淺談GPS-PTK作業(yè)中區(qū)域橢球的建立

祁敏敏

(浙江省河海測繪院,浙江 杭州 310008)

1 問題的提出

GPS衛(wèi)星定位技術(shù)的迅速發(fā)展,已經(jīng)給測繪領(lǐng)域帶來了飛躍性的變革。GPS定位技術(shù)與其他常規(guī)測量技術(shù)相比有著明顯的優(yōu)勢和特點,它用途廣、自動化程度高、觀測速度快、定位精度高、經(jīng)濟效益好。利用GPS建立城市及工程控制網(wǎng)已經(jīng)得到廣泛的應(yīng)用。RTK(Real Time Kinematic)技術(shù)是GPS測量技術(shù)和數(shù)據(jù)傳輸結(jié)合而成的實時定位技術(shù),主要由基準(zhǔn)站和流動站兩部分組成。隨著RTK技術(shù)的迅速發(fā)展,實時定位已經(jīng)得到廣泛的應(yīng)用,如何利用RTK技術(shù)直接測定平面坐標(biāo)和高程的方法有很多,由于RTK采用基準(zhǔn)點的精確坐標(biāo)進行的實時觀測,沒有多余觀測,無須平差,因此直接測定平面坐標(biāo)和高程的關(guān)鍵在于由RTK觀測的WGS-84坐標(biāo)到平面坐標(biāo)和高程數(shù)據(jù)之間的轉(zhuǎn)換。

首先利用RTK觀測的基線向量,計算出RTK流動站在WGS-84參心坐標(biāo)系中的三維坐標(biāo),然后由橢球變換所得的參數(shù)和在平面轉(zhuǎn)換所得的高斯參數(shù),將其直接計算轉(zhuǎn)換到地方獨立坐標(biāo)系,得到平面坐標(biāo)。在上述過程中其實是由一個吻合于投影面的區(qū)域性橢球面作為過渡,也就是先將WGS-84橢球轉(zhuǎn)換為E3橢球,再把E3橢球基于一些GPS水準(zhǔn)聯(lián)測點作橢球定向定位的調(diào)整[1],然后再次繼續(xù)調(diào)整E3橢球元素,使區(qū)域橢球面最優(yōu)吻合于投影面。這是與通常須借助于二維國家控制點來求取轉(zhuǎn)換參數(shù)的方法是截然不同。

2 確定區(qū)域橢球面的方法

區(qū)域性橢球面的確定有2種方法:單點法、多點法。它們可通過改動橢球元素,或是改變橢球的定向和定位,來使區(qū)域性橢球面與投影面在單點上或是在多點上相吻合,下面對本文所涉及的一些方法予以介紹。

3 由單點法確定E3橢球面

由單點法確定E3橢球面見圖1。

圖1 由單點法確定E3橢球面圖

設(shè)P0為GPS控制網(wǎng)中的一個基準(zhǔn)點,其正常高為h0,在已知橢球面上的大地高為H0,投影面的正常高為 △h,則P0相對于投影面的正常高為h0-△h。同時設(shè)位置基準(zhǔn)點在已知橢球面上的大地坐標(biāo)為(B0,L0,H0)。

首先將位置基準(zhǔn)點的大地高變?yōu)閔0-△h,以維持 P0點上橢球面法線方向及經(jīng)緯度B0,L0不變,再采用同時改變橢球長半徑和偏心率的方法,以保證P0點的三維坐標(biāo)不變,從而使橢球中心不產(chǎn)生移動,由參考文獻[2]證得E3橢球偏心率和長半徑a3由下式計算得出:

其中 Δ H0=h0-Δ h-H0

4 對E3橢球進行定向定位

由上述方法所得的E3橢球面,是利用單個位置基準(zhǔn)點上的已知橢球面和投影面之間的垂向距離△H0數(shù)據(jù),同時改變已知橢球的長半徑和偏心率,從而使所設(shè)置的區(qū)域性橢球面與投影面能在基準(zhǔn)點處相吻合,但兩個面之間仍然有一定偏離,如圖1所示。隨著測區(qū)面積的增大,這種偏離的程度會越來越大,而這種偏差的主要原因是區(qū)域性橢球面與投影面之間存在傾斜 (即位置基準(zhǔn)點上的垂線偏差),這就會造成在高斯平面上GPS網(wǎng)與地面網(wǎng)間不可忽略的尺度偏差。因此對于大面積測區(qū),應(yīng)采用多點法對E3橢球定向定位代替單點法來確定區(qū)域性橢球面。多點法確定區(qū)域性橢球面需要獲得GPS點的正常高,而GPS網(wǎng)測設(shè)過程中原本就須對部分GPS點進行水準(zhǔn)聯(lián)測,這也不僅使得多點確定區(qū)域性橢球面成為可能,同時也提供了數(shù)據(jù)支持。

由E3橢球面的確定方法可知,所得到的E3橢球面已在位置基準(zhǔn)點P0處與投影面重合,除了橢球元素與WGS-84橢球不同外,橢球的定向定位以及 P0點上橢球法線均相同,為使區(qū)域橢球面與投影面在整個測區(qū)內(nèi)更好的吻合,首先應(yīng)把這兩個面之間的傾斜減少甚至消除。

4.1 E3橢球面的垂線偏差與站心赤道坐標(biāo)系中的歐拉角的關(guān)系式

在P0點上,E3橢球面的法線方向與垂線方向并不一致,其夾角即為垂線偏差u,即E3橢球面相對于投影面的傾斜角,它可以分解為子午分量 ξ和卯酉分量η,若采用以基準(zhǔn)點P0為坐標(biāo)原點的站心左手地平直角坐標(biāo)系,以該點處的

E3橢球法線方向為z軸,x軸指向P0的子午線方向,以北為正,y軸也位于該點切平面上,東向為正。在地平直角坐標(biāo)系中,若以P0點為旋轉(zhuǎn)中心,先后饒y軸旋轉(zhuǎn)εξ,以及饒x軸旋轉(zhuǎn)εη,即可將z軸由E3橢球法線方向旋轉(zhuǎn)到垂線方向,對于左手坐標(biāo)系而言:

兩次旋轉(zhuǎn)后,得到以垂線為z軸的站心地平直角坐標(biāo)系中任一點Pj的坐標(biāo)為:

轉(zhuǎn)換前所相應(yīng)的站心赤道坐標(biāo)系也獲得了類似的轉(zhuǎn)換,起旋轉(zhuǎn)角為:εX,εY,εZ。

由文獻[1]可知,2類旋轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系式為:

4.2 旋轉(zhuǎn)中心三維坐標(biāo)不變的橢球中心的平移公式

根據(jù)區(qū)域性橢球面的需要,要求空間大地直角坐標(biāo)系(X′,Y′,Z′)的各坐標(biāo)軸仍平行于旋轉(zhuǎn)后的站心赤道坐標(biāo)系的各坐標(biāo)軸,且要求旋轉(zhuǎn)中心 P0的三維坐標(biāo)仍保持不變,因此就必須使橢球中心作平行移動,于是可將任一點的空間直角坐標(biāo)變換式寫成:

上式(6)中,(δX,δY,δZ)T為坐標(biāo)原點即橢球中心的平移向量,為使旋轉(zhuǎn)變換后P0點的三維直角坐標(biāo)(X0,Y0,Z0)保持不變,由(6)式可得橢球中心的平移量為:

4.3 旋轉(zhuǎn)變換后的大地坐標(biāo)變動量

由文獻[1]可證得大地高變動量dH′J與垂線分量之間的關(guān)系式為:

于是旋轉(zhuǎn)后的橢球面與投影面之間的偏差則為:

以式(9)為函數(shù)模型,利用m個聯(lián)測過水準(zhǔn)的GPS點上求得的投影面與E3橢球面之間的垂向偏離 Δ H′j(j=1,2,…,m),可按最小二乘估計的方法來確定2個旋轉(zhuǎn)角 εη,εξ。

式中,矩陣 A以(Fηj,Fξj) 為第 j個行向量,列向量L的第 j個分量為 Δ H′j。

4.4 調(diào)整E3橢球的定向和定位后任一點的空間直角坐標(biāo)的求解

作為旋轉(zhuǎn)中心,位置基準(zhǔn)點P0的三維坐標(biāo)仍保持不變,于是E3橢球的中心的平量為:

而平移、旋轉(zhuǎn)變換后任一點Pi點的三維直角坐標(biāo)為:

4.5 調(diào)整E3橢球的定向和定位后任一點大地坐標(biāo)的求解

由上面求得的空間直角坐標(biāo)(Xi,Yi,Zi)按 E3橢球的元素(a3,e32)即可求得新橢球面上的大地經(jīng)緯度和大地高(Bi,Li,Hi)。由于改正了在點 P0處的傾斜角,就大大地減小了投影面與區(qū)域性橢球面之間的垂向偏離 Δ Hi=hi-Hi,且點P0處的大地經(jīng)緯度(B084,L084)仍保持不變。由此利用多點定向定位確定了較優(yōu)化區(qū)域性橢球面。

5 再變動E3橢球的元素

5.1 解算原理

為進一步減小投影面與區(qū)域性橢球面之間的垂向偏離Δ H″i=Hi-(hi-Δ h),還可在調(diào)整定向定位后再次利用多點法來改動E3橢球的元素。

仍然采用在調(diào)整E3橢球定向定位時用過的m個GPS水準(zhǔn)聯(lián)測點;文獻[1]證得橢球元素變動量與大地高邊動量的關(guān)系如下:

所以如果橢球元素變動后,在m個點上投影面與橢球面之間的垂向偏差vi為:

將式(13)代入即得:

對于在E3橢球定向定位后再次調(diào)整橢球元素的情況下,式中,其中Bi為調(diào)整E3橢球定向定位后的三維坐標(biāo)所對應(yīng)的大地緯度hi-Δ hi-,其中為把E3橢球定向定位后的三維坐標(biāo)相應(yīng)的大地高,在m個偏差vi平方和最小的條件下來求定da3,,即:

式中,矩陣 A以Ai為第i個行向量,列向量L的第i個元素為最后便可得出區(qū)域性橢球的新元素為:

5.2 再次調(diào)整橢球元素后大地坐標(biāo)的求解

由式(11)求得的空間直角坐標(biāo)(Xi,Yi,Zi)按新橢球的元素(a′3,e′32)即可求得新橢球面上的大地經(jīng)緯度和大地高(Bi,Li,Hi)。由于在定向定位后又對橢球元素進行了最小二乘調(diào)整,這就又一次減小了投影面與區(qū)域性橢球面之間的垂向偏離。由此而確定了最優(yōu)化區(qū)域性橢球面。

6 結(jié) 語

通過單點確定E3橢球面和多點定向定位,得到了最優(yōu)化的區(qū)域性橢球面,再通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換計算就能精確的將WGS-84參心坐標(biāo)系中的三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到地方獨立坐標(biāo)系。

[1]施一民,周擁軍,張文卿.用定向定位調(diào)整法確定區(qū)域性橢球面 [J].測繪學(xué)報,2002(2):118-122.

[2]施一民.現(xiàn)代大地控制測量[M].北京:測繪出版社,2003.