論潰壩洪水問(wèn)題

王曉松

（中國(guó)水利水電科學(xué)研究院，北京100038）

0 引 言

我國(guó)是世界上遭受自然災(zāi)害最嚴(yán)重的國(guó)家之一，洪水、滑坡、泥石流等各種災(zāi)害經(jīng)常發(fā)生，災(zāi)害種類(lèi)多、頻率高、強(qiáng)度大、危害程度嚴(yán)重。近年來(lái)，自然災(zāi)害發(fā)生的頻率和強(qiáng)度明顯增加，臺(tái)風(fēng)、暴雨、干旱等極端氣象災(zāi)害呈現(xiàn)多發(fā)、并發(fā)趨勢(shì)，成為洪澇、地質(zhì)等災(zāi)害的重要誘發(fā)因素。

我國(guó)幅員遼闊，江河眾多，約有35%的耕地、40%的人口和70%的工農(nóng)業(yè)產(chǎn)值受到江河洪水的威脅，洪水災(zāi)害損失在各類(lèi)自然災(zāi)害中位居首位，每年洪災(zāi)的直接經(jīng)濟(jì)損失，少則幾百億元，多則幾千億元。隨著經(jīng)濟(jì)社會(huì)快速發(fā)展，城市化進(jìn)程加快，使得單位面積內(nèi)人口、財(cái)富價(jià)值大幅增加，洪水災(zāi)害造成的受災(zāi)面積、受災(zāi)人口和經(jīng)濟(jì)損失居高不下，已經(jīng)成為社會(huì)經(jīng)濟(jì)可持續(xù)發(fā)展的嚴(yán)重制約因素之一。

洪水災(zāi)害按形成機(jī)理和成災(zāi)環(huán)境特點(diǎn)可概括為潰決型、漫溢型、內(nèi)澇型、蓄洪型、山地型、海岸型、城市型等。近年來(lái)城區(qū)內(nèi)澇及山區(qū)河流暴露出的問(wèn)題使防災(zāi)減災(zāi)的任務(wù)更加艱巨。中國(guó)半數(shù)以上的行政區(qū)劃涉及山區(qū)河流，山地型洪水災(zāi)害不容忽視，雖然山洪暴發(fā)僅局限在相對(duì)較小的區(qū)域內(nèi)，持續(xù)時(shí)間也較短，但其潛在的破壞力不容忽視。未來(lái)十年，中小河流治理的首要任務(wù)就是要解決山區(qū)河流中暴雨、山洪及其誘發(fā)的滑坡、泥石流等突發(fā)性災(zāi)害。

公共安全作為國(guó)家安全和社會(huì)穩(wěn)定的基石，是政府加強(qiáng)社會(huì)管理和公共服務(wù)的重要內(nèi)容，也是全面建設(shè)小康社會(huì)必須解決的重大戰(zhàn)略問(wèn)題。加大防災(zāi)減災(zāi)力度，最大限度減少自然災(zāi)害給人民生命財(cái)產(chǎn)帶來(lái)的損失，是落實(shí)科學(xué)發(fā)展觀(guān)，構(gòu)建和諧社會(huì)的重要保證。我國(guó)于2005年專(zhuān)門(mén)成立了國(guó)家減災(zāi)委員會(huì)，加強(qiáng)在災(zāi)害監(jiān)測(cè)、應(yīng)急預(yù)案等方面的工作，防災(zāi)減災(zāi)科技水平明顯提高。重大自然災(zāi)害的監(jiān)測(cè)、預(yù)警和應(yīng)急處置關(guān)鍵技術(shù)也列為 《國(guó)家中長(zhǎng)期科學(xué)和技術(shù)發(fā)展規(guī)劃綱要（2006－2020）》中重點(diǎn)領(lǐng)域中的優(yōu)先主題。為貫徹落實(shí)發(fā)展規(guī)劃綱要，提高我國(guó)大壩的管理水平，確保大壩安全，降低大壩風(fēng)險(xiǎn)，保障下游公共安全，科技部 “十一五”期間啟動(dòng)國(guó)家科技支撐計(jì)劃重點(diǎn)項(xiàng)目 “水庫(kù)大壩安全保障關(guān)鍵技術(shù)研究”，分8項(xiàng)課題進(jìn)行重點(diǎn)研究，對(duì)潰壩洪水問(wèn)題給以充分重視。

20世紀(jì)90年代初，國(guó)際大壩委員會(huì)第99號(hào)專(zhuān)題報(bào)告（Bulletin 99）對(duì)世界（中國(guó)除外）潰壩事故作出統(tǒng)計(jì)。1900～1951年共建各種大壩5 286座，其中潰壩117座；1951～1986年共建大壩12 138座，其中潰壩59座。1954～2005年全國(guó)共有3 486座水庫(kù)垮壩，絕大多數(shù)潰壩屬于小型水庫(kù)，約占潰壩總數(shù)的96%。造成水庫(kù)潰壩的原因，主要是防洪標(biāo)準(zhǔn)偏低、工程質(zhì)量差、管理運(yùn)行不當(dāng)以及地震等突發(fā)事件。其中40%的潰壩是由溢洪道設(shè)計(jì)不當(dāng)漫頂所致，33%是由滲透破壞所致，20%是由基礎(chǔ)破壞所致。

我國(guó)大壩年均潰壩率遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出世界其它國(guó)家，同時(shí)潰壩所造成的災(zāi)難也是最大的。河南 “75.8”大水，板橋、石漫灘水庫(kù)潰壩失事，造成巨大經(jīng)濟(jì)損失。我國(guó)中小水庫(kù)眾多，失事率高，加上由于中小河流堤防標(biāo)準(zhǔn)低，防洪措施比較薄弱，因此潰壩帶來(lái)的危害更大。

從國(guó)內(nèi)外潰壩概況來(lái)看，失事率近期小于過(guò)去，大庫(kù)、高壩小于小庫(kù)和低壩，土石壩大于混凝土壩。

盡管水庫(kù)的安全管理得到了較高的重視，事故的概率已顯著降低，但大壩安全仍是水庫(kù)建設(shè)和管理的核心問(wèn)題。潰壩洪水具有預(yù)見(jiàn)期短、突發(fā)性強(qiáng)、洪水暴漲暴落、水量集中、破壞力大等特點(diǎn)。如何提高潰壩的預(yù)報(bào)預(yù)測(cè)水平，建立洪災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估系統(tǒng)，制定區(qū)域防洪應(yīng)急預(yù)案，增強(qiáng)抗御潰壩洪水災(zāi)害的能力，是當(dāng)前我國(guó)防洪減災(zāi)工作中亟待解決的突出問(wèn)題。

1 潰壩問(wèn)題

潰壩研究是伴隨社會(huì)發(fā)展的永恒主題，經(jīng)濟(jì)越發(fā)達(dá)，越需要對(duì)大壩安全給予高度重視，更需要開(kāi)展?jié)斡绊懙娘L(fēng)險(xiǎn)評(píng)估和對(duì)策研究。隨著技術(shù)進(jìn)步、社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，對(duì)潰壩的研究以及安全管理對(duì)策也在不斷地發(fā)生變化。20世紀(jì)90年代末期歐美國(guó)家又掀起新一輪的潰壩研究高峰，包括美國(guó)國(guó)家大壩安全計(jì)劃 （NDSP）、美國(guó)土石壩潰壩洪水研究項(xiàng)目及歐共體潰壩洪水研究項(xiàng)目（CADAM）。法國(guó)的Malpasset、意大利的Vojont、美國(guó)的Teton等典型的潰壩問(wèn)題作為經(jīng)典問(wèn)題，得到深入廣泛的研究。

潰壩的潰決方式及潰決過(guò)程具有相當(dāng)?shù)牟淮_定性，決定了潰壩洪水的規(guī)模及影響范圍。研究潰壩洪水，對(duì)于掌握潰壩洪水演進(jìn)規(guī)律，啟動(dòng)應(yīng)急預(yù)案，降低次生災(zāi)害的影響，具有重要意義。目前，潰壩計(jì)算，可以合理地確定堤防的防洪設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估、災(zāi)情評(píng)價(jià)、環(huán)境與生態(tài)影響評(píng)價(jià)。

潰壩風(fēng)險(xiǎn)分析的關(guān)鍵在于建立科學(xué)合理的潰壩水流分析計(jì)算方法，自上個(gè)世紀(jì)初期以來(lái)，潰壩水流數(shù)值計(jì)算方法的研究取得了長(zhǎng)足進(jìn)展。因潰壩問(wèn)題的復(fù)雜性，一些關(guān)鍵問(wèn)題仍未獲得圓滿(mǎn)解決。

歐洲投入巨資對(duì)潰壩洪水模型進(jìn)行全面的比較研究，認(rèn)為目前所采用的各種模型仍然存在相當(dāng)大的不確定性。這些問(wèn)題的進(jìn)一步研究與探討，無(wú)論在理論和實(shí)踐上都具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

潰壩洪水問(wèn)題研究的內(nèi)容包括壩的潰決過(guò)程、潰壩洪水演進(jìn)計(jì)算及風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)等，研究的最終目的歸結(jié)到下游的洪水演進(jìn)問(wèn)題。

潰口形成是一個(gè)逐漸發(fā)展的過(guò)程，隨壩高、筑壩材料及水流作用的程度而異。當(dāng)破壞開(kāi)始形成于壩體的某點(diǎn)時(shí)，由于水流對(duì)壩體內(nèi)部的沖刷，導(dǎo)致壩頂?shù)奶涌鞚Q。

潰決方式及潰決過(guò)程具有相當(dāng)?shù)牟淮_定性，對(duì)其準(zhǔn)確的掌握直接關(guān)系到對(duì)潰壩洪水的規(guī)模及影響范圍的精準(zhǔn)判斷。有各種潰口模擬的模型，主要差異體現(xiàn)在初始潰口形狀的假定和潰口擴(kuò)大演變的方式。目前模擬潰口細(xì)部沖刷、坍塌和擴(kuò)展過(guò)程的精確模型還達(dá)不到實(shí)用要求。

潰壩流量過(guò)程及峰值泄量等參數(shù)是潰壩風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估的重要參數(shù)，是潰壩洪水計(jì)算及正確評(píng)價(jià)潰決風(fēng)險(xiǎn)的基礎(chǔ)。早期的潰壩模擬，通常都是假設(shè)潰壩瞬間破壞的最不利情形，并根據(jù)由此產(chǎn)生的洪水來(lái)計(jì)算潰壩下游的洪水演進(jìn)過(guò)程。

1871年圣維南（Saint－Venant）在3個(gè)基本假設(shè)條件下提出一維非恒定流偏微分方程組，并被推廣到二維。潰壩造成的洪水波稱(chēng)為潰壩波，它是間斷波，有其特殊性，但仍滿(mǎn)足圣維南方程組［1－4］。

由于圣維南方程組是非線(xiàn)性的雙曲型偏微分方程，至今尚無(wú)理論解，人們首先關(guān)注潰壩洪水的近似解，1892年Ritter在一維平底、無(wú)阻力、矩形斷面、下游無(wú)水、棱柱形無(wú)限長(zhǎng)明渠等簡(jiǎn)化條件下，利用特征理論，推出瞬間潰壩問(wèn)題的第一個(gè)計(jì)算公式。

在計(jì)算機(jī)普遍使用以前，實(shí)際應(yīng)用中都采用簡(jiǎn)化計(jì)算，在初邊值條件相當(dāng)簡(jiǎn)化的基礎(chǔ)上對(duì)Saint－Venant方程進(jìn)行求解分析，其中最典型的為特征線(xiàn)法，將時(shí)間離散和空間離散一起處理，穩(wěn)定性好，計(jì)算精度高，算法符合水流運(yùn)動(dòng)的物理機(jī)制，能反映出信息沿特征線(xiàn)傳播的性質(zhì)，適宜求解周期短、變化急劇的問(wèn)題，其結(jié)果對(duì)理解潰壩洪水演進(jìn)的機(jī)理有很大的意義。

隨著計(jì)算機(jī)性能和數(shù)值計(jì)算方法的迅速發(fā)展，數(shù)值求解Saint－Venant方程組的Riemann問(wèn)題逐漸成為了研究潰壩波的主要手段，特別是在計(jì)算域邊值條件和初始條件較為復(fù)雜時(shí)，數(shù)值模擬的優(yōu)越性更為明顯，可在廣泛的參數(shù)范圍內(nèi)較快地給出流場(chǎng)的定量結(jié)果［5］。

求解圣維南方程組的數(shù)值方法很多，常用的方法有特征線(xiàn)法、有限差分法、有限元法、有限體積法等，其中，有限體積法兼有有限差分法物理概念清晰和有限元法非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格適應(yīng)復(fù)雜邊界及計(jì)算精度高的特點(diǎn)，有著很大的發(fā)展?jié)摿Α?/p>

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，涉及新興交叉科學(xué)的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等方法也被逐漸引入到洪水演進(jìn)模型中，信息處理、模式識(shí)別和綜合推理能力決定了其能夠同時(shí)實(shí)現(xiàn)多對(duì)象的輸入和多目標(biāo)的輸出，可應(yīng)用于諸如潰壩洪水等一些非線(xiàn)性問(wèn)題的預(yù)測(cè)、預(yù)報(bào)［6－8］。

2 潰壩模型

大壩風(fēng)險(xiǎn)分析技術(shù)發(fā)展很快，特別是在美國(guó)、加拿大、澳大利亞和西歐國(guó)家發(fā)展迅速，目前主要關(guān)注點(diǎn)是潰壩模式及定量的風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)方法，開(kāi)發(fā)了一系列實(shí)用性較強(qiáng)的潰壩及洪水演算模型。從早期的Cristofano（1965）模型到目前使用的BEED模型、BREECH模型和DAMBRK模型，這些模型的開(kāi)發(fā)，為潰壩洪水計(jì)算提供了強(qiáng)大的支持。

美國(guó)國(guó)家氣象局（NWS）開(kāi)發(fā)的BREACH模型是基于Fread預(yù)報(bào)土壩潰壩洪水過(guò)程線(xiàn)而開(kāi)發(fā)的，模型建立在水力學(xué)、泥沙、土力學(xué)、水庫(kù)庫(kù)容特性、入庫(kù)及下泄流量隨時(shí)間變化的基礎(chǔ)上，可以用來(lái)預(yù)測(cè)土壩及堆石壩因管涌或漫頂導(dǎo)致的潰壩洪水過(guò)程，只進(jìn)行入庫(kù)水流和潰口形態(tài)演進(jìn)的模擬，利用水量平衡方程、泥沙輸移方程等來(lái)獲取庫(kù)水位、潰口出流過(guò)程線(xiàn)等數(shù)據(jù)，并不進(jìn)行下游的洪水演進(jìn)計(jì)算。由于土石壩的潰決過(guò)程是水流與壩體相互作用的一個(gè)復(fù)雜過(guò)程，到目前為止，潰壩的潰決機(jī)理還不是十分清楚，因此，在具體計(jì)算時(shí)，潰口尺寸一般根據(jù)實(shí)驗(yàn)和實(shí)測(cè)資料確定，模型精度稍差。

Fread（1984）研究開(kāi)發(fā)的DAMBRK模型是目前最全面的通用模型，較好地模擬大壩潰決的過(guò)程，可以確定潰口底寬、頂寬、邊坡隨時(shí)間和空間的變化，潰決歷時(shí)，潰口泄量、洪水過(guò)程及在下游的傳播與演進(jìn)。潰口的形態(tài)主要與壩型和筑壩材料有關(guān)，主要通過(guò)近似假定來(lái)確定。采用圣維南方程來(lái)描述洪水波向下游的傳播，并采用多種方法來(lái)演算潰決洪水過(guò)程線(xiàn)，應(yīng)用范圍廣，可滿(mǎn)足不同場(chǎng)合的要求。

FLDWAV模型是Fread在DAMBRK模型和BREACH模型基礎(chǔ)上開(kāi)發(fā)出來(lái)的功能更強(qiáng)大的模型。此外，目前可用于進(jìn)行潰壩分析和下游洪水演進(jìn)的計(jì)算軟件還有USACE開(kāi)發(fā)的HEC－RAS及DHI開(kāi)發(fā)的Mike Flood商業(yè)軟件。

3 潰壩洪水的數(shù)值模擬

描述潰壩洪水的雙曲型方程由于初始條件及邊界條件有間斷，加上方程本身的數(shù)學(xué)特性，不管初始解如何光滑，解都可能產(chǎn)生間斷，所對(duì)應(yīng)的物理現(xiàn)象是流場(chǎng)中所存在的間斷波，這一特性使得潰壩洪水問(wèn)題的計(jì)算有其特殊的困難。潰壩洪水演進(jìn)計(jì)算格式要求能有效的捕捉間斷且含有足夠的耗散，使數(shù)值解不出現(xiàn)振蕩。以往的做法是在格式中引入人工粘性，在應(yīng)用中也取得了一定的效果，但人工粘性的引入將梯度抹平，對(duì)計(jì)算精度產(chǎn)生影響。許多算法失效，其原因在于所用差分格式不能抑制虛假振蕩且保證足夠的精度，不是過(guò)分耗散就是數(shù)值振蕩。

由重力引起的淺水運(yùn)動(dòng)類(lèi)似于可壓縮流體的運(yùn)動(dòng)，因此求解含激波的空氣動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的方法可用來(lái)求解潰壩洪水問(wèn)題，MacCormack，Bean－Warming，Godunov等差分格式的引入取得良好的效果。

在間斷點(diǎn)，對(duì)一無(wú)窮小領(lǐng)域建立積分形式的質(zhì)量及動(dòng)量平衡，得到間跳躍條件（Ranlone－Hugoniot），以此條件代替在該點(diǎn)不成立的微分方程，表達(dá)相同的物理規(guī)律。對(duì)于間斷解的求解可通過(guò)求解相應(yīng)的黎曼問(wèn)題來(lái)確定。要正確模擬間斷條件，格式必須是守恒的，滿(mǎn)足Rankine－Hugoniot跳躍關(guān)系式的常規(guī)格式很難有效處理。

1959年Godunov考慮了物理流動(dòng)特性，利用“黎曼間斷解”問(wèn)題的精確解來(lái)計(jì)算網(wǎng)格邊上的物理量，進(jìn)而提出的MUSCL格式開(kāi)始了高階格式的研究。從傳統(tǒng)的min mod擴(kuò)散性限制器到superbee壓縮性限制器，通過(guò)引入通量限制器構(gòu)造出各種高分辨率且無(wú)振蕩地捕捉間斷波的高精度格式，TVD格式和ENO格式相繼提出，算例表明此類(lèi)格式能夠自動(dòng)俘獲間斷且能消除間斷附近的虛假數(shù)值振蕩。

潰壩洪水演進(jìn)的計(jì)算格式應(yīng)能夠保證計(jì)算的穩(wěn)定性、對(duì)間斷有高分辨率、具有滿(mǎn)意的精度、保證解的光滑區(qū)內(nèi)具有二階精度、間斷附近局部降低精度、數(shù)值解收斂于物理解，即在間斷處自動(dòng)滿(mǎn)足跳躍條件［9－14］。

4 存在的問(wèn)題

對(duì)于潰壩水流這種強(qiáng)間斷的水流，問(wèn)題難度大，流態(tài)及邊界條件復(fù)雜，影響高精度、高分辨率的計(jì)算模型在實(shí)際工程中的應(yīng)用。如何處理潰壩洪水長(zhǎng)時(shí)間、大范圍、復(fù)雜流動(dòng)的模擬計(jì)算，各國(guó)學(xué)者作了大量研究。潰壩洪水演進(jìn)計(jì)算中存在一系列模擬的難點(diǎn)問(wèn)題［15］：

1）潰口過(guò)程的控制參數(shù)十分復(fù)雜，潰壩的水位流量過(guò)程線(xiàn)存在很大的不確定性，導(dǎo)致模擬困難；

2）一、二維嵌套計(jì)算已成為洪水演進(jìn)分析計(jì)算的主要方法，灘地與主槽水流的相互作用是一個(gè)難以處理的問(wèn)題；

3）底坡和濕周斷面的非棱柱性對(duì)計(jì)算精度和穩(wěn)定性的影響不容忽視；

4）潰壩洪水各種流態(tài)共存，對(duì)間斷的捕捉要求有高分辨的計(jì)算格式；

5）缺少潰壩洪水的實(shí)測(cè)資料，很難對(duì)建立的模型用實(shí)測(cè)資料進(jìn)行驗(yàn)證；

6）由于地形和地貌復(fù)雜，糙率難以準(zhǔn)確率定和檢驗(yàn)，非物理振蕩常導(dǎo)致計(jì)算失穩(wěn)；

7）模擬計(jì)算中如何動(dòng)態(tài)反映各計(jì)算參數(shù)間的相互作用；

8）淺水流動(dòng)方程的源項(xiàng)包括底坡和摩阻兩項(xiàng)，對(duì)格式的單調(diào)性、穩(wěn)定條件和計(jì)算精度有較大影響；

9）潰壩水流對(duì)潰口下游的河床沖刷作用使地形發(fā)生較大變化，影響下泄洪水的傳播；

10）由于潰壩水流梯度很大，自由水面的邊界條件往往隨時(shí)間變化較為劇烈，計(jì)算網(wǎng)格難以處理任意幾何形狀的計(jì)算域和地形。

5 工作展望

國(guó)外以3S技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)為支撐的災(zāi)害評(píng)價(jià)應(yīng)用已很廣泛，比較完整和規(guī)范的災(zāi)害評(píng)價(jià)體系逐漸形成。

為提高潰壩的預(yù)報(bào)預(yù)測(cè)水平，建立洪災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估系統(tǒng)，制定區(qū)域防洪應(yīng)急預(yù)案，增強(qiáng)抗御潰壩洪水災(zāi)害的能力。我國(guó)防洪減災(zāi)潰壩洪水亟待解決的突出問(wèn)題是：

1）在借鑒國(guó)內(nèi)外有關(guān)潰壩數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，利用現(xiàn)場(chǎng)和室內(nèi)物理模型試驗(yàn)取得的研究成果，針對(duì)可能的潰壩模式，進(jìn)一步完善潰壩水流、潰口形態(tài)互相耦合的潰決過(guò)程和潰壩洪水波演進(jìn)的數(shù)學(xué)模型；

2）構(gòu)建高精度、高分辨率的滿(mǎn)足實(shí)際需求的潰壩水流數(shù)值計(jì)算模型，精確模擬潰壩洪水在下游演進(jìn)的問(wèn)題；

3）實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)抽象的表達(dá)十分復(fù)雜，理論研究尚不夠充分，跟不上數(shù)值模擬的進(jìn)展，因而需要就穩(wěn)定性、誤差、收斂性和唯一性等方面進(jìn)行數(shù)值試驗(yàn)，驗(yàn)證數(shù)值解的可靠性；

4）開(kāi)發(fā)標(biāo)準(zhǔn)普適化的一、二維嵌套的潰壩洪水?dāng)?shù)值模擬模型；

5）進(jìn)行洪水模擬相關(guān)信息的前后處理技術(shù)研究，應(yīng)用GIS和DEM建立河道二維網(wǎng)格快速生成及可視化系統(tǒng)。

［1］譚維炎.計(jì)算淺水動(dòng)力學(xué)一有限體積法的應(yīng)用 ［M］.北京：清華大學(xué)出版社，1998.

［2］謝任之.潰壩水力學(xué) ［M］.濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，1993.

［3］P.J.羅奇，鐘錫昌、劉學(xué)宗 〔譯）.氣體動(dòng)力學(xué) （上下冊(cè)）［M］.北京：科學(xué)出版社，1983.

［4］李德元，徐國(guó)榮，水鴻壽.二維非定常流體力學(xué)數(shù)值方法［M］.北京：科學(xué)出版社，1987.

［5］朱家鯉.計(jì)算流體力學(xué) ［M］.北京：科學(xué)出版社，1985.

［6］張大偉.基于Godunov格式的潰壩水流數(shù)學(xué)模型［J］.水科學(xué)進(jìn)展，2010，21（2）：167－172.

［7］史宏達(dá)，劉 臻.潰壩水流數(shù)值模擬研究進(jìn)展 ［J］.水科學(xué)進(jìn)展，2006，17（1）：129－135.

［8］魏文禮.二維潰壩洪水波演進(jìn)的數(shù)值模擬 ［J］.水利學(xué)報(bào)，2003（9）：43－47.

［9］胡四一.用TVD格式預(yù)測(cè)潰壩洪水波的演進(jìn) ［J］.水利學(xué)報(bào)，1989，7：1－11.

［10］耿艷芬.一維淺水方程的高精度GODUNOV格式［J］.水動(dòng)力學(xué)研究與進(jìn)展，2005，20（4）：507－512.

［11］王嘉松.瞬間全潰壩波的傳播、反射和繞射的數(shù)值模擬［J］.水動(dòng)力學(xué)研究與進(jìn)展，2003，18（3）：1－7.

［12］潘存鴻.一維淺水流動(dòng)方程的GODUNOV格式求解［J］.水科學(xué)進(jìn)展，2003，14（1）：430－436.

［13］梁峻泓.淺水流動(dòng)的模擬方法比較 ［J］.水動(dòng)力學(xué)研究與進(jìn)展，2004，19（4）：953－956.

［14］柏祿海.帶原項(xiàng)淺水方程的高階格式研究 ［J］.水動(dòng)力學(xué)研究與進(jìn)展，2009，24（1）：22－28.

［15］黃金池.潰壩洪水的統(tǒng)一二維數(shù)學(xué)模型 ［J］.水利學(xué)報(bào)，2006，37（2）：222－226.