用遞推思想解決排列組合中的教學(xué)難點(diǎn)

作為高中代數(shù)中的一個獨(dú)立分支，排列組合涉及的概念和原理不多，但內(nèi)容抽象，相對獨(dú)立性強(qiáng)，不容易掌握，成為教與學(xué)的難點(diǎn)。排列組合中的相當(dāng)一部分題目又是很難用比較清晰簡潔的語言講授的。即使教師覺得講清楚了，由于學(xué)生認(rèn)知水平、思維能力的限制，不少學(xué)生還是會感到一知半解。針對這一現(xiàn)象，我嘗試在解題時根據(jù)已知條件盡快地發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并利用規(guī)律解決問題。比如相鄰數(shù)之間的關(guān)系叫遞推關(guān)系，有了遞推關(guān)系就可以利用前面的數(shù)求出后面的未知數(shù)，這種思想稱為遞推思想。本文運(yùn)用遞推思想嘗試解決排列組合中的幾個難點(diǎn)。

一階梯問題

從一樓到二樓共10級臺階，可以一步一級，也可一步二級，問小明上這10級階梯共有多少種不同方式？

解析：可以分類進(jìn)行：（1）若走0個二級，則走了10個一級，共有C010■■種共1種；

（2）若走1個二級，則走了8個一級，共有C19■■種共9種；

（3）若走2個二級，則走了6個一級，共有C28■■種共28種；

（4）若走3個二級，則走了4個一級，共有C37■■種共35種；

（5）若走4個二級，則走了2個一級，共有C46■■種共15種；

（6）若走5個二級，則走了0個一級，共有C55■■種共1種。

故共有1+15+35+28+9+1＝89種不同方式。

也可根據(jù)到第n級臺階只能由第n－1級或第n－2級達(dá)到，

則 f(n)=f(n－1)+f(n－2)，且f(1)=1，f(2)=2，

故： f(3)=3，f(4)=5，f(5)=8，f(6)=13，f(7)=21，f(8)=34，f(9)=55，f(10)=89。

二環(huán)形涂色問題

在如圖所示的6個區(qū)域涂上四種不同的顏色，且相鄰兩個區(qū)域不能同色。

解析：依題意只能選用4種顏色，可分五類：

（1）②與⑤同色、④與⑥同色，則有A44；

（2）③與⑤同色、④與⑥同色，則有A44；

（3）②與⑤同色、③與⑥同色，則有A44；

（4）③與⑤同色、②?搖與④同色，則有A44；

（5）②與④同色、③與⑥同色，則有A44。共120種。

上述分類較多且易漏，是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個難點(diǎn)。其實(shí)只需確定①中顏色，②③④⑤⑥就是一個環(huán)形涂色問題。環(huán)形涂色又如何解決呢？

如圖，把一個圓分成n(n≥2)個扇形，每個扇形用m種顏色中的一種去涂，要求相鄰不同色，有多少種涂色方法？

（1）當(dāng)n=2時，有A2m=m(m－1)種

（2）當(dāng)分成n個扇形，如圖，A1與A2不同色，A2與A3 不同色，

…，An-1與An不同色，共有m(m－1)n－1種涂色方法， 但由于An與A1鄰，所以應(yīng)排除An與A1同色和An與A1異色；若An、 A1同色把它們看成一個扇形，與前n－2個扇形加在一起為n－1個扇形，此時有an－1種染色法，若An與A1異色，則滿足條件。再看前面問題，4種顏色①中用去一種，另有3種，故m=3，n=5，a■=6，a■+6=3×4=12，a■=6。

a4+6=3×8=24，所以a4=18；a5+18=3×6=48，所以a■=30。

故共有4×30=120種涂色方法。

上述{an}的通項(xiàng)公式有an=(－1)n(m－1)+(m－1)n，即a■=(－1)5·2+25=30。

三傳接球問題

在排列組合中，傳接球問題通常用樹圖求解。當(dāng)傳接次數(shù)不多時可以很快得出結(jié)果，當(dāng)次數(shù)增多、人數(shù)增多時，樹圖表示就困難了。例如，四人進(jìn)行傳球練習(xí)，要求從甲開始，每次只能傳給別人：

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可以看到，第n次在甲手中的可能性，即是第n－1次不在甲手中的可能性。

故由甲開始第n次回到甲手中為an，第n－1次一定不在甲手中，則an+an－1=3n－1。

若4人進(jìn)行傳接球練習(xí)，要求每人接球后再傳給別人，開始甲發(fā)球，并作第一次傳球，則第5次傳球仍回到甲手中共有多少種傳球方式？

a5+a4=34，所以a5=60種。

上述三類問題在排列組合中都運(yùn)用了列舉法，列舉法對學(xué)生來說最直接、最簡單。但是，列舉的元素較多時，分類、分步就較麻煩。為了防止重復(fù)、避免遺漏，除了一題多解之外，另一種切實(shí)有效的辦法是倡導(dǎo)學(xué)生之間進(jìn)行交流與合作。

（作者單位：江西省新建縣第二中學(xué)）

責(zé)任編輯：李 林