作為高中代數(shù)中的一個獨(dú)立分支,排列組合涉及的概念和原理不多,但內(nèi)容抽象,相對獨(dú)立性強(qiáng),不容易掌握,成為教與學(xué)的難點(diǎn)。排列組合中的相當(dāng)一部分題目又是很難用比較清晰簡潔的語言講授的。即使教師覺得講清楚了,由于學(xué)生認(rèn)知水平、思維能力的限制,不少學(xué)生還是會感到一知半解。針對這一現(xiàn)象,我嘗試在解題時根據(jù)已知條件盡快地發(fā)現(xiàn)規(guī)律,并利用規(guī)律解決問題。比如相鄰數(shù)之間的關(guān)系叫遞推關(guān)系,有了遞推關(guān)系就可以利用前面的數(shù)求出后面的未知數(shù),這種思想稱為遞推思想。本文運(yùn)用遞推思想嘗試解決排列組合中的幾個難點(diǎn)。
一階梯問題
從一樓到二樓共10級臺階,可以一步一級,也可一步二級,問小明上這10級階梯共有多少種不同方式?
解析:可以分類進(jìn)行:(1)若走0個二級,則走了10個一級,共有C010■■種共1種;
(2)若走1個二級,則走了8個一級,共有C19■■種共9種;
(3)若走2個二級,則走了6個一級,共有C28■■種共28種;
(4)若走3個二級,則走了4個一級,共有C37■■種共35種;
(5)若走4個二級,則走了2個一級,共有C46■■種共15種;
(6)若走5個二級,則走了0個一級,共有C55■■種共1種。
故共有1+15+35+28+9+1=89種不同方式。
也可根據(jù)到第n級臺階只能由第n-1級或第n-2級達(dá)到,
則 f(n)=f(n-1)+f(n-2),且f(1)=1,f(2)=2,
故: f(3)=3,f(4)=5,f(5)=8,f(6)=13,f(7)=21,f(8)=34,f(9)=55,f(10)=89。
二環(huán)形涂色問題
在如圖所示的6個區(qū)域涂上四種不同的顏色,且相鄰兩個區(qū)域不能同色。
解析:依題意只能選用4種顏色,可分五類:
(1)②與⑤同色、④與⑥同色,則有A44;
(2)③與⑤同色、④與⑥同色,則有A44;
(3)②與⑤同色、③與⑥同色,則有A44;
(4)③與⑤同色、②?搖與④同色,則有A44;
(5)②與④同色、③與⑥同色,則有A44。共120種。
上述分類較多且易漏,是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個難點(diǎn)。其實(shí)只需確定①中顏色,②③④⑤⑥就是一個環(huán)形涂色問題。環(huán)形涂色又如何解決呢?
如圖,把一個圓分成n(n≥2)個扇形,每個扇形用m種顏色中的一種去涂,要求相鄰不同色,有多少種涂色方法?
(1)當(dāng)n=2時,有A2m=m(m-1)種
(2)當(dāng)分成n個扇形,如圖,A1與A2不同色,A2與A3 不同色,
…,An-1與An不同色,共有m(m-1)n-1種涂色方法, 但由于An與A1鄰,所以應(yīng)排除An與A1同色和An與A1異色;若An、 A1同色把它們看成一個扇形,與前n-2個扇形加在一起為n-1個扇形,此時有an-1種染色法,若An與A1異色,則滿足條件。再看前面問題,4種顏色①中用去一種,另有3種,故m=3,n=5,a■=6,a■+6=3×4=12,a■=6。
a4+6=3×8=24,所以a4=18;a5+18=3×6=48,所以a■=30。
故共有4×30=120種涂色方法。
上述{an}的通項(xiàng)公式有an=(-1)n(m-1)+(m-1)n,即a■=(-1)5·2+25=30。
三傳接球問題
在排列組合中,傳接球問題通常用樹圖求解。當(dāng)傳接次數(shù)不多時可以很快得出結(jié)果,當(dāng)次數(shù)增多、人數(shù)增多時,樹圖表示就困難了。例如,四人進(jìn)行傳球練習(xí),要求從甲開始,每次只能傳給別人:
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可以看到,第n次在甲手中的可能性,即是第n-1次不在甲手中的可能性。
故由甲開始第n次回到甲手中為an,第n-1次一定不在甲手中,則an+an-1=3n-1。
若4人進(jìn)行傳接球練習(xí),要求每人接球后再傳給別人,開始甲發(fā)球,并作第一次傳球,則第5次傳球仍回到甲手中共有多少種傳球方式?
a5+a4=34,所以a5=60種。
上述三類問題在排列組合中都運(yùn)用了列舉法,列舉法對學(xué)生來說最直接、最簡單。但是,列舉的元素較多時,分類、分步就較麻煩。為了防止重復(fù)、避免遺漏,除了一題多解之外,另一種切實(shí)有效的辦法是倡導(dǎo)學(xué)生之間進(jìn)行交流與合作。
(作者單位:江西省新建縣第二中學(xué))
責(zé)任編輯:李 林