矩陣和關(guān)于{1,2}-逆與{1,3}-逆的混合吸收律

李 瑩, 高 巖

(1.上海理工大學(xué)管理學(xué)院,上海 200093;2.聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,聊城 252059)

1 預(yù)備知識

以Cm×n表示所有m×n復(fù)矩陣的集合.A*,A-1, r(A),R(A)分別表示矩陣A的共軛轉(zhuǎn)置、逆矩陣、秩、值域.給定矩陣A∈Cm×n,其廣義逆[1,2]是滿足下列4個(gè)方程中某些方程的矩陣G:a.AG A=A;b.GA G =G;c.(AG)*=AG;d.(GA)*=GA.

令?≠η={i,j,k}?{1,2,3,4},用Aη表示滿足以上4個(gè)方程中的(i),(j),(k)方程的矩陣G的集合,Aη中的任何一個(gè)矩陣G稱之為矩陣A的一個(gè){i,j,k}-逆,記為A(i,j,k).若η={1,2,3,4},則稱G為A的M-P逆,記為A+.EA=I-A A+,FA =I-A+A分別為A*,A的零空間上的正交投影.

矩陣的各種類型的廣義逆在實(shí)際中都有廣泛的應(yīng)用.它們在概率統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)規(guī)劃、控制論、測量學(xué)、博弈論及網(wǎng)絡(luò)理論等領(lǐng)域都有極其重要的作用[3].同時(shí)在研究最小二乘問題、長方及病態(tài)線性方程問題及馬爾可夫鏈等統(tǒng)計(jì)問題中也是一種基本的工具.廣義逆應(yīng)用的廣泛性要求其自身理論發(fā)展不斷地充實(shí)和完善.

如果A,B為非奇異矩陣,則A-1+B-1=A-1(A +B)B-1總是成立的,但對于廣義逆矩陣,文獻(xiàn)[4]中舉例說明了不一定存在A(1),B(1),使得A(1)+B(1)=A(1)(A+B)B(1),并推導(dǎo)了關(guān)于上式成立的充要條件.本文考慮將其中的兩處逆矩陣換成兩種不同的{i,j,k}-逆矩陣,若仍有等式成立,則稱兩矩陣和關(guān)于兩個(gè)廣義逆滿足混合吸收律,現(xiàn)分別給出混合第一、第二吸收律的概念.

定義1 設(shè)A,B∈Cm×n,如果存在G∈Aη,H∈Bζ使得A(G+H)B=A+B,則稱A,B關(guān)于η-逆和ζ-逆滿足混合第一吸收律.

定義2 設(shè)A,B∈Cm×n,如果存在G∈Aη,H∈Bζ使得G+H=G(A+B)H,則稱A,B關(guān)于η-逆和ζ-逆滿足混合第二吸收律.

若η=ζ,則定義1和定義2為矩陣和關(guān)于某一種廣義逆的第一、第二吸收律.

在文獻(xiàn)[5-12]中,作者提出了一種矩陣秩方法.近年來,該方法作為矩陣研究的一個(gè)有力工具越來越受到重視,并被大量應(yīng)用到廣義逆矩陣、矩陣方程、矩陣不等式、反序律、正序律、最小二乘以及統(tǒng)計(jì)量分析等問題的研究中[13-16].該方法的運(yùn)用將這些問題的研究推到了一個(gè)新的層面.矩陣秩方法的主要思想是將矩陣等式問題轉(zhuǎn)化成秩的問題去解決.這看似簡單的轉(zhuǎn)化事實(shí)上富有深刻的思想內(nèi)涵,它將復(fù)雜的矩陣表達(dá)式的問題歸結(jié)為簡單的數(shù)字指標(biāo)——秩,刻畫了一些以往的方法無力解決的問題.本文擬用矩陣秩方法與廣義Schur補(bǔ)結(jié)合矩陣的奇異值分解(SVD)對本文所定義的兩個(gè)矩陣和關(guān)于廣義逆的混合吸收律進(jìn)行研究,通過推導(dǎo)某些矩陣表達(dá)式的極大、極小秩(簡稱極秩)獲得兩個(gè)矩陣和關(guān)于{1,2}-逆與{1,3}-逆的混合第一、第二吸收律成立的充要條件.

引理1[9]設(shè)A∈Cm×n,B∈Cm×k,C∈Cl×n, D∈Cl×k,則

引理2[10]設(shè)A∈Cm×n,B∈Cm×k,C∈Cl×n, D∈Cl×k.則

其中

引理3[17]設(shè)A∈Cm×n,B∈Cm×k,C∈Cl×n.則有

引理4[17]設(shè)A∈Cm×n,B∈Cm×k,C∈Cl×n.若R(AQ)=R(A),R((PA)*)=R(A*).則

2 矩陣和關(guān)于{1,2}-逆與{1,3}-逆的混合第一吸收律

定理1 設(shè)A,B∈Cm×n,則

證明 由式(6)

利用式(4)對其中的極秩

進(jìn)行計(jì)算.

而

因而

定理2 設(shè)A,B∈Cm×n,則

證明

根據(jù)式(5)計(jì)算

其中

所以

從而

現(xiàn)分別利用式(7)和式(8)結(jié)合引理4計(jì)算上式中的兩個(gè)極秩.

因此

從而

推論1 設(shè)A,B∈Cm×n,則下列敘述等價(jià).

a.任意A(1,2)∈A{1,2},B(1,3)∈B{1,3}都有A+B=A(A(1,2)+B(1,3))B.

b.存在A(1,2)∈A{1,2},B(1,3)∈B{1,3}使得A+B=A(A(1,2)+B(1,3))B.

3 矩陣和關(guān)于{1,2}-逆與{1,3}-逆的混合第二吸收律

定理3 設(shè)A,B∈Cm×n,則

證明 由式(4)

推論2 任意A(1,2)∈A{1,2},B(1,3)∈B{1,3}都有A(1,2)+B(1,3)=A(1,2)(A+B)B(1,3),當(dāng)且僅當(dāng)A,B為非奇異陣.

定理4 設(shè)A,B∈Cm×n,則

證明 由式(6)

從而

現(xiàn)分別計(jì)算兩個(gè)極秩.由于P*為行滿秩陣,而右乘行滿秩陣,秩不發(fā)生變化,所以,由式(3)

又由式(4)

所以

現(xiàn)考慮其中的r(B*P1).由A的奇異值分解知從而

所以

故結(jié)論成立.

推論3 存在A(1,2)∈A{1,2},B(1,3)∈B{1,3}使得A(1,2)+B(1,3)=A(1,2)(A+B)B(1,3)當(dāng)且僅當(dāng)

證明 存在A(1,2)∈A{1,2},B(1,3)∈B{1,3}使得A(1,2)+B(1,3)=A(1,2)(A+B)B(1,3),當(dāng)且僅當(dāng)

若r(A)≥r(B),則有r(B*P1)=r(A),而r(B*P1)≤r(B),所以r(B*P1)=r(A)=r(B).

若r(A)≤r(B),則有r(B*P1)=r(B),而r(B*P1)=r(B*AA+B)≤r(A),所以r(B*P1)= r(A)=r(B).故結(jié)論成立.

文獻(xiàn)[4]中給出了存在A(1)∈A{1},B(1)∈B{1}使得A(1)+B(1)=A(1)(A+B)B(1)成立的等價(jià)條件,即r(A)=r(B),此處對于A(1,2),B(1,3)而言,顯然,條件有別于A(1),B(1).可以得到如下結(jié)論:若存在A(1,2),B(1,3)使得混合第二吸收律成立,則關(guān)于A(1), B(1)的第二吸收律必成立;反之,則不一定.

4 結(jié)束語

本文中僅考慮了兩個(gè)矩陣和關(guān)于{1,2}-逆與{1, 3}-逆的混合第一、第二吸收律成立的充要條件,用同樣方法可以考察其他類型的廣義逆的混合吸收律,并對其結(jié)果進(jìn)行橫向比較.另外,在本文中每一個(gè)吸收律等式中所涉及的某種廣義逆均為同一個(gè)廣義逆矩陣;若不同,則問題轉(zhuǎn)化為考察關(guān)于矩陣及其廣義逆的表達(dá)式構(gòu)成的兩個(gè)集合之間的關(guān)系,此時(shí)問題將復(fù)雜得多,這也是作者下一步將要研究的課題.

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