài)機(jī)動(dòng)狀態(tài).反之，則認(rèn)為處于姿態(tài)穩(wěn)定狀態(tài).具體判斷方法比較簡(jiǎn)單，在此不贅述.在純RW 模式下，TC=0，TE=Td.

對(duì)于CMG奇異狀況的判斷，通常定義奇異測(cè)度

來(lái)表征CMG構(gòu)型距離奇異狀態(tài)的遠(yuǎn)近.ε越大，表明框架構(gòu)型離奇異狀態(tài)越遠(yuǎn);反之，離奇異狀態(tài)越近.式(7)定義的奇異測(cè)度雖然可以準(zhǔn)確反映矩陣At的奇異狀況，但不能準(zhǔn)確反映CMG構(gòu)型是否奇異.實(shí)際上，只有當(dāng)N個(gè)CMG產(chǎn)生的力矩都位于同一平面內(nèi)而期望力矩垂直于這一平面時(shí)，才認(rèn)為CMG發(fā)生了奇異.如果CMG奇異，矩陣At必定奇異;矩陣At奇異，CMG不一定奇異.因此，可從奇異的定義出發(fā)，定義參數(shù)分別表征CMG和RW的力矩產(chǎn)生能力.ε1越大，表示CMG力矩與期望力矩的夾角越小，CMG產(chǎn)生期望力矩的能力越強(qiáng)，離奇異越遠(yuǎn).反之，則代表CMG產(chǎn)生期望力矩的能力越弱，越接近奇異.因此，ε1對(duì)CMG奇異的表征更為準(zhǔn)確，可用來(lái)對(duì)CMG接近奇異的情況進(jìn)行判斷，從而確定工作模式.

為此，可設(shè)定一個(gè)閾值α＞0.當(dāng)ε1≥α?xí)r，CMG力矩與期望力矩的夾角較小，產(chǎn)生期望力矩的能力較強(qiáng)，可以令VSCMG工作在純CMG模式，TC=Td，TE=0.

當(dāng)ε1＜α?xí)r，CMG接近奇異，產(chǎn)生期望力矩的能力較弱，甚至?xí)ギa(chǎn)生期望力矩的能力.由于CMG產(chǎn)生的力矩與RW產(chǎn)生的力矩相互垂直，因此，當(dāng)ε1較小時(shí)，ε2必定較大.此時(shí)，可以讓CMG直接逃離奇異，以RW產(chǎn)生力矩，令系統(tǒng)工作在VSCMG狀態(tài).如設(shè)CMG逃離奇異時(shí)產(chǎn)生的力矩為TCS，那么 TE=Td－TCS.

為使CMG可靠逃離奇異，可設(shè)定一個(gè)最優(yōu)的目標(biāo)框架角γd，使ε1最大.γd的求取可根據(jù)式(8)進(jìn)行，在此不贅述.為使CMG的當(dāng)前框架角γt在Δt時(shí)間后變?yōu)棣胐，期望的框架角速度為:

當(dāng)期望力矩Td=0時(shí)，式(8)、(9)奇異，可直接令 TC=0，TE=0.

2.2 CMG 操縱律

CMG操縱律可仿照SGCMG的操縱律進(jìn)行設(shè)計(jì).對(duì)式(5)求Moore-Penrose逆，可得到力矩產(chǎn)生指令

為避免框架奇異，需加入框架再構(gòu)型的空轉(zhuǎn)零運(yùn)動(dòng).在此，選用梯度型零運(yùn)動(dòng)為

其中，kg為一正常數(shù).根據(jù)式(11)～(12)，可以得到CMG操縱律為

2.3 RW操縱律

與CMG類似，對(duì)式(6)求Moore-Penrose逆，可得RW模式下的力矩產(chǎn)生指令為

另外，為保證每個(gè)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速都接近平均轉(zhuǎn)速，飛輪的轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速需具有轉(zhuǎn)速均衡能力.這樣，不但可以使VSCMG具有良好的動(dòng)量包絡(luò)，還可以避免VSCMG系統(tǒng)因某個(gè)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速過(guò)高引起飽和或過(guò)低導(dǎo)致VSCMG失去大力矩輸出能力.為此，需在飛輪模式的操縱律中加入一個(gè)使各轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速向平衡轉(zhuǎn)速靠近的空轉(zhuǎn)零運(yùn)動(dòng).仿照文獻(xiàn)［7］，可設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)速均衡的零運(yùn)動(dòng)具體形式為

其中，uh為N維矢量的列向量.確定空轉(zhuǎn)零運(yùn)動(dòng)的要點(diǎn)就在于選擇矢量uh.為此，定義一個(gè)指標(biāo)函數(shù)來(lái)表征轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的平衡能力.具體函數(shù)為

對(duì)式(16)兩端求導(dǎo)，可得

根據(jù)式(17)，可以得到式(16)表示的空轉(zhuǎn)零運(yùn)動(dòng)對(duì)指標(biāo)函數(shù)J的影響為

令

則式(18)可變?yōu)?/p>

要保證轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速均衡，J應(yīng)盡量小，故應(yīng)使Rh為負(fù).因此，可取uh=－khv，kh為一正常數(shù).將uh代入式(15)中，可得到使轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速均衡的空轉(zhuǎn)指令為

根據(jù)式(14)和式(19)，可以得到RW操縱律為

3 數(shù)值仿真

為驗(yàn)證本文操縱律的有效性，在此以金字塔構(gòu)型的某4-VSCMG系統(tǒng)為例，針對(duì)幾種典型輸入進(jìn)行仿真.仿照文獻(xiàn)［11］，選擇仿真參數(shù)如下:系統(tǒng)初始框架角為 Ω0=［0°0°0°0°］T，轉(zhuǎn)子初始轉(zhuǎn)速為 Ω0=［523523523523］T(rad/s)，Iws=diag{0.7，0.7，

為簡(jiǎn)化計(jì)算，在仿真中對(duì)系統(tǒng)的角動(dòng)量進(jìn)行了歸一化處理.設(shè)Ωn=523rad/s為飛輪的標(biāo)稱轉(zhuǎn)速，則每個(gè)VSCMG轉(zhuǎn)子的標(biāo)稱角動(dòng)量為IwsiΩn.將每個(gè)VSCMG的角動(dòng)量矢量hisi除以IwsiΩn，即對(duì)系統(tǒng)的角動(dòng)量進(jìn)行了歸一化處理.

針對(duì)以下兩種情況進(jìn)行仿真:一是不采用模式調(diào)度算法，以純CMG模式工作，相當(dāng)于SGCMG;二是采用模式調(diào)度算法，自動(dòng)進(jìn)行模式切換.對(duì)比兩種情況下的仿真結(jié)果，可知在大多數(shù)情況下，系統(tǒng)由于沒有出現(xiàn)不可回避的奇點(diǎn)，CMG和VSCMG的工作性能基本相同，具體仿真曲線略.

當(dāng)期望力矩為Td=［100］T，CMG遇到不可回避的內(nèi)部橢圓形奇點(diǎn)［14］γ =［－90°0°90°0°］T，兩種情況下的仿真結(jié)果如圖1～2所示.

圖1 Td=［100］T時(shí)CMG操縱律仿真曲線

圖1是以純CMG模式工作的仿真結(jié)果，不進(jìn)行模式切換.可以看出，當(dāng)CMG的框架角γ=［－90°

0° 90° 0°］T時(shí)，奇異測(cè)度變?yōu)?，框架角速度陷入奇異狀態(tài)無(wú)法逃離，出現(xiàn)“死鎖”現(xiàn)象，CMG模式失效.

圖2是采用模式調(diào)度算法自動(dòng)進(jìn)行模式切換下的仿真結(jié)果.可以看到，當(dāng)CMG接近奇異時(shí)，RW開始工作，進(jìn)入到VSCMG工作模式.同時(shí)，對(duì)CMG主動(dòng)施加一逃逸框架角速度，使框架角逐漸逃離奇異狀態(tài).在CMG逃離奇異過(guò)程中，由于RW產(chǎn)生的力矩很小，所以會(huì)有較大的力矩誤差.逃離奇異狀態(tài)后，系統(tǒng)重新進(jìn)入CMG模式，直至飽和.

綜上所述，可知采用模式自主調(diào)度的VSCMG操縱律，可有效逃離SGCMG不可回避的奇點(diǎn).

圖2 Td=［100］T時(shí)模式調(diào)度操縱律仿真曲線

4 結(jié)論

本文充分考慮VSCMG的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了一個(gè)工作模式自主調(diào)度的操縱律.當(dāng)系統(tǒng)遠(yuǎn)離奇異時(shí)，僅以CMG模式工作，產(chǎn)生大的輸出力矩.當(dāng)系統(tǒng)接近奇異時(shí)，引入RW模式與CMG模式配合，以VSCMG模式工作，協(xié)助VSCMG回避奇異.當(dāng)處于姿態(tài)穩(wěn)定模式，采用單純的RW模式工作，提供精細(xì)的姿態(tài)控制力矩.同時(shí)，此操縱律把一個(gè)3×2N的矩陣求偽逆問題分解為兩個(gè)3×N的矩陣求偽逆問題，計(jì)算簡(jiǎn)單，更易于實(shí)現(xiàn).

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