聯(lián)合卡諾圖在時序邏輯電路設(shè)計中的應(yīng)用

盧容德 （長江大學(xué)電子信息學(xué)院，湖北 荊州434023）

時序邏輯電路經(jīng)典的設(shè)計方法——驅(qū)動表法，是在完成狀態(tài)編碼的工作后，根據(jù)編碼后的狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖和選擇的觸發(fā)器類型，列出對應(yīng)的驅(qū)動表，再根據(jù)驅(qū)動表寫出驅(qū)動函數(shù)和輸出函數(shù)的卡諾圖，用卡諾圖化簡法得出最簡的驅(qū)動函數(shù)和輸出函數(shù)表達式，得出設(shè)計電路。然后根據(jù)電路中各觸發(fā)器的次態(tài)方程，用計算法求出電路無效狀態(tài)的次態(tài)，檢查電路是否具有自啟動功能。如果電路不能自啟動，還要適當(dāng)修改設(shè)計，最后完成電路的設(shè)計任務(wù)[1-3]。這種方法在驅(qū)動函數(shù)的確定和自啟動功能的檢驗等方面，使用起來都顯得比較繁瑣。采用次態(tài)卡諾圖法，直接根據(jù)分離的次態(tài)卡諾圖得出最簡的次態(tài)函數(shù)，再根據(jù)次態(tài)方程確定驅(qū)動函數(shù)，可以使確定驅(qū)動函數(shù)的過程簡化，但仍然不能改善自啟動功能檢驗的不足[4-5]。為此，筆者直接根據(jù)次態(tài)聯(lián)合卡諾圖確定次態(tài)函數(shù)，提出了異步時序邏輯電路設(shè)計的驅(qū)動函數(shù)法和翻轉(zhuǎn)模式法，并舉例說明次態(tài)聯(lián)合卡諾圖在同步和異步時序邏輯電路設(shè)計中的應(yīng)用。

1 同步時序電路的設(shè)計

1.1 設(shè)計方法

聯(lián)合卡諾圖設(shè)計法與經(jīng)典的設(shè)計步驟完全相同，其不同點是直接根據(jù)次態(tài)聯(lián)合卡諾圖確定最簡次態(tài)函數(shù)。文獻[6]指出，時序邏輯電路的次態(tài)聯(lián)合卡諾圖，既是1個二維的狀態(tài)轉(zhuǎn)換表，又是1個表格式的狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖。所以，按照經(jīng)典的設(shè)計方法，只要完成了狀態(tài)編碼的工作，就可以直接得出次態(tài)聯(lián)合卡諾圖。所以，采用次態(tài)聯(lián)合卡諾圖的同步時序邏輯電路的設(shè)計步驟為：①邏輯抽象，得出描述對象過程的原始狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖；②狀態(tài)化簡；③狀態(tài)賦值，也叫狀態(tài)編碼；④作出次態(tài)聯(lián)合卡諾圖；⑤確定觸發(fā)器，直接用次態(tài)聯(lián)合卡諾圖得出最簡次態(tài)函數(shù)，在化簡的過程中同時考慮自啟動的問題；⑥將次態(tài)函數(shù)與觸發(fā)器的特性方程相比較，確定各觸發(fā)器的驅(qū)動函數(shù)；⑦根據(jù)輸出要求確定輸出函數(shù)；⑧畫出邏輯電路。

1.2 設(shè)計舉例

以文獻[4]討論的例題為對象，說明聯(lián)合卡諾圖在同步時序邏輯電路設(shè)計中的應(yīng)用，設(shè)計1個帶有進位輸出的同步13進制加法計數(shù)器，要求電路具有自啟動功能。

本例為計數(shù)器的設(shè)計，故直接進入同步時序邏輯電路的設(shè)計步驟③。按照8421碼編碼，得出13進制加法計數(shù)器的狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖，如圖1所示。圖1中，C為進位信號。

圖1 13進制加法計數(shù)器狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖

根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖，可以得出13進制加法計數(shù)器的次態(tài)聯(lián)合卡諾圖，如圖2（a）所示。為了使卡諾圖清晰可辨，圖2中沒有標(biāo)出輸出函數(shù)。如果對8421碼加法計數(shù)器的狀態(tài)編碼比較熟悉，可以不用狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖，直接寫出次態(tài)聯(lián)合卡諾圖。

圖2 例1的次態(tài)聯(lián)合卡諾圖

選用JK觸發(fā)器實現(xiàn)電路的功能時，根據(jù)圖2（b）中的卡諾圈，確定最簡次態(tài)函數(shù)如下：

畫卡諾圈時，不能將次態(tài)函數(shù)對應(yīng)的現(xiàn)態(tài)變量消去。如化簡Q3的次態(tài)函數(shù)時，不得利用無關(guān)項m15。根據(jù)卡諾圖中無關(guān)項圈了為1，不圈為0的規(guī)則，很容易判別該設(shè)計是否具有自啟動功能。根據(jù)圖2（b），無效狀態(tài)1101、1110、1111的次態(tài)分別為0010、0010、0000，電路能自啟動，故可以根據(jù)上述次態(tài)方程確定驅(qū)動函數(shù)。

根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖不難得出進位信號表達式（即輸出函數(shù)）：

由此得到滿足設(shè)計要求的8421碼同步13進制加法計數(shù)器邏輯電路，如圖3所示。文獻[6]將已經(jīng)作出的聯(lián)合卡諾圖拆開，再用卡諾圖法求出最簡次態(tài)函數(shù)表達式。檢驗自啟動功能時，將無效狀態(tài)對應(yīng)的編碼代入次態(tài)函數(shù)表達式中計算次態(tài)，每個無效狀態(tài)要計算4次，而根據(jù)聯(lián)合卡諾圖檢驗自啟動，無需計算，因為次態(tài)聯(lián)合卡諾圖完整地描述了現(xiàn)態(tài)與次態(tài)的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

圖3 同步13進制加法計數(shù)器邏輯電路圖

2 異步時序電路的設(shè)計

2.1 設(shè)計方法

異步時序邏輯電路的聯(lián)合卡諾圖設(shè)計法與同步時序電路基本相同，其不同點在于觸發(fā)器時鐘信號的確定及由此產(chǎn)生的次態(tài)方程描述方式的變化。

與同步時序邏輯電路相比，異步時序邏輯電路的設(shè)計比較困難，但實現(xiàn)同一個邏輯功能，異步型時序電路比較簡單。采用次態(tài)聯(lián)合卡諾圖進行異步時序邏輯電路設(shè)計，其過程十分簡捷。

描述異步時序邏輯電路的次態(tài)方程為：

式中，Xj（j＝1，2，…，m）表示輸入信號；Qi（i＝1，2，…，n）表示第i個觸發(fā)器的現(xiàn)態(tài)表示第i個觸發(fā)器的次態(tài)。

式（4）揭示了如下2個基本關(guān)系：①無CP時（CP＝0），觸發(fā)器的次態(tài)保持原來的狀態(tài)不變。②有CP時（CP＝1），觸發(fā)器的次態(tài)由電路的輸入信號和現(xiàn)態(tài)的組合以及觸發(fā)器的特性方程決定。因而上述次態(tài)方程是異步時序邏輯電路聯(lián)合卡諾圖設(shè)計法的理論基礎(chǔ)。

設(shè)計異步時序邏輯電路的方法包括驅(qū)動函數(shù)法和翻轉(zhuǎn)模式法。

驅(qū)動函數(shù)法的要點是在完成狀態(tài)編碼工作后，首先作出次態(tài)聯(lián)合卡諾圖，再確定各觸發(fā)器的時鐘脈沖，然后寫出卡諾圖中時鐘有效區(qū)內(nèi)電路的次態(tài)函數(shù)，最后將次態(tài)函數(shù)與觸發(fā)器的特性方程相比較，得出驅(qū)動函數(shù)的表達式，在時鐘有效區(qū)內(nèi)，該方法與同步電路設(shè)計過程相同。

翻轉(zhuǎn)模式法的要點是在作出次態(tài)聯(lián)合卡諾圖后，首先圈出各次態(tài)的變化區(qū)（即翻轉(zhuǎn)區(qū)），再確定滿足驅(qū)動各觸發(fā)器的時鐘脈沖。按該種方法設(shè)計，觸發(fā)器工作在“翻轉(zhuǎn)”（即計數(shù)）方式，故驅(qū)動電路簡單。

驅(qū)動函數(shù)法是先確定CP，然后求驅(qū)動函數(shù)，而翻轉(zhuǎn)模式法是先確定驅(qū)動函數(shù)（即按照翻轉(zhuǎn)模式驅(qū)動），然后求CP。

例如，在圖4（a）所示的次態(tài)聯(lián)合卡諾圖中，Q0的負(fù)跳區(qū)完全覆蓋Q2的變化區(qū)，在Q0的負(fù)跳區(qū)外，Q2的次態(tài)不變。如果采用驅(qū)動函數(shù)法，則Q2可以選擇負(fù)邊沿觸發(fā)的觸發(fā)器，將Q0作為Q2的CP；如果采用翻轉(zhuǎn)模式法，則只需在Q2的翻轉(zhuǎn)區(qū)選擇CP。下面用負(fù)邊沿觸發(fā)的JK觸發(fā)器來加以說明。

采用驅(qū)動函數(shù)法時，取CP2＝Q0，Q2次態(tài)函數(shù)的卡諾圈如圖4（b）所示。在畫卡諾圈時，要注意以下2點：①在CP有效區(qū)內(nèi)見“1”必圈；②在CP有效區(qū)外，所有最小項都是無關(guān)項，只要化簡需要，見 “0”也可以圈。

圖4 次態(tài)聯(lián)合卡諾圖在異步時序電路設(shè)計中應(yīng)用

按驅(qū)動函數(shù)法得出的Q2的次態(tài)方程如下：

其驅(qū)動方程為：

按翻轉(zhuǎn)模式法得出Q2的時鐘方程如下：

其驅(qū)動方程為：

翻轉(zhuǎn)模式法實際上就是CP“使能”法，即讓覆蓋范圍較大的CP僅僅在觸發(fā)器的翻轉(zhuǎn)區(qū)起作用，此處就是讓Q0↓ 在∑m（11，15）有效。

觀察JK觸發(fā)器的內(nèi)部電路發(fā)現(xiàn)，上述2種方法設(shè)計的驅(qū)動電路完全相同，這是因為JK觸發(fā)器的JK信號與CP信號就是邏輯與的關(guān)系。

異步時序邏輯電路設(shè)計中，選擇CP的原則如下：①翻轉(zhuǎn)最頻繁的觸發(fā)器用外接CP驅(qū)動，對于計數(shù)器，該觸發(fā)器是電路的最低位。②高位觸發(fā)器的CP由低位觸發(fā)器提供，低位觸發(fā)器提供的CP稱為內(nèi)部時鐘脈沖。③當(dāng)?shù)臀挥|發(fā)器不能滿足高位觸發(fā)器CP的要求時，則該高位觸發(fā)器由外接CP驅(qū)動。④直接由外接CP驅(qū)動的觸發(fā)器，其驅(qū)動函數(shù)確定的方法與同步時序邏輯電路的方法相同。⑤當(dāng)內(nèi)部時鐘脈沖恰好覆蓋高位觸發(fā)器的翻轉(zhuǎn)區(qū)時，則該觸發(fā)器接成翻轉(zhuǎn)模式即可。⑥當(dāng)內(nèi)部時鐘脈沖覆蓋的范圍大于高位觸發(fā)器的翻轉(zhuǎn)區(qū)時，則該觸發(fā)器的驅(qū)動設(shè)計有驅(qū)動函數(shù)法和翻轉(zhuǎn)模式法。⑦內(nèi)部時鐘脈沖的選擇，可以直接在次態(tài)聯(lián)合卡諾圖中用觀察法確定；也可以用波形圖 （時序圖）進行輔助分析[4]。

2.2 設(shè)計舉例

具體要求是設(shè)計1個具有自啟動功能的8421碼異步十進制減法計數(shù)器。

按照8421碼編碼后，十進制減法計數(shù)器的狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖如圖5所示，圖中，B為借位信號。其次態(tài)聯(lián)合卡諾圖如圖6所示。

圖5 例2的狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖

圖6 例2的次態(tài)聯(lián)合卡諾圖

選用負(fù)邊沿觸發(fā)的JK觸發(fā)器。首先，確定外接CP直接驅(qū)動觸發(fā)器FF0，直接利用聯(lián)合卡諾化簡Q0的次態(tài)函數(shù)。化簡時考慮到無關(guān)項，不難得出：

由于Q0工作在翻轉(zhuǎn)模式，故有：

故觸發(fā)器FF1驅(qū)動方程為：

接著，標(biāo)出Q1的負(fù)跳區(qū)，如圖7（b）所示。按照Q2在Q1的負(fù)跳區(qū)內(nèi)翻轉(zhuǎn)、在Q1的負(fù)跳區(qū)外保持的原則，標(biāo)出Q2無效狀態(tài)的邏輯值，如圖7（b）所示。不難發(fā)現(xiàn)的負(fù)跳區(qū)恰好覆蓋Q2的翻轉(zhuǎn)區(qū)，故可以作為觸發(fā)器FF2的時鐘脈沖并且FF2工作在翻轉(zhuǎn)模式，因此有：

這里，化簡時利用了無關(guān)項m1。

FF3的驅(qū)動方程為：

根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖得出借位信號表達式（即輸出函數(shù)）：

圖7 利用次態(tài)聯(lián)合卡諾圖的設(shè)計過程

最后，得到滿足設(shè)計要求的8421碼異步10進制減法計數(shù)器邏輯電路，如圖8所示。

根據(jù)圖7（b）所示的次態(tài)聯(lián)合卡諾圖及卡諾圈，考慮的無關(guān)項的邏輯值被圈為1、未圈為0，很容易驗證電路的自啟動性能。完整的狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖如圖9所示。

圖8 8421碼異步10進制減法計數(shù)器邏輯電路

圖9 完整的狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖

3 結(jié) 語

設(shè)計時序電路的關(guān)鍵是如何確定觸發(fā)器的驅(qū)動函數(shù)，使用次態(tài)聯(lián)合卡諾圖可以使確定驅(qū)動函數(shù)的過程簡化，而驅(qū)動函數(shù)法和翻轉(zhuǎn)模式法為時序電路設(shè)計的難點，它們?yōu)楫惒綍r序電路的設(shè)計提供了簡便有效的方法。對于時序電路自啟動功能的檢查，無論涉及到同步時序電路還是異步時序電路，次態(tài)聯(lián)合卡諾圖法都具有其獨特優(yōu)勢。

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