張雪梅,李長(zhǎng)穩(wěn)
(1鹽城工學(xué)院基礎(chǔ)部,鹽城224003;2徐州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,徐州,221116)
關(guān)于?-可補(bǔ)子群的一個(gè)注記
張雪梅1,李長(zhǎng)穩(wěn)2
(1鹽城工學(xué)院基礎(chǔ)部,鹽城224003;2徐州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,徐州,221116)
設(shè)G是一個(gè)有限群,F(xiàn)是一個(gè)群系,稱群G的一個(gè)子群H 在G中F-可補(bǔ)的,如果存在G的一個(gè)子群T,使得G=HT且(H ∩T )HG/HG包含在G/HG的F-超中心Z∞F(G/HG),利用F-可補(bǔ)子群研究有限群的p-冪零性,推廣和統(tǒng)一了一些已知的結(jié)果。
F-可補(bǔ)子群;p-冪零性;Sylow子群
本文中所有的群都是有限群。群G的一個(gè)子群H稱為在G中可補(bǔ)充的,如果存在G的子群T,使得G=HT。近年來,許多學(xué)者利用特殊的補(bǔ)子群獲得了可解群和超可解群方面的大量成果,如王燕鳴引入的c-正規(guī)子群[1]和c-可補(bǔ)子群[2];2007年lsheik Ahmad A Y A[3]等給出的UC-正規(guī)子群作為上述一系列子群的推廣,郭文彬[4]又提出了F-可補(bǔ)子群。
利用F-可補(bǔ)子群的特性,文獻(xiàn)[4]中給出了一個(gè)群屬于給定的群系的若干判別準(zhǔn)則。本文在文獻(xiàn)[4]的基礎(chǔ)上,繼續(xù)對(duì)F-可補(bǔ)子群對(duì)p-冪零群的影響作一些探討。
本文主要利用Sylow子群的極大子群的F-可補(bǔ)性給出了有限p-冪零群的一個(gè)新的判別準(zhǔn)則,同時(shí)推廣到商群中去。由于F-可補(bǔ)子群比c-正規(guī)子群以及c-可補(bǔ)子群弱,本文的研究結(jié)果包含了前人在p-冪零群方面的一些研究工作,而且改進(jìn)了他們的證明方法和技巧。
定義1 設(shè)F是一個(gè)群系。如果G有一個(gè)子群K∈F,使得G=HK,則稱H在G中有F補(bǔ)充T。
定義2[4]稱群G的一個(gè)子群H在G中F-可補(bǔ)的,如果存在G的一個(gè)子群T,使得G=HT且(H ∩T)HG/HG≤∞F(G/HG)。
引理1[4]設(shè)G是一個(gè)群,H≤K≤G,則下列斷言成立:
(1)如果H在G中F-可補(bǔ)且F是子群閉的,則H在K中F-可補(bǔ);
(2)如果H?G,則K在G中F-可補(bǔ)當(dāng)且僅當(dāng)K/H在G/H中F-可補(bǔ);
(3)如果H?G,則對(duì)于每個(gè)在G中F-可補(bǔ)的且滿足(|H|,|E|)=1的子群E,有EH/H 在G/H 中F-可補(bǔ)。
引理2 設(shè)F是群系,H在G中有F補(bǔ)充。
(1)如果N?G,則HN/N在G/N中有F補(bǔ)充。
(2)如果H≤K≤G且F是子群閉的,則H在K中有F補(bǔ)充。
引理3[5]設(shè)G是一個(gè)有限群,p是一個(gè)素?cái)?shù),滿足(|G|,p-1)=1。
(1)如果G有一個(gè)循環(huán)Sylow p-子群,則G是p-冪零群。
(2)如果N是G的階為p的正規(guī)子群,則N≤Z(G)。
引理4[6]設(shè)G是一個(gè)有限群,p是一個(gè)素?cái)?shù),滿足(|G|,p-1)=1。如果P的每個(gè)極大子群在G有p-冪零補(bǔ)充,則G是p-冪零群。
引理5[7]設(shè)G是一個(gè)有限群,p是一個(gè)素?cái)?shù)。如果G有一個(gè)極大子群M和一個(gè)正規(guī)p-群P滿足G=PM,則P∩M是G的正規(guī)子群。
定理1 設(shè)F是所有p-冪零群構(gòu)成的群系,p為群G的階的素因子且滿足(|G|,p-1)=1。如果G的Sylow p-子群P的所有在G中沒有p-冪零補(bǔ)充的極大子群在G中F-可補(bǔ),則G是p-冪零群。
證明:假設(shè)定理不成立,G為極小階反例。
(1)Op′(G)=1。
假設(shè)Op′(G)≠1。
因?yàn)镻是G的Sylow p-子群,所以有POp′(G)/Op′(G)是G/Op′(G)的Sylow p-子群。如果|POp′(G)/Op′(G)|≤p,則由引理3,G/Op′(G)是p-冪零的,從而G是p-冪零的,矛盾。
因此,可設(shè)|POp′(G)/Op′(G)|>p。
設(shè) M1/Op′(G)是 POp′(G)/Op′(G)的任一極大子群,則
M1= M1∩POp′(G)=(M1∩P)Op′(G)。再設(shè)P1=M1∩P,因?yàn)?/p>
p=|POp′(G)/Op′(G):M1/Op′(G)|=|POp′(G):(M1∩P)Op′′(G)|=|P:M1∩P|=|P:P1|,
所以P1是P的極大子群。由引理1和引理2知:M1/Op′(G)在G/Op′(G)中或者有p-冪零補(bǔ)充或者F-可補(bǔ)。G/Op′(G)滿足定理的假設(shè)。由G的選取知G/Op′(G)是p-冪零的,從而G是p-冪零的,矛盾。
(2)Op(G)≠1。
由引理3知,P的任意極大子群不是單位元。如果P的每個(gè)極大子群在G中有p-冪零補(bǔ)充。由引理4知,G是p-冪零的,矛盾。因此存在P的一個(gè)極大子群H在G中沒有p-冪零補(bǔ)充。于是由定理假設(shè),存在G的一個(gè)非p-冪零子群T,使得G=HT且(H∩T)HG/HG≤Z∞F(G/HG)。如果Op(G)=1,則HG=1,從而H∩T≤Z∞F。
假設(shè)Z∞F(G)=1,則H∩T=1,從而|T|p=p。由引理3知,T是p-冪零的,矛盾。因此,可以取包含在Z∞F(G)中的G的一個(gè)極小正規(guī)子群N。由(1)知,N不是p′-群,故N是p階群。由引理1和引理2,P/N的每個(gè)極大子群在G/N中或者有p-冪零補(bǔ)充或者F-可補(bǔ)。G/N滿足定理的條件。由G的選取知,G/N是p-冪零的。由引理3知,N≤Z(G),從而G/Z(G)是p-冪零的。于是G是p-冪零的,矛盾。
(3)導(dǎo)出矛盾。
設(shè)N是包含在Op(G)中的G的一個(gè)極小正規(guī)子群。顯然N是初等交換p-群,且G/N滿足定理?xiàng)l件。由G的極小選擇有G/N是p-冪零的。
由于p-冪零群系是飽和群系,故N是包含在Op(G)中的G的唯一極小正規(guī)子群且N不包含在Φ(G)。進(jìn)一步,存在G的極大子群M,使得G=NM且M?G/N是p-冪零的。
由引理知:Op(G)∩M?G,故Op(G)∩M=1,從而N=Op(G)。設(shè)P1是P的任意極大子群,將證明P1在G中有p-冪零補(bǔ)充。否則由定理?xiàng)l件,存在G的一個(gè)非p-冪零子群T,使得G=P1T且(P1∩T)(P1)G/(P1)G≤Z∞F(G/(P1)G)。如果(P1)G≠1,則 N≤(P1)G≤P1,從而P1在G中有p-冪零補(bǔ)充M,矛盾。因此可假設(shè)(P1)G=1,于是P1∩T≤Z∞F。類似(2)中的討論,有T是p-冪零的,矛盾。既然P的每個(gè)極大子群在G有p-冪零補(bǔ)充,由引理4知G是p-冪零群,矛盾。
推論1 設(shè)G為有限群,p為|G|的最小素因子。假設(shè)G有一個(gè)Sylow p-子群P使得P的每個(gè)極大子群在G中c-正規(guī),則G是p-冪零的。
推論1 為文獻(xiàn)[8]的定理3.4。
推論2 設(shè)G為有限群,p為|G|的最小素因子。假設(shè)G的每個(gè)Sylow p-子群的極大子群在G中c-可補(bǔ),則G是p-冪零的。
推論2為文獻(xiàn)[9]的定理3.2。
推論3 設(shè)P是G的一個(gè)Sylow p-子群,其中p是|G|的一個(gè)素因子,滿足(|G|,p-1)=1。如果P的每個(gè)極大子群在G中c-可補(bǔ),則G是p-冪零群。
推論3為文獻(xiàn)[10]的定理3.1。
推論4 設(shè)P是G的一個(gè)Sylow p-子群,其中p是|G|的一個(gè)素因子,滿足(|G|,p-1)=1。如果P的每個(gè)極大子群在G中c-可補(bǔ)且G是Cp′群,則G/Op(G)是p-冪零群。
推論4為文獻(xiàn)[11]的定理3.2。
定理2 F設(shè)是所有p-冪零群構(gòu)成的群系,p為群G的階的素因子且滿足(|G|,p-1)=1。如果存在G的一個(gè)正規(guī)子群N,使得G/N為p-冪零群,并且N的Sylow p-子群P的每個(gè)極大子群在G中要么有p-冪零補(bǔ)充,要么F-可補(bǔ),則G是p-冪零群。
證明:由引理1和引理2知,N的Sylow p-子群P的每個(gè)極大子群在N中要么有p-冪零補(bǔ)充,要么F-可補(bǔ)。
由定理1知,N是p-冪零群。設(shè)Np′是N的正規(guī)Hall p′-子群,則Np′△G且G/N? (G/Np′)/(N/Np′)是p-冪零的。P Np′/Np′是N/Np′的Sylow p-子群。P Np′/Np′的極大子群可表示為P1Np′/Np′,其中P1是P的某個(gè)極大子群。
由引理1和引理2知,P1Np′/Np′在G/Np′中要么有p-冪零補(bǔ)充,要么F-可補(bǔ)。G/Np′滿足定理?xiàng)l件。若Np′≠1,由歸納得G/Np′是p-冪零群,從而G是p-冪零群。設(shè)Np′=1,即N=P。由G/N為p-冪零群,可設(shè)K/N是G/N的正規(guī)p-補(bǔ)。由Schur-Zassenhaus定理知,存在K 的 Hall p′-子群Kp′,使得K=NKp′。由定理1知,K是p-冪零的。又K的正規(guī)p-補(bǔ)Kp′也為G的正規(guī)p-補(bǔ),故G為p-冪零的。
[1]Wang Y.c-Nor mality of groups and its properties[J].J Algebra,1996,180:954-965.
[2]Wang Y.Finite groups with some subgroups of Sylow subgroups c-supplemented[J].J Algebra,2000,224:467-478.
[3]Alsheik Ahmad A Y,Jaraden J J,Skiba A N.On UC-Nor mal subgroups of finite groups[J].Algebra Colloq,2007,14(1):25-36.
[4]Guo W.On F-supplemented subgroups offnite groups[J].Manuscripta Math,2008,127:139-150.
[5]Wei H,Wang Y.On c*-normality and its properties[J].J Group Theory,2007,10:211-223.
[6]Guo W,Xie F,Li B.Some open questions in the theory of generalized per mutable subgroups[J].Science in China Series A,2009,52(10):2132-2144.
[7]Wang Y,Wei H,Li Y.A generalization of Kramer's theorem and its application[J].Bull.Austral Math Soc,2002,65:467-475.
[8]Guo X,Shum K P.On c-nor mal maximal and minimal subgroups of Sylow p-subgroups of finite groups[J].Arch Math,2003,80:561-569.
[9]Guo X,Shum K P.Finite p-nilpotent groups with some subgroups c-Supplemented[J].J Aust Math Soc,2005,78:429-439.
[10]Guo X,Shum K P.On p-nilpotency of finite groups with some subgroups c-supplemented[J].Algebra Colloq,2003,10(3):259-266.
A Note on F-supplemented Subgroup
ZHANG Xuemei1,LI Changwen2
(1 Department of Basic Sciences,Yancheng Institute of Technology,Yancheng,224003;2 School of Mathematical Science,Xuzhou Normal University,Xuzhou,221116,Chan)
Let G be a finite group and Fa formation of finite groups.A subgroup H of G is F-supplemented in G if there exists a subgroup T of G such that G=HT and(H∩T)HG/HGis contained in the F-h(huán)ypercenter Z∞F(G/HG)of G/HG.In this paper,we use F-supplemented subgroups to study p-nilpotency of finite groups.A series of previously known results are unified and generalized.
F-supplemented subgroup;p-nilpotent;Sylow subgroup
O152
A
1007-7383(2011)03-0381-03
2010-10-12
國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11071229),江蘇高校自然科學(xué)基金項(xiàng)目(10 KJD110004)
張雪梅(1978-),女,講師,從事代數(shù)研究;e-mail:x mzhang807@sohu.co m。