雙曲線切線的一組優(yōu)美性質(zhì)

☉江蘇省張家港市暨陽高級(jí)中學(xué) 趙穎穎

文［1］給出了橢圓切線的幾個(gè)有關(guān)性質(zhì)，筆者思考：橢圓和雙曲線同為圓錐曲線，既然橢圓有這樣的性質(zhì)，雙曲線應(yīng)該也有相同的性質(zhì)，或者有類似的性質(zhì).經(jīng)過筆者的探究，發(fā)現(xiàn)答案是肯定的.現(xiàn)在將雙曲線切線的若干性質(zhì)敘述如下.

性質(zhì)1 雙曲線的任意一條切線平分該切點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線段所夾的角.

圖1

所以PT平分∠F1PF2.

若點(diǎn)P（x0，y0）在雙曲線的左支，同理可證.

即雙曲線的任意一條切線平分該切點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線段所夾的角.

性質(zhì)2 自雙曲線外任一點(diǎn)引雙曲線的兩條切線，則該點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)的連線和該焦點(diǎn)與兩切點(diǎn)連線段所在的直線成等角.（雙曲線的兩支將平面分成三部分，視不含焦點(diǎn)的部分為雙曲線的外部）

由一定點(diǎn)引出的兩條切線有兩個(gè)可能，其一，向雙曲線的兩支各引一條切線；其二，向雙曲線的一支引兩條切線.我們分兩種情況討論：

（1）如圖2所示，由點(diǎn)P向雙曲線的兩支各引一條切線PQ和PQ′，T、T′為相應(yīng)的切點(diǎn).

圖2

作點(diǎn)F1關(guān)于直線PQ的對(duì)稱點(diǎn)F1′，則∠F1TP=∠PTF1′.

又根據(jù)性質(zhì)1，有∠F1TP=∠F2TP，

所以∠PTF1′=∠F2TP，所以T、F1′、F2三點(diǎn)共線，

同理，作點(diǎn)F2關(guān)于直線PQ的對(duì)稱點(diǎn)F2′，

所以△PF1F2′≌△PF1′F2（三邊對(duì)應(yīng)相等），

所以∠PF1F2′=∠PF1′F2.

又因?yàn)椤螾F1T=∠TF1′P，∠PF1′F2+∠TF1′P=π，所以∠PF1F2′+∠PF1T=π.

又因?yàn)椤螾F1R+∠PF1T=π，所以∠PF1F2′=∠PF1R，

即PF1與F1T、F1T′所成的角相等.

同理PF2與F2T、F2T′所成的角相等.

（2）如圖3所示，由點(diǎn)P向雙曲線的一支引兩切線PQ和PQ′，T、T′為相應(yīng)的切點(diǎn).

作點(diǎn)F2關(guān)于直線PQ′的對(duì)稱點(diǎn)F2′，則∠F2T′P=∠PT′F2′.

又根據(jù)性質(zhì)1，有∠F1T′P=∠F2T′P，

同理，作點(diǎn)F2關(guān)于直線PQ的對(duì)稱點(diǎn)F2″，

所以△PF1F2′≌△PF1F2″（三邊對(duì)應(yīng)相等），

所以∠PF2′F1=∠PF2″F1，∠PF1T=∠PF1T′.

即PF1與F1T、F1T′所成的角相等.

又因?yàn)椤螾F2′F1+∠T′F2′P=π，∠PF2″F1+∠TF2″P=π，

所以∠T′F2′P=∠TF2″P.

又因?yàn)椤蟃′F2′P=∠T′F2P，∠TF2″P=∠TF2P，

所以∠T′F2P=∠TF2P.

即PF2與F2T、F2T′所成的角相等.

綜合（1）、（2），于是性質(zhì)2得證.

性質(zhì)3 雙曲線的一條動(dòng)切線介于從雙曲線外一定點(diǎn)引出的兩條切線間的部分，在一個(gè)焦點(diǎn)的視角是常量.

由一定點(diǎn)引出的兩條切線有兩種可能，其一，向雙曲線的兩支各引一條切線；其二，向雙曲線的一支引兩條切線.下面我們分兩種情況討論：

（1）如圖4所示，設(shè)PA和PB為從雙曲線外一定點(diǎn)P向雙曲線的兩支各引一支的兩切線，A、B為相應(yīng)的切點(diǎn)，F(xiàn)2為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，動(dòng)切線CD交PA反向延長線于點(diǎn)D，交PB于點(diǎn)C，與雙曲線相切于點(diǎn)E.

設(shè)∠AF2B=2α，因?yàn)镻A和PB為定切線，所以2α為常量.

連接PF2，則由性質(zhì)2可知PF2與AF2、BF2所在的直線所成的角相等，即∠PF2A=∠PF2B′.

又因?yàn)镈A和DC也是雙曲線的兩條切線，連接DF2，

所以DF2與DA、DC所在的直線所成的角相等，即∠DF2A=∠DF2E′.

同理CD和CB也是雙曲線的兩條切線，故∠CF2E=∠CF2B.

圖4

注：若2α>π，類似可證.

（2）如圖5所示，設(shè)PA和PB為從雙曲線外一定點(diǎn)P向雙曲線中的一支引出的兩條切線，A、B為相應(yīng)的切點(diǎn)，F(xiàn)2為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，動(dòng)切線CD分別交PA、PB于點(diǎn)C、點(diǎn)D，且與雙曲線相切于點(diǎn)E.

設(shè)∠AF2P+∠PF2B=2α，因?yàn)镻A和PB為定切線，所以2α為常量.

連接PF2，則由性質(zhì)2可知PF2與AF2、BF2所在的直線所成的角相等，即∠PF2A=∠PF2B.

又因?yàn)镈B和DC也是雙曲線的兩條切線，連接DF2，CF2，

所以DF2與DB、DC所在的直線所成的角相等，即∠DF2B=∠DF2E.

同理CD和CA也是雙曲線的兩條切線，故∠CF2E=∠CF2A.

圖5

綜合（1）、（2），于是性質(zhì)3得證.

性質(zhì)4 自雙曲線的兩焦點(diǎn)向雙曲線的任一切線所引的兩條垂線段長的積為定值.

故兩焦點(diǎn)到切線的垂線段長的積為：

性質(zhì)5 雙曲線的一條動(dòng)切線介于雙曲線的兩漸近線間的部分，在一個(gè)焦點(diǎn)的視角是一個(gè)常量，且視角的余弦值為雙曲線離心率的倒數(shù)（或負(fù)倒數(shù)）.

設(shè)切線交兩漸近線于點(diǎn)A、B.

易得雙曲線的漸近線方程分別為bx-ay=0、bx+ay=0.

圖6

于是性質(zhì)5得證.

推論1 雙曲線的一條動(dòng)切線與雙曲線的兩漸近線的交點(diǎn)和雙曲線的兩焦點(diǎn)共圓.（證略）

性質(zhì)6 雙曲線的兩漸近線被雙曲線上任一點(diǎn)處的切線截得的兩切線段長相等.

設(shè)切線交兩漸近線于點(diǎn)A、B，

易得雙曲線的漸近線方程分別為bx-ay=0、bx+ay=0.

由性質(zhì)5證明知該切線與兩漸近線的交點(diǎn)分別為

于是性質(zhì)6得證.

性質(zhì)7 雙曲線的任一點(diǎn)處的切線與雙曲線的兩漸近線圍成的封閉三角形的面積為雙曲線實(shí)半軸與虛半軸之積.

設(shè)切線交兩漸近線于點(diǎn)A、B，

易得雙曲線的漸近線方程分別為bx-ay=0、bx+ay=0.

于是性質(zhì)7得證.

1.崔寶法．橢圓切線的幾個(gè)典型性質(zhì)［J］．?dāng)?shù)學(xué)通訊，2006（15）．