完全正則序半群上的模糊理想

李春華

（華東交通大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院，江西南昌330013）

1971年，Rosenfeld在文[1]中引入了模糊子群的概念，率先進(jìn)行了模糊代數(shù)理論的研究。隨后，N.Kuraki[2]正式開始模糊子半群理論的研究，并引入了半群中的模糊理想和模糊同余的概念，得到了一些漂亮結(jié)果。目前，國內(nèi)許多半群學(xué)者對(duì)各類半群上的模糊理想和（模糊）同余進(jìn)行了卓有成效的研究[3-10]。2002年，Kehayopulu和Tsingelis[11]在序半群中首次引入了模糊雙理想等概念，給出了其等價(jià)條件的證明。眾所周知，完全正則序半群為序半群的真子類，也是目前半群研究的熱點(diǎn)之一，因此，開展完全正則序半群的模糊理想研究，是有意義的。

1 預(yù)備知識(shí)

文中一般定義及記號(hào)均參見文獻(xiàn)[11-12]。

稱 (S，?，≤)為序半群，若 (S，?)是半群，(S，≤)是偏序且 偏 序 對(duì) 乘法運(yùn)算是相容的，即(?a，b，c∈S)a≤b?ac≤bc，ca≤cb，稱序半群 (S，≤)為完全正則的，若對(duì)任意 a∈S 存在 x∈S 使得a≤a2xa2。為方便，在本文的討論中，如無特別說明，S總表示一序半群。令A(yù)為序半群S的子半群，A稱為S的內(nèi)理想（擬理想），若SAS?A（AS∩SA?A）；a∈S，b∈A，a≤b?a∈A，稱映射 f：S→[0，1]為序半群S的一個(gè)模糊子集。對(duì)任意x∈S，稱 f(x)為x對(duì) f的隸屬度。令 f，g為序半群S的兩個(gè)模糊子集，作如下定義：

顯然，以上“?”滿足結(jié)合律。序半群S的模糊子集 f稱為S的模糊子半群，若? a，b∈S，f(ab)≥f(a)?f(b)；a≤b?f(a)≥f(b)，f稱為 S的模糊左理想（模糊右理想），若? a，b∈S，f(ab)≥f(b)（ f(ab)≥f(a)）；a≤b?f(a)≥f(b)，f稱為S的模糊理想，若 f既是S的模糊左理想又是S的模糊右理想。

定義1[12]令 f為序半群S的模糊子集，f稱為S的廣義模糊雙理想，若

特別地，稱序半群S的廣義模糊雙理想 f為模糊雙理想，若 f為S的模糊子半群。

定義2[12]令 f為序半群S的模糊子半群，f稱為S的模糊內(nèi)理想（模糊擬理想），若?x，a，y∈S ，f(xay)≥f(a)（(f?S)∩(S?f)?f）；a≤b?f(a)≥f(b)。

易知，序半群S的模糊擬理想為S的模糊內(nèi)理想，反之則不一定成立。令P為序半群S的子集，P稱為半素的，若?a∈S，a2∈P?a∈P。

定義3 令S為序半群，S的模糊子集 f稱為模糊半素的，若?a∈S ，f(a)≥f(a2)；a≤b?f(a)≥f(b)。

2 主要結(jié)果

命題1 令S為序半群，A為S的非空子集，則A為S的擬理想當(dāng)且僅當(dāng)A的特征函數(shù)CA為S的模糊擬理想。

證明 必要性：顯然，對(duì)任意 a，b∈S，當(dāng) a?A或 b?A時(shí)，有 CA(a)=0或CA(b)=0。于是，CA(ab)≥0=CA(a)?CA(b)；當(dāng)a∈A且b∈A時(shí)，有CA(a)=CA(b)=1，且有ab∈A，即CA(ab)=1。故對(duì)任意a，b∈S，CA(ab)≥CA(a)?CA(b)。下證CA滿足模糊擬理想的兩個(gè)條件。令a，b∈S且a≤b，則分兩種情形：若b∈A，則CA(b)=1。又 A為S的擬理想，故由b∈A，a≤b?a∈A。即CA(a)=1。若b?A，則CA(a)≥0=CA(b)。綜上所述，CA(a)≥CA(b)。另一方面，由 A為 S的擬理想，易證CA?S∩S?CA?CA。故CA為S的模糊擬理想。

充分性：令a∈S，b∈A且a≤b，則由CA為S的模糊擬理想，得CA(a)≥CA(b)=1。即CA(a)=1。于是，a∈A。另一方面，由CA?S∩S?CA?CA，易證AS∩SA?A，因此，A為S的擬理想。

命題2 令S為序半群，f為S的模糊子半群，則以下各款等價(jià)：

定理3 令S為序半群，則以下各款等價(jià)：

注記：由定理3易知，序半群S的任一擬理想A為半素的等價(jià)于S的模糊擬理想CA為模糊半素的。但對(duì)于序半群S的一般子集P為半素的卻不能推出其特征函數(shù)CP為模糊半素的（而在普通半群中卻成立[10]）。

例：令S為序半群，乘法和偏序“≤”定義如下：

aa=b，ab=b，ac=d，ad=d；ba=b，bb=b，bc=d，bd=d；ca=d cb=d，cc=c，cd=d；cc=c da=d ，db=d ，dc=d ，dd=d 。 ≤{(a，a)，(b，b)，(c，c)，(d，d)，(a，b)，(d，b)，(d，c)}

現(xiàn)取 S的一般子集 P={a，b}，易知 P為半素的。但對(duì)于 b，d∈S，盡管有 d≤b，而0=CP(d)＜CP(b)=1。故CP不為模糊半素的。

定理4 令S為完全正則序半群，f為S的模糊子集，則以下各款成立：

[1] ROSENFELDA.Fuzzy groups[J].Journal of MathematicalAnalysis andApplications，1971，35（3）：512-517.

[2] KUROKI N.Fuzzy bi-ideas in semigroups[J].Commentarii Mathematici Universitatis Sancti Pauli，1979，28（1）：17-21.

[3] XIE XIANGYUN，TANG JIAN.Fuzzy radicals and prime fuzzy ideals of ordered semigroups[J].Information Sciences 2008，178（22）：4357-4374.

[4] XIE XIANGYUN.Fuzzy ideals extensions in semigroups[J].Kyungpook Mathematical Journal，2002，42（1）：39-49.

[5]XIE XIANGYUN，TANG JIAN，YAN FENG，A characterization of prime fuzzy ideals of ordered semigroups[J].Fuzzy Systems and Mathematics，2008，22（1）：39-44.

[6]LI CHUNHUA，GUO XIAOJIANG，LIU ERGEN.Good congruences on perfect rectangular bands of adequate semigroups[J].Advances in Mathematics，2009，38（4）：465-476.

[7]李春華，劉二根，徐保根.關(guān)于左型A半群上的fuzzy同余[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2009（4）：681-685.

[8]李春華，徐保根.富足半群上的F-好同余[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2008，22（4）：39-41.

[9]李春華，徐保根.IC擬適當(dāng)半群上的Fuzzy好同余[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2009，47（4）：667-670.

[10]李春華，劉二根.富足半群上的模糊Rees-好同余[J].蘭州理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，36（4）：128-130.

[11]JOHN N M，DAVENDER S M，NOBUAKI K.Fuzzy semigroups[M].New York：Springer-verlag Berlin Heidelberg，2003.

[12]KEHAYOPULU N，TSINGELIS M.Fuzzy sets in ordered groupoids[J].Semigroup Forum，2002，65（1）：128-132.